概率复习宋体

第一章 随机事件及其概率

一、主要概念及公式 1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合. 2. 随机事件：样本空间的子集.

3.

频率：事件A 发生次数与试验次数的比值.

4.

概率：随机试验的样本空间为Ω，A 为Ω的子集，P (A )为实值函数且满足非

负性、规范性、可列可加性，称P (A )为事件A 的概率. 5.

古典概型：试验具有以下两个特点的概率类型：

(1)试验的样本空间只包含有限个元素； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同 . 概率的古典定义:在古典概型时,.)(总数

样本空间中的基本事件包含的基本事件数

A A P =

6.

条件概率：设A 、B 是两个事件，且P (A )>0, 称)

()

()(A P AB P A B P =为

事件A 发生条件下B 发生的概率. 7.

独立性:设A 、B 是两个事件,若),()(A P B A

P =则称事件A 、B 相互独立.

.,都相互独立与，与与相互独立，则

与若B A B A B A B A

8. 事件的关系：

,B A =,B A ,B A ,B A -,Φ=B A .A

9.

概率性质：(1)

，1)(0≤≤A P ，0)(=ΦP ；1)(=ΩP

(2) );(),()()(时当B A A P B P A B P ?-=-

(3) );(1)(A P A P -=

(4)

);()()()(AB P B P A P B A P -+=

推广:);()1()()()()(2111111n n n

k j i k j i n

j i j i n

i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-++∑

+

∑-

∑=

10. 乘法定理: );0)(()()()(>=A P A P A B P AB P ，

独立事件的乘法公式： ).,()()()

(相互独立，B A B P A P AB P =

推广到有限多个独立事件：

相互独立）；i n

i i n i i A A P A P (),()(1

1

∏===

11. 全概率公式:(1)事件

；两两互不相容),,2,1(n i A i =(2)，Ω== n

i i A 1

则.)()()

(1

i n

i i A B P A P B P ∑==

12. 加法公式：);()()()(AB P B P A P B A P -+=

互不相容时，、B A );()()(B P A P B A P +=

13. 随机试验：具有以下三个特点的实验(1)可在相同的条件下重复进行； (2)每次实验结果可能不止一个；(3)实验前不能确定哪个结果会出现. 14. 概率的三个性质：(1)非负性:;0)

(≥A P ；(2)规范性：;1)(=ΩP

(3)可列可加性:；两两互不相容),,2,1(n i A i =则有.)()(1

1

∑===n

i i n

i i A P A P

二、基本习题

1．袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，一次从袋中任意取两球，观察其颜 色，写出此随机事件的样本空间。【Ω={ 两白，一白一黑，两黑 }】 2．设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表达下列事件

(1)至少有一个发生__________；(2)一个都没有发生 ； (3)恰好有一个发生___________；(4) 至少有两个发生 ； (5) 最多有一个发生 . 【

C B A C B A C B A C B A C B A ++,, ,AC BC AB ,AC BC AB 】

3．设A ,B 为相互独立的事件,

,3.0)(,4.0)(==B P A P 求).(B A P 【0.88】

4．设A ,B 为两事件,__

()0.6,(/)0.2,== P A B P B A 求__

(),().P A P AB 【0.5；0.1】

5．设A,B 为两事件,

,5.0)(,7.0)(,==?B P A P B A 求，)(B A P ).(B A P 【0.3;1】

6．设随机事件B A ，及B A 的概率分别为0.4,0.3和0.6,求，

)(B A P )(AB P ， ).(B A P 【1/3；0.1；0.3】

7．口袋中一装有3只红球，5只黑球，今从中任意取出2只球，求这2只球恰为一红一黑的概率。

【.28

15

)(2

81513==C C C A P 】 8．设21)

(=A P ,5/2)/(=A B P , 求)(AB P . 【51)/()()(==A B P A P AB P 】

9．一本有4本分册的文集，按任意顺序放在书架上，求将各分册按自

左向右或自右向左的顺序排列的概率。 【12142

=！】

10．某仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱

依次是第一、二、三厂生产的，且三个工厂该产品的次品率依次为

20

1

,151,101，现从这10箱产品中任取一箱，取得的这箱中任取一件产品， 求取得次品的概率。

【设A 为任取一个产品为次品，设

i B 为取自第i 箱,i =1,2

%.5.3)()()

(3

1

=?∑==i i i B A P B P A P 】

11．某工厂有一、二、三3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分 别占全厂的25%、35%、40%，3个车间中产品的废品率分别为5%、4%、 2%，求全厂产品的废品率。

