抛物线的位置与系数a、b、c的关系

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）内? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则|AB|= ()() 2 2 1212x x y y -+- 当直线l 斜率是k 时2221122 1(1)()||1k AB k x x y y = +-=-+ 直线l 倾斜角为α时2 21212||1tan ||1t AB x x y y co αα=-+=-+

《空间中直线与直线的位置关系》习题

《空间中直线与直线的位置关系》习题 一、选择题 1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( ) A .相交． B .异面 C .平行． D .相交或异面． 2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( ) A .相交、平行或异面． B .相交或平行． C .异面 D .平行或异面． 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是() A .3． B .4． C .5． D .6． 4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( ) A .分别与a 、b 相交． B .与a 、b 都不相交． C .至多与a 、b 中的一条相交． D .至少与a 、b 中的一条相交． 5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．30°或60° 二、填空题 6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上) 7.异面直线a ，b 所成角为80o，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________. 8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线． 9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________. 10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)． 三、解答题 11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线． =，AC 12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD AD ⊥BC ，对角线BD ，求AC 和BD 所成的角。 答案与解析 1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.② 7.40o<θ<50o 8.24. 9.3 π 10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)

点、直线与抛物线之间的位置关系 (学生 用) 一.点与抛物线的位置关系： 已知点P (x o, y o )和焦点为 (1 )点 (2 )点 (3 )点 (x o,y o ) (x o,y o ) (x o,y o ) 在抛物线 在抛物线 在抛物线 F 抛物线 2 y =2px 2 y =2px y =2px y 2=2px (p>0) 内 (P>O) (P>O) (P>0) 2 y o <2p X o 2 y 。=2p x o 2 (P>0) (P>0) y o >2p X o ( p>0) 二.直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线 C: y 2=2px (p>0)直线 I : Ax+By+C=0 抛物线C 和直线I 相离： (1)抛物线C 和直线I 相离 抛物线C 和直线I 无交点 方程组 得 关于X 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去x 得关于y ⑵) 别 式 方程(1)(或方程(2)无解) 0.) 方程(1)中的判别式 2 y 2 PX 无解，消去 y Ax By C=0 2 的方程,Ay +2pBy+C=0?- <0(方程(2)中的判 抛物线 C 和直线I 相切 (2)抛物线C 和直线I 相切 抛物线C 和直线I 有唯一交点 方程组I 2 y 2px 组解 方程组I 消去y 得关于X 的方程设A 2x 2+2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去 程Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)有两个相等的实数解 方程(1)的 判别式 0 0. C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交有一个交点或两个交点 判别式 抛物线 (1) 2 y 2p x 有一解或两解 抛物线 Ax By C=0 C 和直线I 相交: 分类为：1.直线和双曲线有一个交点 程设为mf+nx+p=O (1)方程 .直线和双曲线有两个交点 有一 Ax By C =0 X 得关于y 的方 (或方程(2)的 方程组 y 2 2px 有一解 消去y 得关于X 的方 Ax By C=0 (1)中的m=0且方程nx+p=0有解； 方程组 2 y 2p x 有两组不同实数解 Ax By C=0 (1 )方程(1 )有两个不同的实数根方程 方程组 消去y 得关于x 方程设为mx+nx+p=0 判别式 >0. 若抛物线C 和直线I 有两个交点 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2)) 方程(1)中的m 0 . 的斜率k AB P y o 2 X 2 2 y 2 当直线I 斜率是k 时 AB J (1 k 2 )(X 2 为)2 I y 直线I 倾斜角为 时 AB I 为 X 21{1 tan 2 1*1 ?C X o ,y o 是 AB 的中点，则直线 y 21 ~~cot 2 AB

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

直线与抛物线的位置关系教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系 教学目标 1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法； 2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法 3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神 教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法 教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用 教学方法：多媒体教学、学案式教学 教学过程 一、课题引入 师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系. 提问的目的： 1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系； 2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.） 师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力） 在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法） 二、新课讲授 例1：已知抛物线的方程为2 4y x =动直线l 过定点P(-2,1),斜率为k.。当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点 例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k 的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k 的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断?及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想. 那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x 或y ）得到关于y 或x 的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程0)12(442=++-k y ky ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y 的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0>?时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0=?时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0

一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)

一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知

一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

空间直线与直线的位置关系(教案)

