2016高中数学必修3和必修4基础知识和基本题型汇编

【基础知识1】

1）简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的共同特点是每个个体被抽到的概率相等； 2）统计数据的几种形式是条形图、折线图、扇形图和茎叶图；

3)数据的数字特征：平均数、中位数、众数；极差、方差（s 2

）、标准差(s)；注：数据12,n x x x ???的平均数和方差分别为x 和s,则数据12,n ax b ax b ax b ++???+的平均数和方差分别为ax b +和22

a s ； 4）频率分布直方图中每个小矩形的宽为i x ?,高为

i

i

f x ?,其面积为每组频率i f ，所有小矩形面积之和为1. 5）相关性：变量与变量之间不满足函数关系但存在着某种联系； 6）最小二乘估计求线性回归方程y a bx =+：11222

22

2

1

2n n n x y x y x y nx y b x x x nx

++???+-=

++???+-，a y bx =-；这里a 、

b 为回归系数，(,)x y 是平均点；

注：回归直线特征：散点图中所有点不一定在回归直线上，但平均点一定在回归直线上，所有点都距离回归直线最近；

必修3—算法初步

【基础知识2】

1）算法特征:有穷性；确定性；有序性；不唯一性；普遍性；

2）排序法：有序列直接插入排序法和有序列折半插入排序法；折半插入排序法先与“中间位置”进行比较，若有2n+1个数则“中间位置”是第n+1个数，若有2n 个数则“中间位置”是第n 个数，然后插入到靠左边的一半；（辗转相除法:例：18和32的最大公约数:先用18整除32余，14再用14整除18余4，再用4整除14余2，再用2整除4，即2为最大公约数）

3）框图含义：三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构；

是处理框表示算法的各种处理操作；

; 是输

4a=1b ； 5）条件语句结构：If 条件Then 循环语句结构：For 语句的一般形式是： Do Loop 语句： 语句1 For 循环变量=初始值To 终值 Do

Else(否则) 循环体 循环体

语句2 Next Loop While 条件为真 End If

必修3—概率

【基础知识3】

1）在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性，这个常数叫作随机事件A 的概率。（0《P （A ）《1）

2）古典概型：①特征：一是试验所有结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；二是每一个试验结果出现的可能性相同；②古典概型概率公式：P （A ）= m/n.

3)互斥事件概率公式：在一个随机试验中，不能同时发生的两个事件A 与B 称为互斥事件，其概率计算公式为：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；P （A ）=1- ()p A ；（概率计算中要合理利用列表法、树图法、列举法来列出所发生事件是解决问题的关键）

4）几何概型：P （点M 落在G 1）= G 1的面积/G 的面积= G 1的长度/G 的长度= G 1的体积/G 的体积

【基础知识1】同角部分

1.(逆正顺负；逆加顺减)1)象限角: Ⅰ:|222k k παπαπ?

?<<+???

?

Ⅱ:|222

k k παπαππ??+<<+??

?

?

Ⅲ:3|222k k παππαπ??+<<+???

?

Ⅳ:3|2222

k k παπαππ??+

<<+???

?

2)坐标轴角:x 轴:{}|k ααπ=y 轴:|2k πααπ??=+???

?

3)例题:①若θ是第一象限角,请判断,,90,18023

θθθθ±± 所在象限;

②化简

（2

c o s 3s i n 3--

）

2.同角三角函数:1)定义:sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r r

r

x

y

x

y

θθθθθθ======

2)同角三角函数定义有三种用法:

①计算如0,90,180,270 等特殊角的值; ②判断各角三角函数值的正负号;

③推导同角公式如:2

2222tan 1sin ,cos 1tan 1tan θθθθθ

==++.

【基本题型回顾】

能理解同角三角函数中比例关系，能利用“构造小直角三角形法”去求同角正余弦及正切值。

例：1、在平面直角坐标系中，点21

(,cos )2P θ在角α的终边上，点

2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上，且1

2OP OQ ?=-

。

1）求cos 2θ的值；（1/3） 2）求sin()αβ+的值。（

）

2、已知点P 33(sin

,cos )44ππ

落在角θ的终边上,且[0,2)θπ∈,则θ的值为74

π; 3、会利用小直角三角形计算如:已知tan 2θ=,求sin cos θθ+的值.