【设A 表示全厂产品的废品率，

i B 表示任取一件产品是第i 车间生产的，

3,2,1=i 。 ∑==3

1

)/()()(i i i B A P B P A P %83.0=】

第二章 随机变量及其分布

一、主要概念及公式

1．随机变量:设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X (ω)是定义在样本空间Ω上的单值函数，称X=X (ω)为随机变量。 2．离散随机变量及概率函数：随机变量的取值是有限个或可列无限多个，称为离散随机变量。 概率函数:设离散随机变量所有可能的取值为

),2,1( =i x i ,i i p x X P ==)(,

,,2,1 =i 且i p 满足(1)非负性:；0≥i p (2)规范性:,11

=∑∞

=i i p

称

),,,2,1(,)( n i p x X P i i ===为X 的概率函数。

3．四种常见的离散随机变量：

（1）(0—1)分布:随机变量X 的概率函数为:

.1,0,)1()(1=-=-x p p x p x x

（2）超几何分布：随机变量X 的概率函数为：

.,),,,(,,1,0,)(N M N n M N n n x C C C x p n

N

x n M

N x M ≤≤==

--且都是正整数

（3）二项分布：随机变量X 的概率函数为：

)1,10.(,,1,0,)(=+<<==-q p p n x q p C x p x

n x x n

（4）泊松分布：随机变量X 的概率函数为：

).0(,,1,0,!

)(为常数>==

-λλλ x e x x p x

4．随机变量的分布函数：x 为任意实数, F (x )=P (X ≤x )称为X 的分布函数.

分布函数的性质:(1)0≤F (x )≤1; (2)F (x )是非减函数；(3)F (+∞)=1，F (-∞)=0; (4)离散随机变量：

).()()(∑=≤=≤x

x i i x p x X P x F

(5)离散随机变量的分布函数在分界点处是右连续； 连续随机变量的分布函数是连续函数.

5．连续性随机变量及概率密度:随机变量可以取得某一区间内的任何数值. 概率密度:对随机变量X ,如果存在非负可积函数 f (x )(-∞

,)()(dx x f b x a P b

a ?=<< 则称

f (x )为X 的概率密度 .（或定义为

.)(lim

)(0x

x x X x P x f x ???+<<=→）

概率密度的性质: (1)非负性:

);(,0)(+∞<<-∞≥x x f (2)规范性:.1)(=?+∞

∞-dx x f

对连续随机变量:

=<<)(b x a P =<≤)(b x a P =≤<)(b x a P ).(b x a P ≤≤

连续随机变量分布函数与概率密度的关系 :),()(x f x F ='.)()(?=∞-x

x F dx x f

6．三种重要的连续型随机变量

（1）均匀分布(X ~U [a ,b ]):概率密度为???

??<<-=其它，,

01

)(b x a a b x f .

（2）指数分布((X ~e [λ]):概率密度为).0(,0

,00

)(>??

?<≥=-λλλx x e x f x ， （3）正态分布),(~2σμN X

: 概率密度为

，)(,21)(2

2

2)(+∞

<<-∞=

--x e x f x σμσ

π.0,>σσμ为常数，其中

7．随机变量函数的分布：离散型（略） 连续型：已知X 的概率密度)(x f X ,求)(X g Y =的概率密度)(y f Y 的步骤：

(1)先求Y 的分布函数

=≤=≤=])([)()(y X g P y Y P y F Y , 积分限为y 的函数;

(2)上式两边对y 求导，即得Y 的概率密度。

8．二维随机变量:若对于随机试验的样本空间Ω中的每个结果ω，有序变量(X,Y )都有确定的一对实数值与之对应，即

X=X (ω), Y=Y (ω),则称(X,Y )是二维随机变量。 9．二维随机变量的联合分布函数),(y x F 及基本性质：

联合分布函数：),(),(y Y x X P y x F ≤≤=.

性质：(1)；1),(0≤≤

y x F (2)，1),(=+∞+∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F

；0),(=-∞-∞F (3)二维离散随机变量;),(y x F 对单变量都是右连续的；

二维连续随机变量),(y x F 是连续函数； 10．二维离散随机变量的联合概率函数:

).,(),(j i j i y Y x X P y x p ===

联合概率函数的性质:(1)非负性:

.0),(≥j i y x p (2)规范性:.1),(=∑∑i j

j i y x p

11．连续随机变量的联合概率密度:

y

x y y Y y x x X x P y x f y x ??????)

