2013年高考全国二卷理科数学真题

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷)

数学(理科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}3,2,1,0,1{},,4)1({2-=∈<-=N R x x x M ,则=N M ( )

(A)}2,1,0{ (B)}2,1,0,1{- (C)}3,2,0,1{- (D)}3,2,1,0{

（2）设复数z 满足i z i 2)1(=-，则z =( )

(A)i +-1 (B)i --1 (C)i +1 (D)i -1

（3）等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知，95=a ，则=1a ( ) (A)31 (B)31- (C)91 (D)9

1- （4）已知n m ,为异面直线，α⊥m ，β⊥n 。直线l 满足l ⊥m ，

βα??⊥l l n l ,,，则( )

(A)βα//且α//l (B)βα⊥且β⊥l

(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l

（5）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a ( )

(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1

（6）执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的=s ( ) (A)10131211++++

(B)!

101!31!211++++ (C)11131211++++ (D)!111!31!211++++

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(， )1,1,1(，)0,0,0(画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得

到正视图可以为

(A) (B) (C) (D)

（8）设6log 3=a ,10log 5=b ,14log 7=c 则( )

(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b c a >> (D)c b a >>

（9）已知y x a ,,0>满足条件??

???-≥≤+≥)3(31x a y y x x ,若y x z +=2的最小值为1，则=a ( ) (A)41 (B)21 (C)1 (D)2

(10)已知函数c bx ax x x f +++=23)(,则下列结论中错误的是( )

(A)0)(,00=∈?x f R x

(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形

(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减 (D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f

(11)设抛物线C px y 32=,)0(>p 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF 若以MF 为 直径的园过点)3,0(，则C 的方程为( )

(A)x y 42=或x y 82= (B)x y 22=或x y 82=

(C)x y 42=或x y 162= (D x y 22=或x y 162=

（12）已知点)1,0(),0,1(),0,1(C B A -,直线)0(>+=a b ax y 将ABC ?分割为面积相 等的两部分，则b 的取值范围是( )

(A))1,0( (B))21,221(- (C))31,221(- (D))21,31[

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ? =_______.

(14)从n 个正整数n ,,2,1 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5 的概率等于14

1，则=n . (15)设θ为第二象限角，若2

1)4tan(=+πθ,则=+θθcos sin _________. (16)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知25,01510==S S ，则n nS 的最小值为____.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）

ABC ?在内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,已知B c C b a sin cos +=.

(Ⅰ)求B ；

(Ⅱ)若2=b ，求ABC ?面积的最大值。

(18)（本小题满分12分）

如图，直棱柱111C B A ABC -中E D ,分别是1,BB AB 的中点

AB CB AC AA 2

21=== (Ⅰ)证明：111//CD A BC 平面;

(Ⅱ)求二面角E C A D --1的正弦值

(19)（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，没1t 亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。以X (单位：t ，150100≤≤X )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若)110,100[∈X ）则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入)110,100[的T 的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

平面直角坐标系xoy 中，过椭圆)0,0(1:22

22>>=+b a b

y a x M 右焦点03=-+y x 交M 于B A ,两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为2

1. (Ⅰ)求M 的方程

(Ⅱ)D C ,为M 上两点，若四边形ABCD 的对角线AB CD ⊥，求四边形面积的最大值.

(21)（本小题满分12分）

已知函数)ln()(m x e x f x +-=

(Ⅰ)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ,并讨论)(x f 的单调性；

(Ⅱ)当2≤m 时，证明0)(>x f ;

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

(22)（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，CD 为ABC ?外接圆的切线，AB 的延长线教直线CD 于点F E D ,,分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC -=-,B 、E 、F 、C 四点共圆。 (Ⅰ)证明:AC 是ABC ?外接圆的直径；

(Ⅱ)若EA BE DB ==,求过C F E B ,,,四点圆的面积与ABC ?外接圆面积的比值.

(23)（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程

已知动点Q P ,都在曲线???==β

βsin 2cos 2:y x C （β为参数）上，对应参数分别为αβ=与αβ2=（πα20<<）,M 为PQ 的中点.

(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程

(Ⅱ)将M 到原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.

(24)（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲

设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：

(Ⅰ)3

1≤++ca bc ab ; (Ⅱ)12

22≥++a

c c b b a ;