2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(解析版)

2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)

一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上)

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1.已知复数z=1+2i,则=()

A.5 B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i

2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x|<2}则A∩B=()

A.{x|﹣2<x<2}B.{x|﹣2<x<3}C.{x|﹣1<x<3}D.{x|﹣1<x<2} 3.设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.直线x﹣3y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交所得弦长为()

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A. B.C.4 D.3

5.下列命题中错误的是()

A.如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线

B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ

C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交

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6.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是()A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为()

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A.4 B.C.D.

8.某高中体育小组共有男生24人,其50m跑成绩记作a i(i=1,2,…,24),

若成绩小于6.8s为达标,则如图所示的程序框图的功能是()

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A.求24名男生的达标率B.求24名男生的不达标率

C.求24名男生的达标人数 D.求24名男生的不达标人数

9.等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()

A.9 B.15 C.18 D.30

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10.函数y=的大致图象是()

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A.B.C.

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D.

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11.若关于x的方程2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根,则m的取值范围是()

A .(1,)

B .[0,2]

C .[1,2)

D .[1,]

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12.对,23x ≤log a x +1恒成立,则实数a 的取值范围是( )

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A .

B .

C .

D .

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二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,则后20名同学的平均成绩为 . 14.若函数f (x )=e x ?sinx ,则f'(0)= .

15.《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠(chuí),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.问金杖重多少?”则答案是 . 16.F 为双曲线

(a >b >0)的左焦点,过点F 且斜率为1的直线与两

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条渐近线分别交于A ,B 两点,若=,则双曲线的离心率为 .

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三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知点

,Q (cosx ,sinx ),O 为坐标原点,函数

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(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期;

(2)若A 为△ABC 的内角,f (A )=4,BC=3,△ABC 的面积为,求△ABC

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的周长.

18.某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:

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(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);

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(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这

20

名用户中,从评分不低于

80分的用户中任意抽取2名用户,求两名用户中评分都小于90分的概率.

19. 如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,AD=AP=2,AB=2

,E 为棱PD 的中点.

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(Ⅰ)证明:PD ⊥平面ABE ;

(Ⅱ)求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积.

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20.已知函数f (x )=ax ﹣lnx .

(1)过原点O 作曲线y=f (x )的切线,求切点的横坐标;

(2)对?x ∈[1,+∞),不等式f (x )≥a (2x ﹣x 2),求实数a 的取值范围. 21.已知椭圆C :

,F 1,F 2分别是其左、右焦点,以F 1F 2为直

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径的圆与椭圆C有且仅有两个交点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直

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平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是,求线段AB长的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲](共1小题,满分10分)

22.已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为

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(t为参数).

(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;

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(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)

23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.

(1)求证:2a+b=2;

(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.

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参考答案与试题解析

一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上)

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1.已知复数z=1+2i,则=()

A.5 B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i

【考点】复数代数形式的乘除运算.

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【分析】由已知直接利用求解.

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【解答】解:∵z=1+2i,∴=|z|2=.

故选:A.

2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x|<2}则A∩B=()

A.{x|﹣2<x<2}B.{x|﹣2<x<3}C.{x|﹣1<x<3}D.{x|﹣1<x<2}【考点】交集及其运算.

【分析】解不等式得出集合A、B,根据交集的定义写出A∩B.

【解答】解:集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},

B={x||x|<2}={x|﹣2<x<2}.

故选:D.

3.设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.

【解答】解:由a>|b|”能推出“a3>b3”,是充分条件,

反之,不成立,比如a=1,b=﹣2,不是必要条件,

故选:A.

4.直线x﹣3y+3=0与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交所得弦长为()

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A. B.C.4 D.3

【考点】直线与圆相交的性质.

【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程,代入圆的弦长公式,可得答案.

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【解答】解:圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,

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圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==,

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故弦AB=2=,

故选A.

5.下列命题中错误的是()

A.如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线

B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ

C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案.

【解答】解:如果平面α外的直线a不平行于平面α,则a与α相交,则α内不存在与a平行的直线,故A正确;

如图:α⊥γ,α∩γ=a,β⊥γ,β∩γ=b,α∩β=l,

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在γ内取一点P,过P作PA⊥a于A,作PB⊥b于B,由面面垂直的性质可得PA ⊥l,PB⊥l,

则l⊥γ,故B正确;

如果平面α⊥平面β,那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系:平行、相交、异面,故C错误;

一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故D正确.

故选:C.

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6.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是()A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

【考点】简单线性规划.

【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【解答】解:不等式组所表示的平面区域位于

直线x+y﹣3=0的下方区域和直线

x﹣y+1=0的上方区域,

根据目标函数的几何意义,

可知目标函数经过A时,z取得最大值.

