多元线性回归及logistics回归模型在上海市房价预测中的分析与应用
多元线性回归及logistics回归模型
在上海市房价预测中的分析与应用山东大学威海分校吴铖、钟迪威、高利翠
摘要
国家统计局发布的信息显示，近几年我国房地产价格呈显著上升趋势。而在全国各大中城市中一线城市如上海、北京、广州等俨然成为房价上涨的领头羊。房价持续高速增长，无论对房地产业自身运营，还是对国民经济健康发展，乃至整个社会的和谐稳定，都将产生一定的负面影响。对大中城市，尤其是一线城市的房价进行研究分析和预测，具有很强的实际意义。
本文选取上海为例，对房价的主要影响因素进行研究分析。基于供求、成本理论及经济因素，本文从上海统计年鉴、国家统计年鉴收集官方数据，通过比较选取2002年至2009年上海市人均GDP、人均消费支出、商品房平均造价、中长期年平均贷款利率、商品房竣工面积、商品房销售面积、房地产业总投资额等作为影响房价的因素，建立多元线性回归模型，运用spss进行参数估计和检验，并利用2010年数据进行预测和检验，从而筛选出对房价影响的主要因素。并用logistics模型对房价进行预测未来房价上涨的概率。最后提出相关的控制房价过快上涨的建议。
通过多元线性回归模型我们得到，上海市人均GDP、中长期年平均贷款利率以及商品房销售面积是影响房价的主要因素，其中人均GDP更是首当其冲。因此，政府若想有效的控制房价过快增长，首先应考虑控制经济过快增长。同时，由于08年金融危机的到来导致房地产暂时出现平缓，而09年金融浪潮退去后，
国家所实施的4万亿投资政策极大的刺激了房地产业，使得上海房地产业出现
全面井喷现象，但由于近几年上海商品房销售面积并没有表现出强劲势头，因此未来几年这种势头将不会持续。通过Logistics回归模型，我们得到房价上涨的概率是87.6%，这将影响经济的发展和加重人民的负担，由此政府必须采取相关政策来加强控制。未来几年，如何抓住其增长较缓的拐点进行投资，是投资者所需关注的。
关键字：房价预测上海市多元线性回归模型Logistics回归模型
目录
摘要................................................................................................ I 一．研究背景及现状.. (1)
二．问题的提出 (1)
三．模型构建前的准备 (2)
3.1模型假设 (2)
3.2房价影响因素分析及变量选择 (2)
3.3数据来源 (3)
3.4数据处理 (4)
四、多元线性回归预测及logistics回归模型 (5)
4.1多元线性模型 (5)
4.2 logistics回归模型及logistics回归分析的房地产预测模型 (6)
五．实证分析 (6)
5.1模型的参数估计 (6)
5.2回归模型的检验 (7)
5.2.1多元线性回归的残差检验 (7)
5.2.2用逐步回归对模型进行分析 (8)
5.2.3用Cook统计量进行异常值检验 (10)
5.2.4 预测2010房价 (12)
5.3结果分析 (12)
5.3.1各因素与房价变动的相关关系 (12)
5.3.2各因素对房价变动的贡献 (12)
5.3.3异常值分析 (12)
5.4结论及建议: (13)
六．模型优点缺点及模型的改进 (13)
参考文献 (13)
附录 (14)
一．研究背景及现状
我国房地产业自20世纪80年代以来得到了快速发展，而且随着人们生活水平的提高和社会城镇化程度的增强，全国各大城市房地产业迅速崛起，这使得房地产业一直处于过热状态。进入新世纪，房地产价格起伏不定，2001年初到2002年上半年房价直线下跌，从2002年下半年到2005年初房价开始逐步回升，并在随后的两年维持震荡行情，但2007年下半年房价一泻千里，2009年第一季度开始触地反弹并迅速攀升，2010年至今一直保持上升趋势。我国房地产价格长期持续高涨，给我国的经济发展及社会居民带来了不同程度的影响，成为社会和民众普遍关注的热点话题。
