大一高数B1习题册答案[1]

习题一

一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. ×

二、 1. A 2. D

3. B

4. A

三、

1. 直线y x =

2. [-1，3）

3.

1[,0]2

- 4. 奇 5.

2

log 1

y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x ===

四、

1(2)3f x x +=

+，2

2

1()1f x x

=+， 11(())1211x

f f x x x

+==

++

+，11()()2f f x x =+ 习题二

一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C

三、 （1）

22110n n

ε-=<

取N =即可

（3）

sin 1

0n n n

ε-≤< 取1

[]N ε

=即可

四、根据条件，0ε?>，N ?，当n N >时，有

0n n x y M ε-≤

即证。

习题三

一、

1. ×

2. ×

3. × 二、 1. C 2. D 3. C

4. C

5. D

四、（1）证明：0ε?>，要32832x x ε+-=-< 取3

ε

δ=

即可

（2）0ε?>，要

213

211

x x x ε---=<++ 只要3

1x ε

>+即可

五、 1)

lim 1x x x

-→=-，0

lim 1x x x

+

→=

lim

x x x

→不存在

2)

1lim ()2x f x +

→=，1

lim ()2x f x -

→= 1

lim ()2x f x →=

2

lim ()5,lim ()0x x f x f x →→==

习题四

一、 1. ∨ 2. × 3. ∨ 4. ∨ 5. × 6. ×

7. × 8. ∨ 9. ×

10. × 11. ∨ 12. ×

二、 1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 三、 (1) 2131

lim

11

x x x →-+=+

(2) 22

11112

lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2

02lim

2h hx h I x h

→+== (4) 23

I =

(5) 0I =

(6) 422

lim

13

x x I x →-==-

(7) 1

1133lim 1213

n n I +→∞-==-

(8) 111

lim (1)2212

n n →∞-=+

(9) 23211132

lim lim 111x x x x x I x x x

→→++-+==-=--++ (10) 1

5

I = (11) I =+∞ (12) 0I =

(13)

1x I ==

(14) 2

I = 四、

22

lim()0

24

x x ax b b a →++==--

22224(2)(2)

lim lim 2(1)(2)(1)(2)

x x x ax a x a x I x x x x →→+--++-===+-+-

2,8a b ==-

五、

321lim 1(1)

x x a x x →∞+==+

321

lim()111

x x b x x →∞+==--=-+

习题五

一、1、∨ 2、× 3、×4、×5、∨6、×7、×8、×

二、1、D 2、D 3、A 4、B 5、B 6 C 7 A 三、

1. 20sin lim

0x x

x

→= 2.

0tan3lim

3x x

x

→=

3. 2

2001

(2)1cos22lim lim 2sin x x x x

x x x

→→-==

4. 221lim()x

x x e x

→∞+=

5. 1

1

12

220

lim(12)

lim[(12)

](12)x

x x x x x x e +---→→-=--=

6.

lim(

)1x

x x a x a

→-=+ 7.

23

32211lim(1)lim[(1)]1x x x x x x x --→∞→∞-=-= 8.

1

lim

sin 33

x x x →→-== 9.

2

002

1lim lim 111cos 1)2

x x x x x →→==-+

10. 2cos 0

lim(13sin )

1x

x x →-=

11. 3300tan sin tan (1cos )1

lim lim sin sin 2

x x x x x x x x →→--==

12 x

x x x x x )cos 1(1

sin

3sin lim

20

++→=2001

sin

sin 3lim

lim (1cos )(1cos )x x x x x x x x x

→→+++ =33022

+=

四、2222

1()11

n n n

n n n n n n n n n ?

≤++≤?++++ 又22lim lim 11

n n n n

n n n n n →∞→∞?=?=++ 因此221lim ()11n n

n n n n

→∞++=++

五、2200

22(cos cos 2)[(cos 1)(1cos 2)]33lim lim x x x x x x x x

→→--+-= 222021

[()2]32lim 1x x x x →-+== 因此22

(cos cos2)3

x x x -

六 令ln x t =

则1

00ln lim

lim lim 1(1)(1)n t n n

x t t x t t

A x A e At →→→===--

于是1,1A n ==

习题六

一、 1. ∨ 2. × 3. ∨ 4. ∨ 5. × 二、 1. A 2. C 3. A 4. A 5. A 6. C 三、 （1）2111lim

12x x x →-=-，1

x =可去，补充1

(0)2

y = （2）(0)0,(0)0f f -

+

==，0x =跳跃 四、0

1

lim ()lim sin 0x x f x x x

++

→→==

00lim ()lim(sin 1)1x x b

f x x b x --→→=+=+ ()f x 连续，仅需连续在0x =处连续， 于是0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-

→→==， 这样 01b a =+=， 即 0,1a b ==- 五、

,1()0,1,1x x f x x x x ?