,(lim

),(0

0+<<+<<=→→

联合概率密度的性质:(1)非负性:

);,(,0),(+∞<<-∞≥y x y x f

(2)规范性:.1),(=??+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f

12．边缘分布:(1)离散随机变量的边缘概率函数：

；),()()(∑===j

j i i i X y x p x X P x p ).,()()(∑===i

j i j j Y y x p y Y P y p

边缘分布函数：

);,()(+∞=x F x F X ).,()(y F y F Y +∞=

(2)连续随机变量的边缘分布函数:

;),(),()(??=+∞=∞-+∞∞

-x X dy y x f dx x F x F .),(),()(??=+∞=∞-+∞

∞-y Y dx y x f dy y F y F

13．边缘概率密度:;),()()(?==∞

+∞-dy y x f dx

x dF x f X X .),()()(?==∞+∞-dx y x f dy y dF y f Y Y

14．二维随机变量的独立性

(1) X,Y 相互独立

).()(),(y F x F y x F Y X =?

(2) X,Y 为离散随机变量，X,Y 相互独立).()(),(j Y i X j i y p x p y x p =?

(3) X,Y 为连续随机变量，X,Y 相互独立).()(),(y f x f y x f Y X =?

二、基本习题

1．已知随机变量X 的分布列如下，求常数a 。

k X =

1 2 3 4 5

)(k X P =

a 2 1.0 3.0

a

3.0

【 因

13.03.01.02=++++a a ，得 1.0=a 】

2．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到 命中为止，求射击次数为3的概率。 【设直到命中为止射击次数为X ，.64

3

)43()41()3(2=?==X

P 】

3．盒中有9只零件，其中有6只合格品，3只次品，现从盒中无放回的抽取直到取到合格品。(a )设在取到合格品之前已取出的次品数为X ，（1）求X 的概率分布；（2）X 的分布函数；（3）求E （X ）,D （X ）；（4）若Y=X 2 –X ，求Y 的概率分布。 (b )设直到取到合格品为止已取出的产品数为X ，（1）求X 的概率分布；（2）X 的分布函数；（3）求E （X ）,D （X ）；（4）若Y=X 2 –X ， 求Y 的概率分布。

?????

????+∞<≤<≤<≤<≤<<∞-=.3,

1;32,8483;21,1211;10,32;0,

0)(x x x x x x F

【(a )(1)（2）

(3)E (X )=73，E (X 2)=149，D (X )= E (X 2)-E (X )=98

45

(4)

X 0

1

2 3

P

32

41

14

1 84

1 Y 0

2

6

P 12

11

14

1 84

1 X

1

2

3

4

(b ) （1）

（2）、（3）（4）

略】

3.盒中有9只正品、3只次品，现从盒中无放回的抽取直到取到合格品。设 在取到合格品之前已取出的次品数为X ，（1）求X 的概率分布； （2）求E （X ）,D （X ）；（3）若Y=X 2–X ，求Y 的概率分布。 【（1）

（2）、（3）略】

量X 的概率密度为

??

?<<=其它

1

0)(x Cx x f α

，且

4．设随机变

，．750)(=X E

求常数C 和α。

【由??????=?=+1011075.01dx Cx dx Cx αα 得?

??????=+=+75.02

11ααC C

，解得2=α，3=C 。】

5．设连续型随机变量X 的概率密度函数为

??

???≤≤--=其他,022,4)(2x x A

x f

(1)求常数A . (2)求分布函数F (x ). (3)求).1(

6．设连续型随机变量X 的概率密度函数为

,12(),230,Ax x f x B x <

=≤

其它,(1)求常数A ,B ；

(2)求

()24;P X << (3)求X 的分布函数F (x ).

P

32

4

1

141 84

1 X

1

2

3

P 43 449 2209 220

1

【（1）11,;22A B ==（2）124);2P X <<=（（3）

011

2(1),12

6()1(1),

2321,3x x x F x x x x

，

】

7．设随机变量

X 与Y 相互独立，且2/1)1(=≤X P ，3/1)1(=≤Y P ，

求)1,1(≤≤Y X P 。【??

?≤≤=≤≤其它

，0

1

161)1,1(Y X Y X P 】

8．设二维随机变量的联合概率密度为

??

?≤≤≤≤=其他,

01

0,10，),(y x Axy y x f

(1)求常数A ； (2)求(X ,Y )的联合分布函数；

(3)求边缘概率密度f X (x ) , f Y (y )；(4)判断X 与Y 的独立性. 【(1) 1101

=??Axydxdy , A =4

(2)22,01,01;

(,)0,x y x y F x y ?<<<<=??

