山西省晋中市四校(晋商四校)2016届高三数学上学期期中联考试题 理

2015-2016学年度“晋商四校”高三联考

数学试卷（理科）

本试卷满分150分 考试时间120分钟

一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上） 1. 已知集合，则集合

中元素的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 设向量=

，=

，则“

”是“

//”的（ ）

A ．既不充分也不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．充分而不必要条件

3.曲线x e y 2

1=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A ．

22

9e B.24e C.22e D.2e 4. 下列命题错误的是（ ） A ．命题“”的逆否命题是“若

或

，则

”

B ．“”是”

”的充分不必要条件

C ．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题

D ．命题

：存在

,使得

，则

：任意

,都有

5．使()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数，且在0,4π??

????

上是减函数的θ的一个值是（ ）

A .

43π B . 23π C . 3π D .3

π

- 6.为了得到函数sin 2cos 2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像( )

A ．向左平移

4

π

个长度单位 B ．向右平移4

π

个长度单位 C ．向左平移

2

π

个长度单位

D ．向右平移

2

π

个长度单位

7．已知非零向量a r ，b r 满足a b a +=-r r r a b +r r 与a b -r r 的夹角为（ ） A .56π B .6π C .23π D .3

π

8．已知正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,则函数()()log a f x x b =+的图象可能为（ ）

9. 若，，均为单位向量，且

，则

的最大值是（ ） A ．1

B ．

C ．

D ．

10. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ） A ．27 B ．81 C ．243

D ．729

11．已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且当)0,(-∞∈x 时，

0)()(<'+x f x x f 成立，)2(22.02.0f a =,)2(ln )2(ln f b =,)41

(log )41(log 2

121f c =，则

c b a ,,的大小关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

12.已知点O 是在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r

，则三角形△AOB，△BOC，△AOC 的面积之比依次为（ ）

A ．4:2:3

B ．2:3:4

C ． 4:3:2

D ．3:4:5

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知,2,3a b a b ⊥==r r r r ，且2a b +r r 与a b λ-r r

垂直，则实数λ的值为 .

14.已知1cos 2sin cos ,(0,),22sin()4

πααααπα-=

∈=-则 .

15.已知0ln ,0()(22),0t

x

x x f x t e dt x >??

=?+-≤??? ，则函数()f x 的零点的个数为_______. 16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3

()(),(2)32

f x f x f -=-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2()n n a S a n n N *

=-=+∈，则56()()f a f a += . 三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17．（本小题10分） 已知p ：实数x 满足2

2

430x ax a -+<，其中0a >，

2260

280x x q x x x ?--≤?+->?

：实数满足

（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围.

（2）若p q ??是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．（本小题12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期； （2）求函数

在区间

上的最大值和最小值及取得最值时相应的值．

19．（本小题12分） 已知(cos ,1),(2cos ,),m x x n x y =+=-u r r 满足0m n ?=u r r .

（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；

（2）已知ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()32

A f =，且2a =，求ABC ?面积的最大值． 20.（本小题12分）

已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中154=a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b ,有1

+=

n n

a n

b ，求数列{}n b 的前n 项和n s . 21.（本小题12分）已知函数1ln ()()x

f x e x

+=

其中为自然对数的底数. (1)若1()(,)(0)3

f x a a a +>在区间上存在极值点,求实数a 的取值范围； (2)当1x ≥时,不等式()1

k

f x x ≥

+恒成立,求实数k 的取值范围. 22. （本小题12分）已知函数x ax x x f ln )(2

-+=， .a R ∈ （1）若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；

（2）令2

)()(x x f x g -=，是否存在实数a ，当∈x ],0(e （e 是自然常数）时，函数)(x g 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （3）当∈x ],0(e 时，证明： x x x x e ln )1(25

22+>-

2015—2016学年度“晋商四校”高三联考

数学参考答案与评分标准（理科）

一．选择题

B D D

C B A

D B B C B A

二、填空题 13．

92

14. 214- 15． 3 16．3

三、解答题(本大题6小题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17．（本小题10分）

解：（1）由2

2

430(3)()003x ax a x a x a a a x a -+<--<><<得，又，所以 当11313a x p x x =<<<<时，，即为真时，实数的取值范围是 ……2分

由22

60

2323280

x x x q x x x x ?--≤<≤<≤?+->?得，即为真时，实数的取值范围是 …4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x << ………… 6分

（2）:3:23p x a x a q x x ?≤≥?≤>或，或 ………………9分

由p q ??是的充分不必要条件，有02

1233a a a <≤?<≤?

>?

，得 故实数a 的取值范围是(]12，

………………12分 18（本小题12分）

（1）

……4分

∴………………6分

（2）∵

，∴

,∴

，∴

………………8分

当，即时，………………10分 当

，即

时，

………………12分

19．（本小题12分）

解：（1）22cos cos 2cos 21m n x x x y x x y ?=+-=++-

2sin(2)10,6x y π=++-=所以()2sin(2)16

f x x π

=++，……………3分

令2[2,2]6

22x k k π

π

πππ+

∈-

+，得[,],()36

x k k k Z ππ

ππ∈-+∈

()f x 的单调递增区间是[,],()36

k k k Z ππ

ππ-

+∈………………6分

（2）()2sin()13,sin()1,266A f A A ππ=++=∴+=又7(,),,66662A A πππππ

+∈∴+=

.3

A π

∴=

……………8分

在ABC ?中由余弦定理有,222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=

可知4bc ≤(当且仅当b c =时取等号),11sin 422ABC S bc A ?∴=

≤?=

即ABC ? ………………12分

20．（本小题12分） （1）∵，∴

………2分，

∴且

，∴数列{

}是公比为2的等比数列………………4分∴

，∴

即数列

的通项公式为

………………6分

（2）由（1）知， ∴ =

………………8分

∴ ①

， ②

①-②得，

∴，整理得

.………………12分

21.（本小题12分）

解: (1)当0x >时,有2

1

(1ln )1

ln ()x x x

x f x x x

?-+?'==- ………………2分 ()0ln 001f x x x '>??>，

所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值.

由题意得10,13a a a ><<+

且，解得实数a 的取值范围为2

(,1)3 ……… 5分 （2）当1ln (1)(1ln )

1()11k x k x x x f x k x x x x

+++≥≥?≥?≤

++时， 令(1)(1ln )

()(1)x x g x x x

++=≥， 由题意，[)()1k g x ≤+∞在，

恒成立， []22

(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++?-++?-'== …………9分

令1

()ln (1)()101h x x x x h x x x

'=-≥=-≥=，则，当且仅当时取等号.

所以[)()ln 1,h x x x =-+∞在上单调递增， ()(1)10h x h ≥=>，

因此，[)min 2

()

()0,()1,()(1)2h x g x g x g x g x '=>+∞==在上单调递增，， 所以(]2,,2k k ≤-∞所求实数的取值范围为 ……………12分

22.（本小题12分）