国家统计局发布信息显示被认为大调整之年的2007年一至三季度70个大中城市房屋销售价格平均上涨6.3%，2009年全国商品住宅销售面积增长43.9%，销售额增长80.0%，销售额上涨幅度几乎高出销售面积涨幅的一倍，持续上涨的楼市，引起人们对资产泡沫的担忧。2007年、2010年国家出台了一系列抑制房价过快上涨的政策，但收获甚微，房地产价格一直在高位盘旋。房地产市场会怎样发展，急需有效的房价预测方法对房价进行预测。房地产价格的预测不仅可以为投资决策和消费决策提供参考，也可为政府部门提供参考，所以预测的准确性相当重要。学者对房价预测的研究已有很多，例如采用时间序列预测房价、通过灰色理论和马尔可夫链理论对房价进行简单预测、logisics回归模型预测房价上涨概率、将灰色-马尔可夫预测模型和多项式模型用于房价预测并对两个模型的预测结果进行比较等等。有的模型做出了比较好的预测。基于研究的理论和方法不同及不同城市的具体情况不同，各种模型都有优缺点。本文针对上海房价采用多元线性回归模型及logistics模型对房价进行分析预测。
二．问题的提出
房地产市场的稳定关系到国计民生，房价的高涨加重了居民的生活负担也产生了影响社会稳定的一系列负面效应。在北京、上海、广州、深圳等一线城市，高房价正导致中低收入群体面临“房奴化”和“居住隔离”的困境，加剧了中低收入群体的贫困和边缘化，并由此引发了一些社会问题。
房价上涨过快的背后是什么？哪些因素导致了房价的快速上涨？是基于成本利润理论，还是基于供求关系，抑或是宏观经济环境推动，还是投机资金的带动。而宏观调控的手段众多，如廉租房建设，经济适用房建设，提高税收，打击投机，企业房贷资金紧缩，提高准备金率，不批准房地产企业上市圈钱等等。哪些政策能起到决定性作用，扭转房地产市场过热局面？
上海，作为我国四大直辖市之一，是我国的经济中心，各种投资活动频繁。上海的房价可以说的一线城市乃至全国的指向标。研究并预测上海的房价，提出相关可行性建议，将具有十分重大的意义。
三．模型构建前的准备
3.1模型假设
本文选商品房的相关量进行统计分析。并做如下假设：
1、假设商品房的销售价格与建房成本、人均GDP呈线性关系；
2、人均GDP可以很好地衡量经济发展及人民生活水平。
3、消费者心理因素忽略，如对房价的期望值、消费者对房屋无偏好。
4、忽略一些配套设施对建房成本的影响，忽略人为的炒作和政府调控。
3.2房价影响因素分析及变量选择
影响房价的因素有建房成本、经济发展程度、消费者需求因素、房地产开发总投资额、每年房屋的竣工面积、销售面积、银行利率、供需关系及政府相关政策等。基于影响房价的因素太多、太复杂，基于不同的理论基础有不同的解释。我们分别从经济学成本利润角度及供给需求角度，选取了以下7个指标作为房价的影响因素。
1、居民收入和居民消费
居民收入作为影响房地产价格的因素之一，现有的收入水平及边际消费倾向的大小决定了居民收入对房地产价格的影响。当居民实际收入提高时，就会刺激消费，从而居民房地产的需求量就会增加，导致房地产价格上涨。边际消费倾向较大的低收入家庭增加的收入对房地产价格的影响较小，增加的收入用于满足衣食住行的需要；边际消费倾向较大，中等收入家庭增加的收入对房地产价格的影响较大，增加的收入用于提高生活质量，居民房地产的需求量就会增加，从而导致房地产价格上涨；边际消费倾向较小的高收入家庭对房地产价格的影响更大，他们将增加的收入用于房地产投资或投机，甚至会引起房地产价格的飙升。在我国现阶段，居民收入对影响房屋需求起着决定性的作用。
2、造价成本
在房地产开发成本中，土地和建筑材料供应状况是主要组成部分，土地和建筑材料价格的变化以及土地和建筑材料供应状况是房地产开发成本的直接影响因素，在供应和需求一定的情况下，土地和建筑材料供应状况的上涨是推动房地产价格的上涨的重要因素。由于土地资源是有限的，所以房地产价格变动不会有大弹性的供应量转变。我国城市化的快速发展，会增加住房需求，进而使土地和建筑材料的价格上升。从1999年至2008年的这十年中，土地和建筑材料的价格一直在上涨。北京、成都、杭州、上海、武汉、深圳、南京等一线城市土地和建筑材料的价格更是飙升。土地和建筑材料的价格上涨导致了商品房开发成本的飙升。随着我国房地产行业的发展以及房地产需求量的快速增加，房地产市场对土地和建筑材料的需求不断增加。因此，土地和建筑材料供应的变动情况影响房地产价格，土地和建筑材料是我国房地产价格能够持续上涨的重要驱动因素。