其它

(3) ???≤≤?==∞

+∞-其他

，,0102),()(x x dy y x f x f X ??

?≤≤=其他

，,

01

02)(y y y f Y

(4)

),()()(y x f y f x f Y X =?,故X ，Y 相互独立 】

9．设二维随机变量(X,Y )在矩形域

,,a X b c Y d ≤≤≤≤上服从均匀分布，求

(1)(X,Y )的联合概率密度和边缘概率密度；(2)问随机变量X,Y 是否独立？

【(1)

1;,()()(,)0,a x b c y d b a d c f x y ?

≤≤≤≤?

--=???

其它

1,()0,x a x b f x b a ?≤≤?=-???其它，1,()0,

Y c y d f y d c ?≤≤?

=-???其它; (2) X ,Y 独立的】

10．设二维随机变量的联合概率密度为 ?

??>>=+-其他，,00

,0),()32(y x Ae y x f y x

（1）求系数A ；（2）求(X ,Y )的联合分布函数；（3）求边缘概率密度；

（4）求(X ,Y )落在区域

632,0,0:<+>>y x y x D 的概率.

【 (1) A =6 ; （2）23(1)(1),0,0;

(,)0,x y e e x y F x y --?-->>=??

其它

(3) 22,0

()0,0x X e x f x x -?>=?≤?，33,0()0,0y Y e y f y y -?>=?≤?

; (4)0.983p ≈】

11．一种电子仪器由两个部件构成,以X ,Y 分别表示两个部件的寿命(单位:小时),已知(X ,Y )的联合分布函数为

??

???≥≥+--=+---.0;

0,0,1),()22/(12/2/其它y x e e e y x F y x y x

问(1)X 和Y 是否独立? (2)两个部件的寿命都不超过100小时的概率? 【(1) X 与Y 的边缘分布函数分别为

?????≥-=+∞-.0;0,1),(2/其它x e x F x X ??

???≥-=+∞-.0;0,1),(2/其它y e y F y Y

)()(),(y F x F y x F Y X =，故X 与Y 独立

(2) )1.0,1.0(>>=Y X

P P )1.0()1.0(>>=Y P X P

)]1.0(1)][1.0(1[≤-≤-=Y P X P )]1.0(1)][1.0(1[Y X F F --=9048.0)(205.0≈=-e 】

第三章 随机变量的数学期望

一、主要概念及公式

1. 数学期望：离散随机变量X 的概率函数为,,2,1,)( ===i p x X

P i i

绝对收敛，若∑

∞

=1

i i i p x 则，∑=∞

=1

)(i i i p x X E

连续随机变量X 的概率密度为

，)(x f 绝对收敛，

若?+∞

∞-dx x f )( .)()(?=+∞

∞-dx x xf X E 则

2. 随机变量函数的数学期望:设随机变量函数为Y =g (X )( g 为连续函数)，

(1)离散随机变量X 的概率函数为,,2,1,)( ===i p x X

P i i 则.)()]([)(1

∑==∞

=i i i p x g X g E Y E

(2)连续随机变量X 的概率密度为

，

)(x f .)()()]([)(?==+∞

∞-dx x f x g X g E Y E 则 3. 二维随机变量函数的数学期望：设二维连续随机变量(X ,Y )的联合概率密度为，),(y x f 则随机变量函数Z =g (X ,Y )( g 为连

续函数)的数学期望；

??==+∞∞-+∞

∞-dy dx y x f y x g Y X g E Z E ),(),()],([)

([注：Z 为一维随机变量] 若(X ,Y )是二维离散连续随机变量，联合概率函数为

,,2,1,,),( ====j i p y Y x X

P ij i i 则.),()],([)(11

∑∑==∞=∞

=i j ij j i p y x g Y X g E Z E

4. 数学期望的性质:(1)为常数）c c c E (,)(=；(2)为常数）c X cE cX E (),()(=；

(3))()()(Y E X E Y X

E +=+；推广：∑=∑==n

i i n

i i X E X E 1

1

)()(.

(4)）相互独立（Y X Y E X E XY E ,),()()(=;推广:）相互独立i n

i i n

i i X X E X E (),()(1

1

∏=∏

==.

5. 方差和均方差：方差

},)]({[)(2X E X E X D -= 均方差：)()(X D X =σ.