==??

->?

1x =±为跳跃间断点

习 题 七

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

√，×，×， √， √ 二、单项选择题 A 、C 、A 三、

（1）sin 2a - （2）

25 （3）0 （4）1

4

（5）1 （6）2e

第一章 复习题

一、 1. 1(1,)e --+∞

2.

0 3. 高 4. 0 5. 2

6.

12

二、 1. D 2. B

3. A

4. B

5. C 三、 1.

1

1

lim 2sin

lim 2222

n n n n n n x

x x --→∞

→∞

=?

=

2. 0cos cot lim x x x

x

→-=∞

3.

11

1

lim (1)lim

11

x

x

x x e x e x

→∞→∞--==

4. 333212lim()lim(1)2121

x x

x x x e x x →∞→∞+=+=-- 5.

223

3

8cos 2cos 18sin 22sin lim lim 22cos cos 12sin 2sin x x x x x x x x x x ππ→→

---+==+--- 6.

111111lim[]lim[]112(1)121

n n n n n n →∞→∞++=-++-=?++ 四、

21

lim 1(1)

x x a x x →∞+==+

2113

lim()122

x x b x x →∞+=--=-+

五、 1．22221211211

n n n

n n n n n n n n n n ++++++≤++≤

++++++++ …

2212121

lim

lim 12

n n n n n n n n n →∞→∞++++++==++++ 2211

lim()12n n n n n n n →∞++=++++ (2)

．由110,n x a x +>>=

易知10,n n n x a x x +>><

因此lim n n x →∞

存在

设lim n n x k →∞

=

1lim lim n n n x +→∞

=lim n n x a →∞

=

六、设()()()g x f x f a x =-+

在[0,]a 上， ()g x 连续，(0)(0)()g f f a =-，()()(2)()(0)g a f a f a f a f =-=- 若()(0)f a f =，取0ξ=

若()(0)f a f ≠，由零点介质定理有(0,)a ξ∈，()0g ξ=，即证。

习 题 八

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

×，√，×，×， √， × 二、单项选择题 A 、A 、B 、C 、 三、

（1）5(0)f ' （2）!n 四、460;470x y x y --=++=

五、2,1a b ==- 六、()a ?

习 题 九

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

√，×，×，×，√， √， × 二、单项选择题 C 、B 、D 、D 、D 三、

（1）2152ln 23x x

y x e '=-+ （2

）y '= (3) 24

2cos 22sin 2x x x x

y x -'=

(4)

2

3331sin 2ln 2ln 23

x x x x y x x x a a a ---'=++

(5) y '=

1y ??

'= (7) 2222x x y e x e '=+ (8) 2222112

2sin sin sin cos y x x x x x x

'=--

四、(1)

2(tan )sec dy

f x x dx

'= (2)

2()2()()dy f x xf x dx f x ''=+ 习 题 十

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

×，× 二、单项选择题 B 、A 、B 、D 三、 （1）3

2

(1)

y x ''=

- （2）21(3sin 4cos )x y e x x -''=+ (3) 2sin(ln )

x y x ''=-

(4)

y ''=

四、()

11(1)!11

4(3)(1)n n n n n y

x x ++??-=-??--??

五、222222222

22()sin 2()4()sin 2()8()cos 2()d y f x f x x f x f x x f x f x dx

''''??????=++?????? 习 题 十一

一、单项选择题

B 、A 、D

二、 1、22cos

2

y y '=-

- 2、2csc ()y x y '=-+

3、cos()sin ln cos cos()

y x y y x y

y x y x y ++'=-+ 4、x y x y y e y e x ++-'=-

三、

1、1ln ln(1)11x

x y x x x x ???

?'=-++ ???++????

2

、4

5

)145(1)2(2)31x y x x x x ??

-'=

--??++-+??