3、利率因素
利率从供给和需求两方面影响房地产价格。首先，从供给方面，利率反映的是资金的使用成本，对于房地产商来说利率是其融资成本，直接影响开发的总成本。当贷款利率上升时，资金成本的转嫁会直接导致房价上涨；若不提高房屋售
价，资金成本得不到转嫁就会导致利润的下降，从而减少房屋供给，在需求量变动不大的情况下，供求关系作用也会导致房价上涨。因此，利率在供给方
面与房价正相关。从需求方面，又可分为收入效应和替代效应。收入效应使得利率和消费同方向变化。当利率升高时,居民银行存款的利息增加,居民储蓄的财富增加，使得居民个人的消费能力增强，购房需求也因此增加。替代效应使得利率与消费成反方向变化。当利率升高时,储蓄、购买债券的收益增加,相对地房地产投资收益缺乏吸引力,导致房地产需求减少；另一方面，由于自有资金的不足，大部分购房者购房都要向银行等金融机构贷款，利率的上升会提高购房成本，购房者推迟购房计划导致房地产市场需求的减少。利率对购房需求量的影响取决于收入效应和替代效应的大小对比。收入效应作用于全部消费支出，房屋消费只是其中一部分；另外，贷款利率远远高于储蓄利率，因此在房地产市场利率的替代效应一般大于收入效应。因此在理论上说，利率在需求方面与房价呈负相关。
4、投资需求
一般来说,过热增长的行业是由高需求和高价格所推动的,高价格就带来这些行业巨额的高利润,巨额高利润就刺激了投资需求,投资需求进一步抬高价格。随着我国经济的发展,居民可支配收入提高,民间资金雄厚,大量资金需要寻找投资渠道,而股票市场等投资渠道目前还不完善,这也是房地产投资需求不断扩大的经济背景。房地产行业的投资额代表着投入到房地产业的资金，投资额越多，市场越红火，涨价的可能性越大。
5、竣工面积和销售面积
从经济学供求关系上讲，竣工面积代表着当年房地产业的供给量，销售面积代表着当你房地产业的需求量，销售面积增加了，需要买房的人就多了。当竣工面积减少或者销售面积增加时，意味着供不应求，房地产价格应当随之上升；而当竣工面积增加或销售面积减少时，意味着供大于求，房地产价格应当下降。不过竣工面积也代表着开发商对于市场的看重程度，即开发商的预期，销售面积反应了市场成交量，代表了买卖双方对与未来的预期。本来仅从供给方面考虑，忽略居民预期因素对于房价的影响。
我们选取人均GDP、年人均消费支出，中长期贷款年均利率、商品房房年平均造价、房地产年均投资额、商品房年平均竣工面积、商品房年平均销售面积作为模型的自变量，对上海市商品房的销售价格进行预测。
3.3数据来源
我们收集了2002年-2009年及2010年与上海房价相关的各自变量、因变量的数据，数据来源如下：
（1）商品房屋的年平均销售价格及造价从国家每年的统计年鉴中获得。（计算从上海统计年鉴中查得的销售总额与销售面积比值，结果与所查数据相等）（2）人均GDP的数据直接从《上海统计年鉴2010》的国民经济核算项获得。（3）中长期贷款利率从中国银行网站金融数据项获得。
（4）商品房屋的竣工面积、销售面积及房地产开发投资额从上海统计网各年月度数据（12月）投资（房地产开发、经营）中查得。
（5）年人均消费支出从上海统计网各年月度数据（12月）人民生活（城市居民家庭收支）中查得。
（6）2010年相关数据从上海统计网月度数据、年度公报及国家统计年度公报中
中查得。
3.4数据处理
表1.各自变量符号解释
SPSS SPSS
行参数估计之前，对各个自变量进行共线性检验。因为各自变量间可能存在一定程度的线性依存关系，即多重共线性。这种多重共线性关系常常会增大估计参数的均方误差和标准误，从而引起回归模型拟合上的矛盾。为了避免自变量之间多重共线性对模型估计带来的影响，我们首先用SPSS对自变量进行共线性诊断。
通过线性诊断可知67,x x 的线性相依性较强所以去掉67,x x ，调整为5个自量，又由于数据的单位不同，为消除单位不同带来的影响，我们对数据进行无量纲化处理。标准化的方程为：000,15()
i i i i x Ex x i sd x -=
= ，得到处理后的新数据。然后计
算相关矩阵的特征根判断存在相关性，得出调整后的因变量及自变量相关矩阵。
4.