方差计算公式：

.)]([)()(22X E X E X D -=

6. 方差的性质：(1)为常数）c c D (,0)

(=；(2)为常数）c X D c cX D (),()(2=；

(3)相互独立）Y X Y E X E Y X D ,(),()()(+=+.推广:）相互独立i n

i i n

i i X X D X D (,)()(1

1

∑=∑==.

7. 常用分布的数字特征：

分布名称及记号 概率函数或概率密度 数学期望 方差

分布”—“10

)

1,10(.

1,0,)(1=+<<==-q p p x q p x p x x

p Pq

二项分布

),(~p n B X

)

1,10.(,,1,0,

)(=+<<==-q p p n x q p C x p x

n x x n

np npq

二、基本习题 1．设

),(~p n B X ，且25.1)(,5.2)(==X D X E ，求.p n ，【5；0.5】

2．若X 与Y 相互独立，均服从U [0，2]，则E (3X +2Y ）=___________ D (3X +2Y ）= 。【 5 ，3

13 】 3．设，

15)(,2)(2

==X

E X E 求).32(+-X D 【 44 】 4．证明：[]2

2

()()().D X E X E X =-

第四章 正态分布

一、主要概念及公式

1．正态分布

),(2σμN 的概率密度及分布函数：

；为常数)0,(,,21

)(2

2

2)(>∞+<<-∞=

--σμσπ?σμx e x x .21)(22

2)(dx e x F x x ?=

∞---σμσ

π

超几何分布

),,(~N M n H X

)

,,,(),min(,,1,0,

)(N M N n M N n M n x C C C x p n

N

x n M

N x M ≤≤==

--为正整数； N

nM

)

1()

)((2

---N N n N M N nM

泊松分布

)(~λP X

).

0(,,1,0,

!

)(>==

-λλλ x e x x p x

λ λ

均匀分布

),(~b a U X

???

??<<-=其它，,

01

)(b x a a b x f

2

b

a + 12

)(2a b -

指数分布

)(~λe X

).0(,0

,00)(>???<≥=-λλλx x e x f x ，

λ1

21λ

正态分布

),(~2σμN X

,,),(21

)(2

2

2)(>∞+<<-∞=

--σσμσ

πσ

μ为常数x e x f x μ

2σ

2．标准正态分布N (0,1)的概率密度及分布函数：

,,21)(2

2+∞<<-∞=

-x e x x π

? .21)(22

dx e x x

x ?=

∞--π

Φ

3．标准正态分布N (0,1)的分布函数的性质： (1)

；5.0)0(=Φ (2)；1)(=+∞Φ (3)).(1)(x x ΦΦ-=-

4．正态分布

),(2σμN 的数字特征：,)(μ=X E 2)(σ=X D .

5．正态随机变量的线性函数的性质： 定理1：

),(~2σμN X ，则)0(),,(~22≠++b b b a N bX a σμ；

推论：

),(~2

σμN X ，则)1,0(~N X X σ

μ

-=

*

；

定理2：X ,Y 相互独立,),(~2x x N X σμ,),(~2y y N Y σμ则),(~22y x y x N Y X σσμμ+++；

定理2：

n X X X ,,,21 相互独立，且),(~2i i i N X σμ则

为常数）i n

i i i n

i i i n

i i i c c c N X c (),,(~1

2

21

1

∑∑∑===σμ.

二、基本习题

1．正态分布设变量X 服从正态分布),(2

σμN ,则σ

μ

-=

X Y 服从____。【），10(N 】

2．设X 服从正态分布N (1,4)，且Y =3X +5，则=≤≤-)111(Y P ____.

（附：6915.0)

5.0(=Φ，9333.0)5.1(=Φ) 【0.6248 】

3．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，(1)求(3)P X ；> (2)求C ，使

()().P X C P X C >=≤ 【(1) P =0.5 ； (2) C=3 】

4．设随机变量X ~N (70,100)(1)求(72);P X ≥(2)求a ,使(90)0.7055.P a X ≤≤=

(附:(0.2)0.5793,(2)0.9772,(0.61)0.7283Φ=Φ=Φ=)【(1) P =0.4207 (2) a =63.9 】

第五章 数理统计基本知识

一、主要概念及公式

1.总体与个体：研究对象的某项数量指标的值称为总体；总体中的每个因素 称为个体。

2.抽样及样本：从总体中抽取部分个体的过程叫抽样；抽样结果得到X 的一

组观测值，叫样本.

