福建省福州一中2013年5月高考模拟数学(理)试卷(word版)

福州一中2012-2013年高三数学（理）模拟考试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

（满分150分 考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．已知复数1i

z i

=

-（i 为虚数单位）则复数z 在复平面对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C. 第三象限． D ． 第四象限 2．等差数列{}n a 中，192a =-

,35

2

a =-,则该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 ( ) 3．若向量)1,1(),0,2(==

b a ，则下列结论正确的是 ( )

A ．b b a ⊥-)( B.||||a = C ．1=? D ．// 4．下列有关命题的说法正确的是 ( )

A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 ；

B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件；

C ．命题“x R ?∈，使得2

10x x ++<”的否定是：“x R ?∈， 均有2

10x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．

5．函数()f x =ln ||(0)

1(0)x x x x

?>??的图像大致是 ( )

6．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：

①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③

7.

已知抛物线2

x =的准线过双曲线22

21x y m

-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为

( )

8．在ABC ?中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若,,a b c 成等比数列，60A ?

=，则

sin b B

c

= ( )

A ．

12 B

．2

C ．

D ．

3

4

9. 设,x y 满足约束条件??

?

??≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为

1，则b a 1

1+的最小值为 ( )

A ．625

B ．38

C ．3

11 D ．4

10．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ?

?）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)

f x y 为关于,x y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”：（1）非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号；（2）对称性：

(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成

立． 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于,x y 的广义“距离”的序号： ①(,)f x y x y =-;②2

(,)()f x y x y =-;

③(,)f x y =．能够成为关于,x y 的广义

“距离”的是

（ ）

A ．①

B ．①②

C ．①②③

D ． ①③

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．） 11.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =

围成一个叶形图

（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内

部的概率是 ．

12.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图1，在样本的20人中，记身高在[150，160），[160，170），[170，180），[180，190）的人数依次为1A 、2A 、3A 、4A ．如图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．则图乙输出的S = ．（用数字作答）

13．已知9

2???

?

??-x x a 的展开式中3x 的系数为49，则常数a 的值为 ． 14.设函数()sin()(0,)22

f x x ππ

ω?ω?=+>-<<，给出以下四个结论：

①它的周期为π； ②它的图像关于直线12

x π

=对称；

③它的图像关于,03π??

???对称； ④在区间,06π??

- ???

上是增函数。 以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题： （注：填上你认为是正确的一种答案的序号即可）．

15.定义空间两个向量的一种运算sin ,?=?<>a b a b a b ，则关于空间向量上述运算的

以下结论中，①?=?a b b a ，②()()λλ?=?a b a b ，③()()()+?

=?+?a b c a c b c ，

④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x y x y ?=-a b .

恒成立的是 (填上你认为是正确的结论的序号) .

三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．

（Ⅰ）若点A 的横坐标是

35，点B 的纵坐标是12

13

，求sin()αβ+的值； （Ⅱ） 若AOB ?

，且AOB ∠为钝角． 求OA OB ? 的值及

AB 的长.

17. （本小题满分13分）

某学校高一年级开设了,,,,A B C D E 五门选修课．为了培养学生的兴

趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； （Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期望．

18．（本小题满分13分）

已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点． （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积；

（Ⅱ）是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论； （Ⅲ）点E 在什么位置时，二面角D AE B --的大小为120?？

19. （本小题满分13分）

已知椭圆:C 22

221x y a b

+=()0a b >>的离心率为12，右焦点(),0F c (0)c >到直线

34120x y -+=的距离为3．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于点,A B ，过点B 作直线4x =的垂线，垂足为M .求证：直线AM 恒过x 轴上的一个定点．

20. （本小题满分14分）

已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值． （Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(),a b 内导数都存在，且1a >-，则存在()0,x a b ∈，使得 0()()

()f b f a f x b a

-'=-。试用这个结论证明：

若121x x -<<，设函数121112

()()

()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，

都有()()f x g x >；

（Ⅲ）已知正数12,,,n λλλ ，满足121n λλλ+++= ，

求证：当2,n n N *

≥∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,n x x x ，都有

11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

变换T 是将平面上每个点),(y x M 的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点(2,4)M x y '. （Ⅰ）求变换T 的矩阵；

（Ⅱ）圆1:22=+y x C 在变换T 的作用下变成了什么图形？

（2）(本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，设直线l 的参数方程是

32

4x t y t =-+??

=?

（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和曲线C 的位置关系． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知不等式 |2|3x a -≤ 的解集为 []1,2-. （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若,x m a -< 求证：1x m <+.