由平几思想启发部分关于椭圆的解析几何问题

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作者：张家耀

来源：《中学生数理化·学研版》2015年第02期

近年来，高考对解析几何的考查，从参考答案的常规解法来看，大体上都离不开“联立”、“韦达定理”、“运算”等对已知条件及目标表达式进行处理的过程，从而得出结果，往往与参量的取值范围或证明定值、定点问题有关.而在此之中，初等数学中一以贯之的平面几何似乎就

失去了用武之地.实际上，在如火如荼的二轮复习中，如果能穿插一些使用平几处理的闪亮的

清晰思路，那么无论是对学生的发散性思维培养或对教师的教学相长都有所裨益.在此，笔者

作为一名学生，抛砖引玉，提出几点在近期学习中关于本类问题的拙见，希望能给大家带来一些启发.

总体来说，在笔者看来借助平几思想处理部分关于椭圆问题的方法可分为以下二种：

（1）借助题中含有的几何模型，应用性质，构造关系得解;

（2）借助坐标系变换，化“椭”为“圆”，应用性质，构造关系得解.

其中第一种方法，要求识别题中出现的几何模型，并借助其性质对题设进行挖掘，有时能得到一些既高又妙的解法，这些解法有些确实是通过比较简单的几何关系、几何性质入手所得出的，但却能达到“四两拨千斤”之奇效.

笔者在学习《极坐标系与坐标变换》时，产生了应用坐标变换解决一些解析几何问题的想法，在查阅了一些资料后发现，对于一部分题目，可以通过坐标系变换（主要借助下文谈到的“仿射变换”），将椭圆化为圆，从而通过其固有的几何性质入手，构造关系求解.此法易于操作，尤其在化陌生为熟悉的过程中，更多隐含条件便呼之欲出.而在使用此法解题的过程中，

通过坐标系变换的內源联系，往往可对所求结果、所证结论有着更清晰明了的理解，有时还可反作用于常规方法，由因溯果，得到巧妙的构思思路.下面由具体例题分别说明.

一、巧找关系，挖掘已有几何模型中的几何性质

《渔父》中载，屈原在被放逐之后，游至江潭，一渔父听闻其遭遇，便说“世人皆浊，何不淈其泥而扬其波？众人皆醉，何不餔其糟而歠其醨？”至于解析几何亦是如此，在常规解法之外，善于灵活变化，从已知条件入手，着力挖掘其中的几何关系，则可能更为高妙的解法便呼之欲出了.试看以下例题.