3.简单随机抽样与简单随机样本：从总体中抽样符合(1)随机性(2)独立同分布， 这样的抽样方法叫简单随机抽样；由此得到的样本叫简单随机样本。

4.常用统计量：(1) 样本均值.11

∑==n

i i X n X (2)样本方差212)(11∑--=

=n i i X X n S ][112

1

∑--==n i i X n X n .(3)标准差2

1)(11∑--==n i i X X n S . 5. 统计中的常见分布：

(1)

2

χ

分布：

k X X X ,,,21 相互独立,)1,0(~N X i 则)(~2

1

2

k X k

i i χχ∑==。

(2) t 分布：X 与Y 相互独立,)1,0(~N X ,)(~2

k Y χ,则)(~k t k

Y X

t =

. (3) F 分布：X 与Y 相互独立,)(~12

k X χ,)(~22

k Y χ,则),(~212

1

k k F k Y k X F =. 6. 单个正态总体统计量的分布：

定理1：总体

),(~2σμN X ，则),

(~2

n

N X σμ；

定理2：总体),(~2

σμN X ，则)1,0(~N n

X u σμ

-=

；

定理3：总体),(~2

σμN X ，则)(~)(1

2

21

22

k X n

i i χμσχ-∑=

=；

定理4:总体),(~2σμN X ,则(1)样本均值X 与样本方差2S 独立;(2))1(~)1(2222--=n S n χσ

χ； 定理5：总体),(~2

σμN X ，则)1(~--=

n t n

S X t μ

. 二、基本习题

1．设总体X 服从正态分布N (0,1)，X 1，X 2， ，X 25 为总体的一个样本，试求: (1)样本均值X

服从什么分布；(2)

X

落在(-0.4，0.2)之间的概率.

(9772.02(,8413.0)1(==）附：

ΦΦ).

【)25

1

,0(~N x ,)2.04.0(≤≤-x P ）=8185.019772.08413.0)2()1(=-+=--ΦΦ】

2．设总体

),25,40(~N X (1)抽取容量为36的样本，求)4338(<

(2)抽取样本容量为多大时，才能使得)140(<-x P 达到0.95？

【(1)，)36

25

,

40(~N X )4338(<

，95.0)5

15

40(

≥<

-n

n

x P ，95.0)51(≥<

n

u P ，05.0)5

1(≤>

n

u P

，）975.02

1(2

=-

≤α

Φαu .96.12

≥α

u ，96.151≥n

，04.96≥n .97≥n 取 】

第六章 参数估计

一、主要概念及公式 1.最大似然估计法：

样本n X X X ,,,21 取自总体，样本观测值为n x x x ,,,21 ，总体的概率函数

);(θi x p ，称);()(1

θθ∏==n

i i x p L 为似然函数；如果有),,,(?21n

x x x θ使得 )()?(

θθθ

L Max L =,则称),,,(?21n X X X θ为θ的最大似然估计量,),,,(?21n

x x x θ为θ 的最大似然估计值。

若总体为连续随机变量,概率密度为);(θi x f ,则似然函数取);()(1

θθ∏==n

i i x f L .

2.评选估计量的标准:

(1)无偏性:若θ的估计量

),,,(?21n

X X X θ满足θθ=)?(E ,则θθ是?的无偏估计量。 (2) 有效性：若21?,?θθ都是θ的无偏估计量,且)?()?(21θθ

D D <

,则2

1??θθ比有效。 (3)一致性：

)?(lim εθθ<-∞

→n

n P ,θθ是?的一致估计量. 3.置信区间：对于给定值α(0<α<1),若由样本n X X X ,,,21 确定两个统计量 ),,,(211n X X X θ和),,,(212n X X X θ

（21

θθ<），使得αθθθ-=<<1)(21P ，

则随机区间),(21θ

θ称为参数θ的置信水平为1-α 的置信区间。 4.单个正态总体均值μ的置信区间：设总体

),(~2σμN X ,置信水平1-α ,

(1) 已知总体方差

2

σ

，则总体均值μ的置信区间：）2

(ασ

u n

X

±

.

(2)未知总体方差2

σ，则总体均值μ的置信区间：）)1((2

-±

n t n S

X α. 5.单个正态总体方差σ2的置信区间：设总体

),(~2σμN X ，置信水平1-α ,

(1) 已知总体均值μ，则总体均值2σ的置信区间： ?????

? ??∑-∑--

==)()(,)()(2211202

2120n X n X n i i n i i ααχμχμ

(2) 未知总体方差μ，则总体均值

2σ的置信区间：

?????? ??-∑--∑--==)1()(,)1()(221122212n X X n X X n i i n i i ααχχ.)1()1(,)1()1221222

2??