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由可得A(1,2),

所以目标函数z的最大值为4.

故选B.

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7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为()

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A.4 B.C.D.

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥,结合三视图的数据,求出几何体的体积.

【解答】解:由题意三视图可知,几何体是正四棱锥,

底面边长为2的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,

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所以四棱锥的体积.

故选D.

8.某高中体育小组共有男生24人,其50m跑成绩记作a i(i=1,2,…,24),若成绩小于6.8s为达标,则如图所示的程序框图的功能是()

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A.求24名男生的达标率B.求24名男生的不达标率

C.求24名男生的达标人数 D.求24名男生的不达标人数

【考点】程序框图.

【分析】由题意,从成绩中搜索出大于6.8s的成绩,计算24名中不达标率.【解答】解:由题意可知,k记录的是时间超过6.8s的人数,而i记录是的参与

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测试的人数,因此表示不达标率;

故选B.

9.等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()

A.9 B.15 C.18 D.30

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】设等比数列{a n}的公比为q>0,由2S3=8a1+3a2,可得2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,化为:2q2﹣q﹣6=0,解得q,进而得出.

【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,

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∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,化为:2a3=6a1+a2,可得=6a1+a1q,化为:2q2﹣q﹣6=0,解得q=2.

又a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2.

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则S4==30.

故选:D.

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10.函数y=的大致图象是()

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A.B.C.

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D.

【考点】函数的图象.

【分析】利用函数的定义域排除选项,值域排除选项即可得到结果.

【解答】解:由函数定义域排除A,函数的值域.可知x>0时,y>0,当x<0时,y<0,排除C,D.

故选:B.

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11.若关于x的方程2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根,则m的取值范围是()

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A.(1,)B.[0,2]C.[1,2) D.[1,]

【考点】正弦函数的图象.

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【分析】把方程2sin(2x+)=m化为sin(2x+)=,画出函数f(x)=sin

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(2x+)在x∈[0,]上的图象,结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围.

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【解答】解:方程2sin(2x+)=m可化为

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sin(2x+)=,

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当x∈[0,]时,2x+∈[,],

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画出函数y=f(x)=sin(2x+)在x∈[0,]上的图象如图所示;

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根据方程2sin(2x+)=m在[0,]上有两个不等实根,

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得≤<1

1≤m<2

∴m的取值范围是[1,2).

故选:C.

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12.对,23x≤log a x+1恒成立,则实数a的取值范围是()

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A.B.C.D.

【考点】函数恒成立问题;全称命题.

【分析】先构造函数f(x)=x2+x,g(x)=﹣log a x.h(x)=f(x)+g(x),将问

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题等价转化为函数h(x)在区间(0,)上恒有h(x)≤0,又函数为增函数,故可求答案.

【解答】解:构造函数f(x)=23x,g(x)=﹣log a x﹣1.

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h(x)=f(x)+g(x).(0<x<)

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易知,在区间(0,)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,

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∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,)上是递增函数.

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由题设可知,函数h(x)在区间(0,)上恒有h(x)≤0.

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∴必有h()≤0.

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即有2﹣log a()﹣1≤0.

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整理就是log a a=1≤log a(),

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∴实数a的取值范围是≤a<1.

故选C.

二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92,其中学号为前30名的同学平均成绩为90,则后20名同学的平均成绩为95.

【考点】众数、中位数、平均数.

【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,得到关于x的方程,解出

即可.

【解答】解:设学号为31号到50号同学的平均成绩为x,

则92×50=90×30+20x,解得:x=95,

故答案为:95.

14.若函数f(x)=e x?sinx,则f'(0)=1.

【考点】导数的运算.

【分析】先求f(x)的导数,再求导数值.

【解答】解:f(x)=e x?sinx,f′(x)=(e x)′sinx+e x.(sinx)′=e x?sinx+e x?cosx,∴f'(0)=0+1=1

故答案为:1

15.《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠(chuí),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.问金杖重多少?”则答案是15斤.

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项,由等差数列的前n项和得答案.【解答】解:由题意可知等差数列中a1=4,a5=2,

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则S5=,

∴金杖重15斤.

故答案为:15斤.

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16.F为双曲线(a>b>0)的左焦点,过点F且斜率为1的直线与两

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条渐近线分别交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为.【考点】双曲线的简单性质.

【分析】设出过焦点的直线方程,与双曲线的渐近线方程联立把A,B表示出来,再由条件可得A为FB的中点,运用中点坐标公式,可得a,b,c的关系,然后

求双曲线的离心率.

