立体几何与空间向量

1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基

底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k

的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、

z 轴，

它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平

面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；

2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序

实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++

，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz

-中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，

则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， 112233a b a b a b a b ?=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈

， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=

．

（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4 模长公式：若123(,,)a a a a = ， 则||a ==

5．夹角公式：cos ||||a b

a b a b ??==?

6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB 7．直线和平面所成角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于

平面或在平面内，所成角为0?角直线和平面所成角范围： [0，

2

π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

8．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成?1

角，a 在α上的射影c 与b 相交成?2角，则有θ??cos cos cos 21=

E

D'

B'

C'

A'

O

D

A

C

B

α

H

D

C

B

A

9 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角

的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--

10．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平

面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角（1）二面角的平面角范围是

[0,180] ；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 11 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

12．面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直13．面面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 练习：

设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=

，求a b - 与x 轴正方向的夹角的

余弦值

2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿ 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，

⑴求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a 分别与向量,垂直，且|a |＝3，求向量a

的坐标

4．直角ABC ?的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45

，CD 是斜边AB 上的

高线，求CD 与平面α所成角的正弦值

5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距

离分别为

，求二面角的大小

6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '= ，求：（1）AO 与A C ''所成角； （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）平面AOB 与平面AOC 所成角

已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，

（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离

参考答案：

设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=

，

α

H

D

C

B

A

求a b -

与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =

，设所求夹角为α，

∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -?=---?=-

∴1111()()cos ||||

a b c a b x a b

mx m a b c α-?--===-? ，即为所求

2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿

解： (2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-

cos ,||||BA BC BA BC BA BC ?∴===

∴∠ABC ＝45°

3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a

的坐标

分析：⑴2

1|

|||cos ),2,3,1(),3,1,2(=

=

∠∴-=--=AC AB BAC ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ⑵设a

＝(x,y,z)，则,032=+--?⊥z y x

33||,023222=++?==+-?⊥z y x z y x

解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a

＝(－1，－1，－1).

4．直角ABC ?的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45

，CD 是斜边AB 上的

高线，求CD 与平面α所成角的正弦值

解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，

则30CAH ∠=

，45CBH ∠=

，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ，

令CH a =

，则2,AC a BC ==，

则在Rt ABC ?

中，有3

AC BC CD AB ?=

=

β

α

l

P C B

图1

A

E

D'

B'

C'

A'

O

D

A

C

B

在Rt CDH ?

中，sin 2

CH CD θ=

=

∴CD 与平面α

所成角的正弦值

2

. 5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分

别为，求二面角的大小

分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理

解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥

而面PAC 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，

则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角

在Rt APC ?中

，1

s i n 2

PA ACP PB ∠=

== ∴30ACP ∠=

在Rt BPC ?

中，sin 2

PB BCP PC ∠=

==

∴45BCP ∠=

故304575ACB ∠=+=

（图1）或453015ACB ∠=-=

（图2） 即二面角l αβ--的大小为75 或15

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角

6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '= ，求：

（1）AO 与A C ''所成角；

（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角 解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠

∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）

β

α

l

P

C

B

图2

A

O E

D 1

C 1B 1

A 1

D

C

B

A O

D 1C 1

B 1

A 1

D C

B A

在Rt AOC ?中，

2

OC AC =

=∴30OAC ∠= （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD

∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt OAE ?

中，1,2OE AE =

==

∴tan OE OAE AE ∠==（3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ?平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90

已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，

（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离

解：（1）解法一：延长EO 交1A A 于F ，则F 为1A A 的中点，∴//EF AC ， ∵1CC AC ⊥，

∴1C C EF ⊥，连结1,D E BE ，则1D E BE =， 又O 是1BD 的中点，∴1OE BD ⊥，

∴OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线

（2）由（1）知，

OE 12AC ==．

解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）

引申：求1B C 与BD 间的距离

解法一：（转化为1B C 到过BD 且与1B C 平行的平面的距离） 连结1A D ，则1A D //1B C ，∴1B C //平面1A DB ，连1AC ，可证得

1AC BD ⊥，1AC AD ⊥，∴1AC ⊥平面1A DB ，

∴平面1AC ⊥平面1A DB ，且两平面的交线为1AO ，过C 作1CE AO ⊥，垂足为E ，则CE 即为1B C 与平面1A DB 的距离，也即1B C 与BD 间的距离，

在1

AOC ?中，111122OC A A CE AO ?=?

，∴3

CE =． （解法二）：坐标法：

以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a ，11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D ， 由（解法一）求点C 到平面1A DB 的距离CE ，设(,,)E x y z ， ∵E 在平面1A DB 上，

∴111A E A D A B λμ=+

，即(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+，

∴x a a y a z a a a λμμλ=-??

=??=--?

， ∵1,CE A D CE BD ⊥⊥ ，∴(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=??

---=?

， 解得：23λμ==，∴111(,,)333CE a a a =--

，∴CE =．

解法三：直接求1B C 与BD 间的距离

设1B C 与BD 的公垂线为1OO ，且11,O B C O BD ∈∈，

设(,,)O x y z ，设DO BD λ=

，

则(,,)(,,0)x y z a a λ=--，∴0x a y a z λλ=-??

=-??=?

，∴(,,0)O a a λλ--，

同理1(,,)O a a a μμ，

∴1((),,)OO a a a a μλλμ=++ ，∴111,OO BD OO BC ⊥⊥ ， ∴111

0,0OO BD OO BC ?=?= ， 解得：21,33λμ=-=，1OO = 111(,,)333a a a -

，1||3

OO a =

．