???? ??----=-

n S n n S n ααχχ（ 二、基本习题

1．设总体X 的概率密度为∞<<-∞=

-x e x f x ,21

),(θ

θ

θ，其中0>θ，若取得样本

观测值为

，n x x x ,,,21 求参数θ的极大似然估计值

【

，θ

θθθ∑=∏=-

-i

x n

i e

x f L )2(),()( ，θ

θ∑-

-=i

x n L )2ln(ln

，0ln 2=∑--=θθθi x n d L d .?n

x i ∑=θ】 2．从一批零件中，抽取4个零件，测得其直径均值__

13X =毫米,设零件直径

~(,0.09)X N ，μ求这批零件直径X 的总体均值μ对应于置信概率为0.95的置信

区间.（附：

0.025 1.96U =） 【0319602944

?=，... (12.706,13.29】

3．从一批同型号的保险丝中任取16根测得熔化时间的平均值5.68=X ,样本

方差1442

=S

，设熔化时间X 服从),(2

σμN ，求μ的置信度为0.95置信区间。

(附：t 0.025(15)=2.13) 【05.0,12,5.68,16====αS x n

，

39.653.23)15(025.0=?=t n

s

置信区间[]89.74,11.62[),=+-μμx x 】

4．假设

321,,X X X 服从相同的正态分布)1,(μN ,下列三个估计量都是对参数μ的估计,问它们是否为对参数μ

的无偏估计?若是,哪个较优?

,613121?321X X X ++=μ

，322414121?X X X ++=μ,3233

1

3131?X X X ++=μ 【,)?()?()?(321μμμμ

===E E E 三者都是对μ的无偏估计,)?(3μD 最小,故3?μ最优】

第七章 假设检验

一、主要概念及公式 1.检验问题

在显著性水平α下, 检验假设

.::0100μμμμ≠=H H ，0H 称为原假设,1H 称为

备择假设. 当检验统计量去某个区域C 中的值时,我们拒绝原假设0H ，则称区域C 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点。

2.两类错误：拒绝0H 的错误，这类“弃真”错误称为第一类错误。 当0H 实际不真时，接受0H 的这类“取伪”错误称为第二类错误。 只犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的假设检验， 称为显著性水平。

3.正态总体均值μ的假设检验：（设总体

),(~2σμN X ,置信水平为 α）

(1)已知总体方差

2σ,对总体均值 μ的双侧检验 :

(a ) 提出假设：.:;:0100

μμμμ≠=H H

(b ) 选择统计量：)1,0(~N n X u σμ

-=

,并计算统计量的观测值：n

X u 000σμ-=;

(c )在置信水平为α的条件下,查正态分布表定出临界值.2

αu (即使2

1)(2

α

α-

=

αu u ≤时，接受原假设；00:μμ=H

当2

αu u >时，拒绝原假设，接受备择假设.:01μμ≠H

(2)未知总体方差

2σ,对总体均值 μ的双侧检验:

(a ) 提出假设：.:;:0100

μμμμ≠=H H

(b ) 选择统计量：)1(~--=

n t n S X t μ

,并计算统计量的观测值：n

S X t 00μ-=;

(c )在置信水平为α的条件下,查t 分布表定出临界值).1(2

-n t α(即使2

)(2

α

α=

>t t P );

(d ) 作出判断：当)1(2

-≤n t t α时，接受原假设；00:μμ=H

当)1(2

->n t t α时，拒绝原假设，接受备择假设.:01μμ≠H

(3)小结：总体),(~2σμN X ,正态总体均值 μ假设检验表：

原假设

0H 备择假设

1H

已知

0σσ=

未知

σ

在显著性水平α下关于0H 的拒绝域

0μμ= 0μμ≠ 2α

u u >

)1(2->n t t α

0μμ= 0μμ> αu u > )1(->n t t α 0μμ=

0μμ<

αu u <

)1(--

4.正态总体方差

2σ假设检验：（设总体),(~2σμN X ，置信水平为 α）

(1) 已知总体均值 μ，对总体方差2σ的双侧假设检验：

(a ) 提出假设：.:;:0100σσσσ≠=H H

(b )选择统计量:)(~)(1

2

21

2

2

n X n

i i χ

μσ

χ-∑=

=,并计算其观测值2

01

202

)