四、多元线性回归预测及logistics 回归模型
4.1多元线性模型
设影响房价的因素有n 个：12,n x x x ,用这n 个变量的线性组合表示房价y
既得线性模型： 1
n
i i i y a x βε==++∑ （1）
4.2 logistics 回归模型及logistics 回归分析的房地产预测模型
Logistics 回归属于概率性的非线性回归，假设在自变量12,n x x x 的作用下，某事
件发生的概率为p 则发生与不发生概率之比为
1p p
-，记作""Ω对 Ω 取自然对
数，即得Logistic 函数：()()1p Logit p In odds In p
==-
上式称为p 的Logit 变换，则logistics 回归模型为：
011()1n n p Logit p In
x x p
βββ==++- （2）
设某地区的房价在某一研究时间内涨价的概率为p 则logistics 多元非线性回归方程为：exp 11exp 1exp()
y p y
y =
=
++-
则可得上海市房价的线性模型为1
exp 1
1exp 1exp n
i
i
i y p y
a x β
==
=
++--
∑ （3）
五．实证分析
5.1模型的参数估计
则线性回归方程为:
10
123451.66410
0.9010.380.2930.2560.376y x x x x x -=-?++--+
从以上参数估计的表格中可以发现，模型各系数的显著性水平并不高，大多超过了0.05并且VIF 值均偏大，Tol 值较小，说明各因素之间依然存在共线性。
5.2回归模型的检验
5.2.1多元线性回归的残差检验
表6.五个自变量的残差检验结果
图1. 五个自变量回归模型的残差图
通过残差图可以看出各点之间有成漏斗状的趋势，通过以上指标可以说明，
通过5个因素的线性回归效果并不好，因此我们接下来采用逐步回归的方法来筛选变量。
5.2.2用逐步回归对模型进行分析
表7.逐步回归分析的结果
由逐步回归的结果，很容易看出135,,x x x 三个自变量的模拟效果最好，这是由于各项系数均通过了显著性检验，并且它们的VIF 值较小，Tol 值较大，都说明了它是以上四个模型中模拟效果最好的。所以筛选135,,x x x 作为自变量，参数估计结果如下：
表8.用135,,x x x 预测的模型的参数估计
（1）可得线性回归方程为：
10
1351.84510
1.1020.4760.109y x x x -=-?+-+
（2）logistics 回归模型为
10
1
135[1exp(1.84510
1.1020.4760.109)]
p x x x --=+?-+-
由上式来预测2010的涨价概率，其中2010年人均GDP （1x ）为81978元，中长期贷款年平均利率(3x )为5.75，商品房销售面积(x55x )为2055.53万平方米。将数据进行标准化后处理后代入上式，计算得p=86.7%，即2010涨价的概率为86.7%。对Logistics 的模型进行检验，结果见下表：
通过上表可知，logistic 模型并没有通过显著性的检验，但是由于它的值是较小的，我们依然认为它是有可信度的。
.s 此表说明通过部分抽样，得出预测的准确性是在80%左右，但由于样本量太少，（只有9个），因此得出用logistic 模型来预测上海市房价并不理想，但是它依然有一定的参考价值。即上海市房价在2010年上升的概率相当大（80%-90%） 接下来我们对2010年的房价进行定量预测，即用逐步回归所得到的最优线性模型（35y x x 与，），进行预测，但在预测之前，我们需要进行异常值的检验。 5.2.3用Cook 统计量进行异常值检验
运用R 软件进行Cook 统计，得到运行结果如下：
1 2 3 4 5 0.334153646 0.010537112 0.002356376 0.111238527 0.023592211 6 7 8 1.340374644 0.841398182 11.697285943
从上数据结果可知第8项（2009年）数据对模型有较大影响，剔除该项后再进
由估计可得线性回归的方程为：1351.250.7090.13460.175y x x x =-+-+
.