3、()

tan 2(sin )sec ln sin 1x y x x x '=+

4、()tan 2tan (sin )ln sin cot sec ln x x x y x x x x x x x x ?

?

'=+++

???

四、

1、

222

3324dy b d y b

t dx a

dx a t

== 2、

()

22

3

2cos sin 22sin 2sin cos cos ;1sin cos 1sin cos dy d y dx dx θθθ

θθθθθθθθθθ

θθθ--+-+==---- 习 题 十二

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） √，√，×，× 二、

D 、A 、B 、C 、D 三、

1、3

x C + 2、arctan x C + 3、sin 2x C +

4、sec x C +

5、3

22()3a x C ++ 6、21

ln 2

x C +

四、

1、2

21x dy dx

x =-

- 2、2

2(cos 2sin 2)x dy e x x x dx =- 3、0

12

x dy dx == 五、

（1）0.76≈ （2） 1.0067≈

第二章 复习题

一、 1. 1-

2.

(0)f '

3. n

4. (1sin )cos f x x '+、cos sin f x f x '''-

5.

ln(1)e -

6.

2

11

arctan(1)1(1)x x -?

-+- 7.

344sin(2)x x 、246412sin(2)32cos(2)x x x x +、242sin(2)x x

二、 1. D 2. D 3. A 4. D 三、

1．2

1sin 2

2

sin

d x x y

e x =-

2．23d 331d y t t x t ==

223

2

d 991d y t t x

t

==

3．2

11y y y

'

'+

=+ 22

1y y y

+'= 235

22(1)y y y y y +'''=-=-

4． 1

sin 22

y x =

(50)504912sin(250)222sin 2y x x π=

?+?=-

5．ln [ln ln(1)]y x x x =-+

11

[ln ln(1)()]1y y x x x x x

'=-++-+

1()[ln ln(1)]11x x x x x x

=-++++ 四、(0)0(0)2f f b a -

+

===++

(0)(0)f a f b -+''===

1a b ==-

五、设交点为00(,)x y ， 由2

2

x y a -=，0

x y y '=

由0

200

,b y xy b y x x '==-=- 因此得证。

习 题 十三

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）

√，√，√，√ 二、

C 、C 、C 、C 、D

三、令()ln f x x =，利用拉格朗日中值定理 四、令2

()F x x =，利用柯西中值定理。 五、令()()F x xf x =，利用罗尔中值定理

习 题 十四

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，√，√，× 二、 B 、C 三、

1、2-

2、1

3、2-

4、1

2 5、2

6、12

e

-

7、6e 8、e 9、 1

习 题 十五

一、单项选择题 B 、C 、C 二、

12323111(1)()ln 2(2)(2)(2)(2)(2)222322

n n n

n f x x x x x o x n --??=+---+-++-+-?? 三、

12

3

1

2

2(1)()12222(1)(01)(1)n n

n

n n f x x x x x x x θθ+++-=-+-++-+<<+

四、13

习 题 十六

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，×，×，× ，× 二、

A 、D 、

B 、D 、A 四、

1、 在10,e ?? ??

?上单调减少；在1,e

??+∞????

上单调增加

2、 在(],1-∞上单调增加；在[]1,2上单调减少；在[)2,+∞上单调增加 五、

1、 在5,3??-∞ ??

?上是凸的；在5,3??+∞????上是凹的；拐点是520,327

?? ???

2、 在(][),1,1,-∞-+∞上是凸的；在[]1,1-上是凹的；拐点是()1,ln 2± 六、

31

,22

a b ==

习 题 十七

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，×，√，× ，√ 二、

A 、

B 、B 、A 三、

1、极大值12(

)5

y 2、单调减少，无极值 四、 6.5p = 五、5t =

习 题 十八

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，√，× ，√， √ 二、

C 、C 、

D 、B

三、22(3)(2)8x y -++=

第三章 复习题

一、填空题

1． 0 2．),(+∞-∞ 3． 20 4． [-1，1]

5．)10(,)!