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究

直线与抛物线的位置关系详案

2.4.2 直线与抛物线的位置关系 、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想” 、“数形结合思想” ，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用. 鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内 容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系” ，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究 方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的 系统性和全面性. 从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系” ，对判断 “直线与圆的位置关系” 已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分 学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关 系” ，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用 、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法； 2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法； 3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长 三、教学重点 四、教学难点 五、教学方法：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.：直线与抛物线的位置关系的判断方法. ：多媒体教学、学案式教学. 教学过程 、课题引入 师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没 有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交. 类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系 二、新课讲解 生：观察图像，得出结论. 师：结合PPT此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点， 称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交. 因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行. 下面简单地总结一下. （板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直 线与抛物线的公共点个数. 1） y 1 与y x2； 2）y 1 与y2 x； 3） y 2x 1与 y x 2 4）y x 与y x2. 注：课前先分好组，第一组做(1) (2),第二组做(3) ( 4).在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法?鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观 察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

直线与直线的位置关系——对称

直线与直线的位置关系（3）——对称问题 教学目标 1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。 2、初步学会解决三角形中的直线问题 1、两直线平行和垂直的判定 2、点到直线的距离公式 (1) 点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 . (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标； (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程． 解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)， 则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l. ∴????? y 0＋1x 0＋2·??? ?－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得??? x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为????25，195. (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称 点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．

由????? y －y ′x －x ′·????－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得????? x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85. 把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0. 即直线l 2的方程为7x －y －14＝0. (3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的 对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立． 由????? x ＋x 12＝1 y ＋y 12＝1，得????? x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0. 例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－ 4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状． 解：由题意画出草图(如图所示)． 设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下 先求A ′(a ，b)．

知识讲解-直线与抛物线的位置关系(理)-基础

直线与抛物线的位置关系 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程； ２．能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、准线)解决相关问题； 3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题．【知识网络】 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线． 要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”:一个动点,一定点F(即焦点)，一定直线（即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与定直线ｌ的距离之比）. 要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 22 y px =,22 y px =-，22 x py =，22 x py =-(0) p> 抛物线 抛物线的定义 与标准方程 抛物线的几何 性质 直线与抛物线的位 置关系 抛物线的综合 问题 抛物线的弦问题 抛物线的准线

图像 方程 y ２ =2px(p ＞0） y ２ =－２px(p>0) x 2＝2py （p ＞０） ｘ2＝-2p ｙ(ｐ＞０) 焦点 ,02p F ?? ??? ,02p F ??- ??? 0,2p F ?? ??? 0,2p F ? ?- ? ? ? 准线 2 p x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值. 要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥,{}y y R ∈， 抛物线y ２ =2ｐx(p>0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点Ｍ的坐标（x,y)的横坐标满足不等式x≥０；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性:关于x 轴对称 抛物线y 2＝2ｐx （p ＞0）关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线ｙ２=２px(ｐ>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 离心率：1e =. 抛物线y 2＝２ｐx(p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y ２ =２px （p ＞0)联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,其判别式为Δ. 2220ky py pm -+=

根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1

例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。

《直线与直线之间的位置关系》教案正式版

《直线与直线之间的位置关系》教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， 共面直线

BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例2（投影片） 例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 （3）教材P47探究 让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题 （投影） 让学生观察、思考： ∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； =>a ∥c 2

2.4.3.直线与抛物线的位置关系(一)

2.4. 3.直线与抛物线的位置关系（一） 【学习目标】 通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想. 【自主学习】 1、直线与抛物线的位置关系 设直线:l y kx b =+,抛物线2 2(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px =+??=?解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 三、当0k ≠时, 当0?>时,直线和抛物线____,有____公共点; 当0?=时,直线和抛物线____,有____公共点; 当0?<时,直线和抛物线____,有____ 公共点． 四、当0k =,即直线方程为0y y =时，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一 个公共点． 五、特别地,当直线的斜率不存在时, 即直线方程为x m =，则 当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点; 当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点； 当0m <时,与抛物线相离,无公共点. 注: 直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交． 【典型例题】 例1 已知抛物线的方程是x y 42 =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率是k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42 =：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？ 例2斜率为1的直线经过抛物线x y 42 =的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解法一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式解之. 思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系和弦长公式解之.

根与系数之间关系应用一

2013根与系数关系应用 一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________．

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

中考数学专题 根与系数的关系_答案

专题 根与系数的关系 例1. 15 2 s ≥- 且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22 3,A βα = +22 3,B αβ= + 31004A B += ① A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得 1 (4038 A =- 例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1 1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方 程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11 99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-= 故 41994519st s s s t s ++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程 22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得a ≥故正实数a 的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11, 6x y xy +=??=? 或 6,()xy 11. x y +=?? =?舍原式=()()2 22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2， 且x 1<0