图2.剔除异常值后的残差图
由上图可知，剔除异常值后的方程，无论是从系数，还是残差上看，效果都非常好，因此我们将用剔除异常值后的模型来进行预测。 5.2.4 预测2010房价
利用逐步回归后的模型，预测2010年房价，并与真值进行对比。2010年人均GDP （x1）为81978元，年平均利率(x3)为5.75.商品房销售面积(x5)为2055.53万平方米。将数据进行标准化后，利用剔除异常值后的变量得到的公式( )进行预测，得到点预测为1.986895和置信水平为0.95的预测区间为（0.6241598 3.349631），还原为有量纲的数据，点预测为12623.27元。95%区间预测为（9043.573，16202.97）。而2010年上海商品房销售的实际为14400元，落在95%预测区间内，误差为12.3%
5.3结果分析
5.3.1各因素与房价变动的相关关系
由预测模型的参数估计可知3x 的系数是负值，则他们与房价是反向变动的，即贷款利率越低，房价越高。12,x x 的系数为正值，则他们与房价是正向变动的。人均GDP 越高，人们越富有，房价相对也越高。房屋造价越高，相应的房屋售价也越高。
房屋销售面积和房屋竣工面积代表需求和供给，4x 系数为负，5x 系数为正。这也印证了供求理论，需求量高会使房价上升，供给量高会使房价降低。 5.3.2各因素对房价变动的贡献
由预测模型的系数绝对值大小知，1x 系数绝对值最大，表明人均GDP 越高，房价涨得越厉害。政府若要控制房价增长过快，首要考虑因素是防止经济过快增长，阻止通货膨胀。政府可以通过相应的财政政策和货币政策，阻止经济过快增长，从而最大程度的控制房价增长。
从表中还可以看出，贷款利率的影响也非常显著，这说明央行通过提高利率限制房价过快增长还是有一定效果的，但是其效果没有经济增长影响的明显。因此，在控制房价过快增长的过程中，利率政策仍是有效的手段。
此外，销售面积对房价也有显著的影响，并且销售面积与房价成正相关。销售面积代表着房地产业的交易热度，销售面积的多少预示着房地产商以及购房者对房地产的预期。通过对销售面积的观察我们可以看出房地产业未来的红火程度，从而判断未来的房价。2010年上海市商品房销售面积仅为2055.53万平方米，继08年之后再度下降，是从03年以来的最低值，这一数据说明，开发商和投资者对于上海房地产业呈谨慎态度，也预示着未来几年房地产价格不会增长过快。
5.3.3异常值分析
在异常值检验中，2009年数据对模型影响最大，2009年商品房平均销售价
格偏高。同时，相对而言，2008年商品房价格偏低。造成这一现象的原因很可能是08年金融危机的波及导致整个上海房地产市场的不景气，而09年金融危机过去后炒房团复出，房地产市场出现井喷。我们的模型没有考虑宏观经济环境和市场投机因素对房价的影响，因此造成2009年实际值大于理论值，08年实际值小于理论值的结果。
5.4结论及建议:
由以上分析可得建议：房地产业是国民经济发展的重要产业，他的健康发展对拉动经济增长，调整产业结构起着重要作用。模型中，我们可以看出年贷款利率与房价是负相关的，因此提高银行贷款利率，以及提高房地产企业其他渠道融资的成本能够有效的抑制房价；其次从供求方面上看，要努力增加有效供给，以抑制房价，在这方面，主要可以通过政策的改变，增加今后几年的供应量。如增加有效土地供给，严厉打击企业的捂盘行为，增加经济适用房的建设。另一方面，还必须合理控制需求的增长，实现供需的双向调节。最后，政府应通过相应的财政政策和货币政策阻止经济过快过热的增长，抑制通货膨胀，从而最大程度的控制房价增长。
六．模型优点缺点及模型的改进
本文的多元线性回归模型在选择自变量时既考虑了上海市的特殊情况又结合了数据获得的难易程度，作线性回归得出参数的估计值，并通过了模型的检验，然后本文又利用logistics模型对房价增长概率进行了较好的预测。在作出线性回归后又利用逐步回归逐渐找出影响房价增长的主要因素，并且讨论了异常值的影响。同时预测2010年房价与实际数据模拟较好，可认为此模型很适合对上海的房价进行预测。
但鉴于各因素与房价的关系并非是精确的线性关系，模型存在较大的系统误差，再者该模型未考虑到政府临时控制房价政策以及消费者预期等因素，结果与实际结论有一定误差。同时由于本文只采集了2002年至2010年9年间的数据，样本数量太少，用logistics模型预测概率时误差较大。
鉴于以上分析，可以在模型中加入政府政策及居民的预期因素的影响，可引入虚拟变量来做。也可以将本模型与非线性模型或多项式模型进行比较，进行有机结合、定性定量相结合等，从而建立更好的模型对房价进行预测。
参考文献
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[9] 刘玥，利率对房价影响的实证分析，商品与质量，2010（7）
附录
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值 2 αt ，那么t 值处在() 22,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即 α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i
α ββββαβα-=?+<
多元线性回归模型的案例分析
1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：
多元线性回归模型习题及答案
多元线性回归模型 一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定 系数为，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. B. C. 下列样本模型中，哪一个模型通常是无效 的（B ） A. i C （消费）=500+i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+i I （收入）+i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+i P （价格） D. i Y （产出量）=0.6i L （劳动）0.4i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在的显著性水平上对 1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. )28(025.0t C. )27(025.0t D. )28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明 模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量 服从( C ) (n-k+1) (n-k-2) (n-k-1) (n-k+2) 7. 调整的判定系数 与多重判定系数 之间有如下关系( D ) A.2 211n R R n k -=-- B. 22111 n R R n k -=--- C. 2211(1)1n R R n k -=-+-- D. 2211(1)1n R R n k -=---- 8．关于经济计量模型进行预测出现误差的原因，正确的说法是（ C ）。 A.只有随机因素 B.只有系统因素 C.既有随机因素，又有系统因素 、B 、C 都不对 9．