必修4—和差积倍角公式

【基础知识2】和差积倍角公式

sin()sin cos cos sin ;cos()cos cos sin sin ;

αβαβαβαβαβαβ±=±±= tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

;

22

2

2

2

21tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα

-=-=-=-=+ 2

2tan sin 22sin cos ;1tan ααααα==+22tan tan 2;1tan ααα

=-22

1cos 21cos 2sin ;cos ;22αααα-+== sin 21cos 2

tan 1cos 2sin 2αα

ααα

-==

+;sin cos )a b αααφ+=+ 【基本题型回顾】

题型训练：1）是凑角思想的应用；2）是“sin cos θθ+”型问题的通法研究；

例：1、已知α为锐角,且3

45

cos()πα+=

,则sin α=.

2、已知15

sin cos αα+=-，α∈(0，π)，则tan α= -3/4 。 解析：方法1：由已知1

25

12sin cos αα+= ∴2425

2sin cos αα=- ∴249(sin cos )12sin cos αααα-=-=

又(

,)2

π

απ∈ ∴sin cos 0αα->

∴7sin cos αα-= ∴34

sin ,cos αα==- 则tan α= -3/4 。

3、函数

2

()6cos 3(0)

2

x

f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、

C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形.

1）求ω的值及函数()f x 的值域；([-)

2）若0()f x =0102(,)33x ∈-，求

0(1)f x +的值)

解析：1）由题知3()3cos )

f x x x x πωωω==+

∴ABC ?的高为则BC=4 ∴8T =，即4

πω= ∴ ()f x 的值域为[- 2）由1）知43()3sin()

f x x ππ

=+

由0()f x =得4

04

35sin()x ππ+=

∴00443(1)3sin()

f x x πππ

+=++ =04343sin[()]x πππ++=004344343[sin()cos cos()sin ]x x ππππππ+++ 又0102(,)33

x ∈- ∴0[,]x ππππ+∈- ∴ 30cos()x ππ+=

∴0(1)f x +=

必修4—三角函数

【基础知识3】三角函数基本知识点

1)sin y x =①定义域:R ②值域:[-1,1]③奇函数④单调递增区间:[2,2]2

2

k k ππππ-+;单调递减区

间:3[2,2]2

2

k k ππππ++ ⑤对称轴:2

x k ππ=+(此处可取得最值) ⑥对称中心:(,0)k π ⑦最小正周

期:2||

πω

2)cos y x =①定义域:R ②值域:[-1,1]③偶函数④单调递增区间:[2,22]k k ππππ++;单调递减区间:[2,2]k k πππ+ ⑤对称轴:x k π= (此处可取得最值) ⑥对称中心:(,0)2

k π

π

+

⑦最小正周期:

2||

π

ω

3)tan y x =①定义域:(,)22k k π

πππ-+②值域:R ③奇函数④单调递增区间:(,)22

k k ππ

ππ-+; ⑤渐近线:2

x k π

π=+

;⑥对称中心: 2(,0)k π

;⑦最小正周期:||

πω

4)53sin cos (2,2);sin cos (2,2)4444x x x k k x x x k k ππππππππ>?∈++

5) sin()y A x ω=+Φ(k πΦ=是奇函数，2

k π

πΦ=+

是偶函数)；

cos()y A x ω=+Φ(2

k π

πΦ=+

是奇函数, k πΦ=是偶函数).

6)三角形内特性：A>B 大角所对的正弦大（sin sin A B >）；大角所对的余弦小（cos cos A B <）；A 、B

为锐角三角形内角时，可知：sin cos A B >或sin cos B A >；tan cot 1A B ?> 7）正弦函数与余弦函数互化公式为：2

2sin cos();cos sin()x x x x π

π=-=+。

【基本题型回顾】

三角方程与三角不等式的解决通法为数形结合法；

例：1

、已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( B ) A ．|,3x k x k k Z ππππ??+≤≤+∈???

