光程与光程差

1、光程与光程差：

⑴光程：

前面讨论双缝干涉时，光始终在同一种介质中传播，两相干光束在叠加点处的相位差决定于它们的波程差。当讨论光在几种不同的介质中传播时，因光的波长与介质的折射率有关，所以同一束光在不同介质中传播相同距离时，所引起的相位变化是不同的。可见，在不同介质中传播的两光束间的相位差与传播距离和介质折射率都有关。

设某单色光的频率为ν，在真空中的波长为λ，真空中光速为c，则有，设它在真空中传播距离d，则其相位的变化为

该光束在折射率为n的介质中传播的速度为，波长为。当它在此介质中传播距离d时，其相位的变化为

可见，光在折射率为n的介质中传播距离d，相当于在真空中传播距离nd。见下图：

定义：光程

定义光程的目的是将光在不同介质中实际传播的距离折算成它在真空中传播的距离。

当一束光经过若干不同介质时：光程L = S ( ni di )

⑵光程差与相位差：

设S1和S2为频率均为ν的相干光源，它们的初相位相同，分别在折射率为n1和n2的介质中经路程r1和r2到达空间某点P。

n2

S1

S2

p

r1

r2

则这两束光的光程差为

相应的相位差为

可见，引入光程的概念后，相位差和光程差之间的关系为

⑶透镜不引起附加光程差：

从物点S发出的不同光线，经不同路径通过薄透镜后会聚成为一个明亮的实像S'，说明从物点到像点，各光线具有相等的光程。

左图：平行于透镜主光轴的平行光会聚在焦点F，从波面A上各点到焦点F的光线A1F，A2F，A3F是等光程的。

中图：平行于透镜副光轴的平行光会聚于焦面F上，从波面B上各点到F'的光线B1F'，B2F'，B3F'是等光程的。

右图：点光源S发出球面波经透镜后成为会聚于像点S'的球面波，S的波面C上的各点到像点S'的光线C1S'，C2S'，C3S'是等光程的。

2、薄膜干涉的光程差公式：

设一束单色光a经折射率为n，厚度为d的薄膜上、下表面的反射形成两束平行反射光a'、b'。因a'、b'两光束是由同一束光线a按强度分割而成的（分振幅法），所以它们是两束相干光。

由图可见，两光束间的光程差

由斯乃尔公式，得薄膜干涉的光程差公式：

讨论：

⑴上式中λ/2是由半波损失引起的。折射光不产生半波损失，而反射光有无半波损失可依据下面条件判断：

当n1 < n > n2 或n1 > n < n2 时，a'与b'之间有半波损失。

当n1 > n > n2 或n1 < n < n2 时，a'与b'之间无半波损失。

⑵干涉条件：

当时，a'与b'同相位，干涉加强（相长干涉）；

当时，a'与b'反相位，干涉减弱（相消干涉）。

⑶当i不变、d变，则厚度相同处出现同一条纹——等厚干涉；

当i变、d不变，则入射角i相同的入射光产生同一条纹——等倾干涉。

视频：薄膜干涉现象

3、等厚干涉：

日常生活中所看到的油膜、肥皂膜所呈现的彩色条纹就是一种等厚干涉现象。太阳光中含有

各种波长的光波，当太阳光照射到肥皂膜上时，有的地方红光得到加强，有些地方绿光得到加强……，这样便形成了彩色干涉条纹（如下图所示）。

下面介绍两种重要的等厚干涉实验。

⑴劈尖干涉：

劈尖干涉可用于测量细丝的直径、薄片的厚度和检验工件表面的平整度等。

劈尖干涉装置由两块平面玻璃片组成，一端相叠合，另一端夹一薄片，两玻璃片之间形成一劈形空气膜。若以单色平行光垂直照射在空气劈形膜上，则从空气膜的上、下表面反射的两束光为相干光，可以观察到劈形空气膜的等厚干涉条纹。