在多元线性回归模型中对样本容量的基本要求是(k 为解释变量个数)：（ C ） A n ≥k+1 B n 多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释 因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中,多个(多于两个)要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此,多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响,其n 组观测值为(ka a a a x x x y ,...,,,21),n a ,...,2,1=。那么,多元线性回归模型的结构形式为: a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110(3、2、11) 式中: k βββ,...,1,0为待定参数; a ε为随机变量。 如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值,则回归方程为 ?=k k x b x b x b b ++++...22110(3、2、12) 式中: 0b 为常数; k b b b ,...,,21称为偏回归系数。 偏回归系数i b (k i ,...,2,1=)的意义就是,当其她自变量j x (i j ≠)都固定时,自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理,i β(k i ,...,2,1,0=)的估计值i b (k i ,...,2,1,0=)应该使 ()[]min (2) 1 2211012 →++++-=??? ??-=∑∑==∧ n a ka k a a a n a a a x b x b x b b y y y Q (3、2、13) 有求极值的必要条件得 ???????==??? ??--=??=??? ??--=??∑∑=∧=∧n a ja a a j n a a a k j x y y b Q y y b Q 110) ,...,2,1(0202(3、2、14) 将方程组(3、2、14)式展开整理后得: 多元线性回归统计预测模型 摘要:本文以多元统计分析为理论基础，在对数据进行统计分析的基础上建立多元线性回归模型并对未知量作出预测,为相关决策提供依据和参考。重点介绍了模型中参数的估计和自变量的优化选择及简单应用举例。 关键词：统计学;线性回归;预测模型 一．引言 多元线性回归统计预测模型是以统计学为理论基础建立数学模型，研究一个随机变量Ｙ与两个或两个以上一般变量X 1,X ２，…,Xp 之间相依关系,利用现有数据,统计并分析，研究问题的变化规律，建立多元线性回归的统计预测模型,来预测未来的变化情况。它不仅能解决一些随机的数学问题,而且还可以通过建立适当的随机模型进而解决一些确定的数学问题,为相关决策提供依据和参考。 目前统计学与其他学科的相互渗透为统计学的应用开辟新的领域。并被广泛的应用在各门学科上,从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工业、农业、商业及政府部门。而多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法,被应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析作为一种较为科学的方法,可以在获得影响因素的前提下，将定性问题定量化，确定各因素对主体问题的具体影响程度。 二.多元线性回归的基本理论 多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法，被广泛应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析的基本任务包括:根据因变量与多个自变量的实际观测值建立因变量对多个自变量的多元线性回归方程；检验、分析各个自变量对因自变量的综合线性影响的显著性；检验、分析各个自变量对因变量的单纯线性影响的显著性，选择仅对因变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程;评定各个自变量对因变量影响的相对重要性以及测定最优多元线性回归方程的偏离度等。由于多数的多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题,所以这里仅讨论多元线性回归。许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决,因而多元线性回归分析有着广泛的应用。 2.1 多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量12,, ,p x x x 线性回归模型为 01122...p p y x x x ββββε=+++++ （2.1） 模型中Ｙ为被解释变量(因变量）,而12,,,p x x x 是p 个可以精确测量并可控制的一般变 量，称为解释变量（自变量）。p ＝1时，(２.1)式即为一元线性回归模型，p 大于2时，(2.1) 多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） 目录 [隐藏] ? 1 多元线性回归分析预测法概述 ? 2 多元线性回归的计算模型[1] ? 3 多元线性回归模型的检验[1] ? 4 多元线性回归分析预测法案例分析 o 4.1 案例一:公路客货运输量多元线性回归预测方法探讨[2] ? 5 相关条目 ? 6 参考文献 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得 即 多元线性回归模型公式 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为 （ka a a a x x x y ,...,,,21），n a ,...,2,1=。那么，多元线性回归模型的结构形式为： a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（） 式中： k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。 如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为 ?=k k x b x b x b b ++++...22110（） 式中： 0b 为常数； k b b b ,...,,21称为偏回归系数。 偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使 ()[]min ...212211012→++++-=??? ??-=∑∑==∧n a ka k a a a n a a a x b x b x b b y y y Q （） 有求极值的必要条件得 ???????==??? ??--=??=??? ??--=??∑∑=∧=∧n a ja a a j n a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（） 将方程组（）式展开整理后得： ?????????????