【解答】解:设F(﹣c,0),则过F作斜率为1的直线为:y=x+c,

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而渐近线的方程是:y=±x,

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由得:A(﹣,),

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由得,B(﹣,﹣),

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若=,可得A为FB的中点,

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可得﹣c﹣=﹣2?,

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化为b=3a,c==a,

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e==.

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故答案为:.

三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

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17.已知点,Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;

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(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC的面积为,求△ABC 的周长.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦定理.【分析】(1)利用向量数量积运算,即可求函数f(x)的解析式及最小正周期;

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(2)利用,△ABC的面积为,求出bc,利用余弦定理,求出,即可求△ABC的周长.

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【解答】解:(1),

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∴==4﹣2sin(x+),

f(x)的最小正周期为2π;

(2)因为f (A )=4,所,因为0<A <π,所以,

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因为,所以bc=3,

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根据余弦定理,所以

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即三角形的周长为.

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18.某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:

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(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);

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(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户,求两名用户中评分都小于90分的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.

【分析】(1)作出女性用户和男性用户的频率分布表,由图可得女性用户更稳定.

(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,其中评分小于90分的人数为4,记为A ,B ,C ,D ,评分不小于90分的人数为2,

记为a,b,设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人,利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率.

【解答】(本小题满分12分)

解:(1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:

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由图可得女性用户更稳定.

(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,

其中评分小于90分的人数为4,记为A,B,C,D,

评分不小于90分的人数为2,记为a,b,

设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人,

基本事件空间为Ω={(AB),(AC),(AD),(Aa),(Ab),

(BC),(BD),(Ba),(Bb),(CD),(Ca),(Cb),

(Da),(Db),(ab)},共有15个元素.

M={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD)},共有6个元素.

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P(M)=.

19.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,

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AB=2,E为棱PD的中点.

(Ⅰ)证明:PD⊥平面ABE;

(Ⅱ)求三棱锥C﹣PBD外接球的体积.

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明PD⊥平面ABE.

(Ⅱ)三棱锥C﹣PBD外接球即以AB,AD,AP为棱的长方体的外接球,由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积.

【解答】证明:(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,

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P(0,0,2),D(0,2,0),A(0,0,0),B(2,0,0),E(0,1,1),

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=(0,2,﹣2),=(2,0,0),=(0,1,1),

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=0,=0,

∴PD⊥AB,PD⊥AE,

∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.

解:(Ⅱ)∵AD,AP,AB两垂直,底面ABCD为矩形,

∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB,AD,AP为棱的长方体的外接球,

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∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3,

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∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π.

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20.已知函数f(x)=ax﹣lnx.

(1)过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;

(2)对?x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x﹣x2),求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)过原点O作曲线y=f(x)的切线,求出切线方程,即可求切点的横

坐标;

(2)对?x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x﹣x2),化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对?x∈[1,+∞)恒成立,分类讨论,即可求实数a的取值范围.

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【解答】解:(1)设切点为(x0,ax0﹣lnx0),∴,

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直线的切线方程为y﹣(ax0﹣lnx0)=(a﹣)(x﹣x0),

又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1,

所以lnx0=1,解得x0=e,所以切点的横坐标为e.

(2)因为不等式ax﹣lnx≥a(2x﹣x2)对?x∈[1,+∞)恒成立,

所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对?x∈[1,+∞)恒成立.

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设g(x)=ax2﹣ax﹣lnx,g′(x)=2ax﹣a﹣.

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①当a≤0时,∵,∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,

即g(x)≤g(1)=0,∴a≤0不符合题意.

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②当a>0时,.设,

在[1,+∞)上单调递增,即a≥1.

(i)当a≥1时,由h(x)≥0,得g'(x)≥0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,

即g(x)≥g(1)=0,∴a≥1符合题意;

(ii)当0<a<1时,∵a﹣1<0,∴?x0∈[1,+∞)使得h(x0)=0,

则g(x)在[1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,∴g(x0)<g(1)=0,则0<a<1不合题意.

综上所述,a≥1.

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21.已知椭圆C:,F1,F2分别是其左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直

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平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是,求线段AB长的取值范围.

【考点】椭圆的简单性质;直线与椭圆的位置关系.

【分析】(1)根据题意,分析可得b=c=1,计算可得a的值,代入椭圆的方程即可得答案;

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(2)根据题意,设直线AB的方程为y=k(x+1),与联立可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程,由弦长公式可以表示|AB|,计算可得答案.

【解答】解:(1)根据题意,因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点,所以b=c=1,

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即a==,

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即椭圆C的方程为,

(2)根据题意,过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,即直线AB的斜率存在,

设直线AB的方程为y=k(x+1),

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与联立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),

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,,

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即,

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设直线AB的垂直平分线方程为,

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令y=0,得,

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