22(])1(cos[)!2()1(!4!2122242<<++++-++-

+θπθm m

m x m m x m x x x 6．)3

2,

32(2

-e 。 二、选择题

1． C 2． D 3． D 4 C 三、求下列函数极限 1．π

π211

arccos lim

1=

+-+-→x x

x

2．ab e

b

a x

x b a x x x

x

x

x ==++→→2

ln 1010

lim )2

(

lim

3．61sin lim 1lim )1(lim )1ln(lim 303sin 03sin 02

sin 0=-=-=-=+-→-→-→→x

x x x e x e e x x e e x x x x x x x x x x x 4．21

)1ln(lim )]1ln(11[

lim 2020

-=-+=-+→→x

x x x x x x x 四、证明下列不等式 1 证明：令x

x

x F ln )(=

，得e x =为驻点，于是当e x >时递减，故 b

b a a ln ln >

，即有a

b b a >

2 证明：令x x tgx x f 3sin 2)(-+=，由2

0π

<''x f ，得)(x f '递增，于

是

0)0()(='>'f x f ，则当2

0π

<

0)0()(=>f x f ，得证。 五、)0()

6(y =120-。

六、解：由1)1ln(lim 330=+-→n

x ax x x ，得6,21

=-=n a

七、证明：令x n a n x a x a x F n )12sin(1

213sin 31sin )(21--+++= ，由罗尔定理可得证。

八、证明：令)

()()(x g e x f x F =，由罗尔定理可得证。

九、当高r h 4=时，3

m in 3

8r V π=。

习 题 十九

一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） √，×，√，√ ，√， 二、

D 、D 、A 、C 三、

1、

ln x C

x + 2、4y =+ 3、sin y x C =+ 四、

1、111

6612

ln 112ln 2x x x C ++-+ 2、211arcsin 52

x x e x C x --+++

3、ln arctan x x C ++

4、tan cot x x C -+

5、cos sin x x C -++

6、tan x x C -+

7、3122arctan 3

x x x C -++ 8、tan sec x x C -+

五、7.1t =≈

习 题 二十

一、

A 、D 二、

1

、arcsin x C 2

、C

3、

1ln 2a x

C a a x ++- 4、1cos C x

-+ 三、

1、arctan x e C + 2

、1arccos 2x C + 3、132arctan 483

x

x C -+ 4、2

1(32tan )4x C ++ 5、21cos arctan 42x C ??-+ ???

6、66

1ln 244x C x ++ 7、3

1sin sin 3

x x C -+ 8、

2

1011(31)101

x x C -++ 9、()2

3

3

sin cos 2

x x C -+ 10

C + 习 题 二十一

1

、2(arcsin 2a x C a + 2

C

3

、1ln 2C + 4

ln(1C ++

5

、352281

(2)(2)35x x C --+-+ 6

、ln

C + 7、1arccos

C x + 8

、C +

93

ln(14C +

10、1

ln 313

x C -++ 11、ln 1x C -+

习 题 二十二

一、

C 、C 、B 二、

1、ln x x x C -+

2、22

21122

x x x e e C ----+

3、cos 2sin 22x x x C x

-+

三

1、3311ln 3

9x x x C -

+ 2、211arccos arcsin 24

x x x C +

3、C -

4、21

tan ln cos 2

x x x x C +-+

5、ln x

e x C + 6、11cos 2sin 248

x x x C -++

7、[]sin(ln )cos(ln )2

x

x x C -+ 8、)2arctan x C +-

习 题 二十三

1、

2211

ln(1)22

x x C -++ 2、2ln 310x x C +-+

3、21ln 1ln 1

2x x x C +-

-++ 4、2211ln(1)ln(1)

22x x x C -

++++++ 5、ln 1tan

2x C ++ 6tan 2x C ?+??

7、21ln tan csc 2x x C -

+ 83ln 1C ++

9、1)C +

10

、21)1)844C +++-+ 11

、C

第四章 复习题

一、判断题

√ √ √ × ×

二、单项选择题

C D B D 三、填空题 1、

c x x ++-+1112)1(111

)1(121 2、

c x +2arctan

21

3 c e e e x x x x ++-+--)1ln()1ln(

4 c x +-232

)1(31

5 c x x x +-++-2

3arctan )136ln(212

四、求下列积分

1、原式 =33

2211

(23)(21)1212

x x c +--+

2、原式=

c x x dx x x dx x x x

+++=+

=+?

?2

1

)4sin(ln 21)

4

sin(2cos sin cos cos ππ

3、原式 =c x x x +------

---999897)1(99

1

)1(491)1(971