设波长为λ的单色光垂直入射（i = 0），则由光程差公式，得劈尖干涉的干涉条件为

可见光程差ΔL只与膜厚d有关，因此在膜的同一等厚线上形成同一级次的干涉条纹，即劈尖干涉条纹为等厚干涉条纹，并且是一组明、暗相间的等距直条纹。

因为存在半波损失，棱边处的光程差为λ? 2，所以劈尖棱边处为暗条纹。

条纹间距：劈尖干涉相邻明条纹或相邻暗条纹所对应的膜厚差为

所以劈尖干涉的条纹间距为

对空气劈尖：

可见：α大则l 小，α小则l 大。

⑵牛顿环：

利用牛顿环可以测量平凸透镜凸面的曲率半径，也可以测定光波的波长，或根据条纹的圆形程度来检验平面玻璃是否磨得很平，以及曲面玻璃的曲率半径是否处处均匀等。

在一块平面玻璃板上，放一曲率半径R很大的平凸透镜，在平凸透镜和平面玻璃板之间形

成一厚度由零逐渐增大的类似于劈形的空气薄层，这一装置称为牛顿环仪。以单色平行光垂直入射，经空气薄层上、下表面反射后形成两束相干光。干涉条纹是以接触点O为圆心的同心圆环，称为牛顿环。由于，所以条纹不等间距，内疏外密。

设单色平行光垂直入射（i = 0），空气薄膜的折射率n = 1。则牛顿环的干涉条件为

由牛顿环仪的示意图可见

得

当时，得牛顿环的明环半径为

当时，得牛顿环的暗环半径为

O点处：d = 0，ΔL = λ/2 为一暗斑（因为存在半波损失）。

例如利用牛顿环测量平凸透镜凸面的曲率半径R ：

设测得k，k+1 级暗环的半径为分别为rk，rk+m，则

得：

视频：等厚干涉现象

⑶增透膜与增反膜：

利用薄膜干涉，可提高光学透镜的透光率。

增透膜的工作原理：

在透镜表面镀一层厚度均匀的透明介质膜，使其上、下表面对某种色光的反射光产生相消干涉，其结果是减少了该光的反射，增加了它的透射。

使n1

时，反射光被削弱，透射加强。

取k=0时，增透膜的厚度最小：

式中nd称为光学厚度。

例如，照相机镜头上通常覆盖一层氟化镁透明介质以增加透镜对入射光的透过率，减小反射。空气折射率n1 = 1.0，镜头玻璃折射率n2 = 1.52，氟化镁（MgF2）的折射率n = 1.38，取入射光波长λ= 5500?（白光中心波长），则增透膜最小厚度

增反膜的工作原理：

利用薄膜干涉原理，使薄膜上、下表面对某种色光的反射光发生相长干涉，其结果是增加了该光的反射，减少了它的透射。

视频：增透膜和增反膜

4、等倾干涉、迈克尔逊干涉仪：

由薄膜干涉的光程差公式可见，当薄膜厚度d不变，而入射光的入射角i变化时，则i相同的入射光的光程差相同，这些光干涉后产生同一条干涉条纹，这种情况称为等倾干涉。

图中S为单色面光源，M为一块半透射半反射平面镜，L为透镜，光屏P置于透镜的焦平面上。光线a、a'和b、b'是分别由两束入射角相等的入射光经薄膜分束而得到的相干光，因此a和a'之间的光程差与b和b'之间的光程差相同，经干涉后聚焦在光屏的同一条干涉条纹上。屏上得到一组明亮而清晰的同心圆条纹。

等倾干涉的一个典型例子是迈克尔逊干涉仪（见下图）：

图中G为半透半反镜，用于将入射光分为两束相干光。G'为补偿玻璃板，厚度与G完全相等，其作用是使1、2两束光都三次通过同样厚度的玻璃板，因而1'、2'两光束的相位差仅决定于它们在空气中的路程差。M1、M2为两块全反射镜。

从扩展光源S出射的光被G分为1、2两束相干光。经M1、M2反射后的光束1'、2' 可看作是由M'1（M1在半透半反镜中的像）和M2 间的等效空气薄膜两表面所反射的。

移动动镜M2，则空气膜厚度d变化，干涉条纹向内或向外移动。移动的条纹数Δk和膜厚变化Δd之间有如下关系：

利用上式可以从已知长度测量光的波长，也可以从已知波长测量长度。1892年，迈克尔逊用他自己的干涉仪测定了红镉线的波长。

视频：干涉现象的应用

例题18-3-1

例题18-3-2

例题18-3-3