? B ．|22,3x k x k k Z ππππ??

+≤≤+∈??

?

?

C ．

5{|,}6

6x k x k k Z π

π

ππ+

≤≤+

∈

D ．

5{|22,}66x k x k k Z ππ

ππ+

≤≤+∈

2、设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D )

A.()01f =

B.()00f =

C.()'

01f =

D.()'

00f

=

3、设函数

()sin()cos()(0,)

2f x x x π

ω?ω?ω?=+++><

的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 （A ）

A.()f x 在0,2π??

??

?

单调递减 B.()f x 在3,4

4ππ?? ???

单调递减

C.()f x 在0,2π?? ??

?

单调递增 D.()f x 在3,4

4ππ?? ???

单调递增

4、函数cos()(0,0)y x ωφωφπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B

分别为最高点与最低点，且||AB = （ D ）

A. 2x π

=

B. 2

x π

=

C. 2x =

D. 1x =

5、设0ω>,函数sin()23

y x π

ω=+

+的图像向右平移43

π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 C

A.23

B. 43

C. 32

D. 3

6

、设函数()cos cos )f x x x x ωωω=+,其中02ω<<. 1)若()f x 的周期为π,求当6

3

x π

π

-

≤≤

时, 求()f x 的值域

;( [0,3/2])

2)若函数()f x 的图像的一条对称轴为3

x π

=

,求ω的值.(1/2) 必修4--向量

【基础知识4】向量几何形式和代数形式 1.平行四边形法则和三角形法则性质:

规律:首尾相接两向量之和等于依起点为起点终点为终点的向量.

如图1，a b c +=

; D 是ABC ?的中线，则1()2

AD AB AC =+ .

如图1,若B,D,C 三点共线,则有BD DC λ= 或

1AD AB AC λμλμ=+?+= .

2.代数运算基本公式:1)();();()a a a a a a b a b λμλμλμλμλλλ=+=++=+

2)向量平行充要条件:几何法：向量b 与非零a 向共线充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=

.

代数法：若1122(,),(,)a x y b x y ==

，则1221x y x y =；

3向量垂直充要条件:几何法：0a b ?= ；代数法：若1122(,),(,)a x y b x y ==

，则12120x x y y +=.

4) 11222121(,)(,)(,);A x y B x y AB x x y y ?=-- |||a a =

=

5) cos (0)||||

a b

a b θθπ→→

→→

?=

≤≤?.

3.特殊性质:① ||||a b a b a b +=-?⊥ ;②a 在b 上的投影是||cos ,a a b <> ;

③直线方向向量的纵坐标与横坐标之比等于直线斜率.

平行四边形法则和三角形法则的应用中的三种题型：

1）三点共线问题；2）转换思想的应用；3）平行四边形法则应用

例：1、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20BC AC -= ，则OC =

（ A ）

a a

b

c

A

B

C

D 图1

A ．2OA O

B - B ．2OA OB -+

C ．213

3

OA OB -

D ．1233

OA OB -+

2、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三点满足2133OC OA OB

=+ ,则

||

||AC AB

= 1/3 . 3、在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ?

＝ 29 ．

4、如图，已知A B C ?中,点M 在线段AC 上, 点P 在线段BM 上且满足2

AM MP

MC PB ==,若

AB 2,AC 3,120BAC --→

--→

==∠=?

,则AP BC --→--→

?的值为A

A ．2-

B ．2 C.23 D ．11

3-

5、如图，平面内有三个向量OA 、、,其中与OA 与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1， ||＝32，

若＝λOA +μ（λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 .

6、如图(第21题)，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足

,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈

I ）求动直线DE 斜率的变化范围； (k DE ∈[－1,1].)

II ）求动点M 的轨迹方程. (x 2

=4y, x ∈[－2,2])