(1

μσχ-∑=

=n

i i X ；

(c ) 在置信水平为α,自由度为n 的条件下,查)(2n χ分布表定出临界值)(221n αχ-,

(即使21))((2212

αχχ

α-=>-n P )和)(22n αχ(即使2))((2

22αχχα=>n P )；

(d )作出判断：当)()(221222n n ααχχχ-<<时，接受原假设;:00σσ=H

当

)()(2

222212n n ααχχχχ><-或时,拒绝原假设,接受备择假设.:01σσ≠H

(2)未知总体均值μ，对总体方差2σ的假设检验：)1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσχ

(a ) 提出假设：.:;:0100

σσσσ≠=H H (b ) 选择统计量:

)1(~)(1

)1(2

21

22

2

2

--∑=

-=

=n X X S n n

i i χσ

σχ, 并计算其观测值

20

2

2

0)1(σχS n -=

；

(c ) 在置信水平为α，自由度为n -1的条件下,查2χ分布表定出临界值

)1(221--n αχ（即使21))1((2212αχχα-=->-n P ）

和 )1(2

2-n αχ（即使2))1((2

22αχχα=->n P ）

； (d ) 作出判断：当)1()1(2

21222-<<--n n ααχχχ时，接受原假设;:00σσ=H

当)1()1(2

222212->-<-n n ααχχχχ或时,拒绝原假设,接受备择假设.:01σσ≠H

(3)小结：总体),(~2σμN X ,正态总体方差2σ假设检验表：

原假设

0H 备择假设

1H

已知

0μμ=

未知μ

在显著性水平α下关于0H 的拒绝域

202σσ= 202σσ≠ )()(222122121n n ααχχχχ><-或 )1()1(222222122->-<-n n ααχχχχ或

202σσ= 202σσ> )(2

21n αχχ> )1(2

22->n αχχ 202σσ= 202σσ<

)(2121n αχχ-<

)1(2122-<-n αχχ

二、基本习题

1．已知电子工厂生产的某种电子元件的平均寿命为3000小时，采用新技术试制一批这种电子元件，抽样检查20个,测得电子元件使用寿命的样本均值

3100=x 小时，样本标准差s =170小时。设电子元件的使用寿命服从正态分布。问试制的

这批电子元件的平均寿命是否有显著提高（取显著性水平01.0=α， 54.2)19(01.0=t ）

【 按题意，要检验的假设是

;3000:0=μH ,3000

:1>μH 未知σ， 选取统计量()1~0

--=

n t n

S X t μ,计算统计量的观测值得63.220170300031000≈-=

t

54.2)19()1(01.0==-t n t α ，),19(01.0t t >

所以在显著性水平

01.0=α下，拒绝原假设H 0，接受备择假设H 1

即认为试制的这批电子元件的平均使用寿命有显著提高。 】

2．考生的考试成绩服从正态分布,从中随机抽取出36名学生的成绩,算得平均分 为66.5,标准差为15分,问在显著性水平为0.05下,是否可以认为这次考试全体 考生的平均成绩为70分?

(附：,0301

.2)35(025.0=t ,,6896.1)35(05.0=t ,,0281.2)36(025.0=t ,6883.1)36(05.0=t ) 【

;70:0=μH ,70:1≠μH 未知σ，选取统计量,()1~0

--=

n t n

S X t μ

计算统计量得 ,4.136

/1570

5.660-=-=

t ,0301.2)35(025.0=t ,0301.24.1<-

所以接受0H ,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 】 3．某工厂生产的仪表，已知寿命服从正态分布，寿命方差经测定为

，1502=σ现在由于新工人增多，对生产的一批产品

进行检验。抽取10个样本，测得其寿命(h)为：1801,1785,1812.1792,1782,1795,1825,1787,1807,1792,问这批仪表的寿命方差较以往有无显著变化(取05.0=α

)？如果(1)已知仪表的平均寿命1805=μ；(2)未知μ

.

【(1)150:;150:2

12

≠=σσH H ,已知μ

,选取统计量)(~)(1

2

21

22

n X n

i i χμσχ

-∑=

=,

计算统计量4.14)1805(15012101

2

1

=-∑==i i x χ,自由度为10，查2χ分布表得

5.2022

05.0=χ,25.322

05.01=-

χ，因)(2025.0212975.0n χχχ<<

所以接受0H ，可以认为这批仪表的寿命方差较以往无显著变化 .

(2))

150:;150:2

120≠=σσH H ,未知μ

,选取统计量)1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσχ

,

计算统计量 94.10150

4.182922

=?=χ，自由度为9，查2χ分布表得

00.1922

05.0=χ，70.222

05.01=-

χ，因)(2025.0222975.0

n χχχ<<，所以接受0H ，

可以认为这批仪表的寿命方差较以往无显著变化 .】