=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================n a a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a a a k n a ka a n a a n a a a n a a n a a a k n a ka a n a a a n a a n a a n a a k n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101 121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （） 方程组（）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵： 则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式 B Ab =（3.2.15’） matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 %？ % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着 % fH：0或1，0不显着；1显着(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明 % 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10; % x2=rand(10,1)*10; % Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据 % X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（ y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ）， a 1,2,..., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 0 1 x 1a 2 x 2 a ... k x ka a （） 式中： 0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为 ?= b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k （） 式中： b 0 为常数； b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。 偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j i ）都固定时，自变量 x i 每变 化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （ i 0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i 0,1,2,..., k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b 1 x 1a b 2 x 2a ... b k x ka min （） a 1 a 1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a b 0 a 1 （） Q n 2 y a y a x ja 0( j 1,2,..., k) b j a 1 将方程组（）式展开整理后得： 多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据 设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024 SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示： 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面： 将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除） 预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。 建模原理 模型的求解 原始序列为： ) 16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x 构造累加生成序列 ) 131159,114250,98469,84567,71580,59085, 48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x 归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成. 对(1)X 作紧邻均值生成 ,.... 2)) 1()((21)()1() 1() 1(=-+=k k z k z k z MATLAB 代码如下： x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format long g z z = Columns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5 Columns 4 through 6 32906 42943.5 319437.5 楚雄师范学院 2012年数学建模竞赛 第一次实战训练（一）第一题论文 题目多元非线性回归拟合模型 姓名郜红霞杨环刘发稳 2012年8月20日 多元非线性回归拟合模型 摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。 关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。 1 问题重述 要求：1.检验强影响点； 2.正态性检验； 3.相关性检验； 4.自变量的多重共线性检验； 5.残差的相关性分析，模型的合理分析。 x=（470 81 82 50 13.7 225）'。 6.预测 2 问题分析 先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。 3 基本假设与符号说明 Q 残差平方和 E 拟合误差 ε 无偏估计值 2s 方差 R 复相关系数 SE 标准误差 4 模型建立 3.1 问题分析 3.2 模型建立 （1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。 {) ,0(~ (2) ' '110'σεε βββN x x Y m m ++++= (2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影 响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。 设随机变量X 、Y 、Z 之间彼此存在着相关关系，为了研究X 和Y 之间的关系，就必须在假定Z 不变的条件下，计算和Y 的偏相关系数，记为z xy r .。 在考察多个变量时，i X （i =1，2...，p ）之间的p-1阶偏相关关系可由如下的递推式定义： 2 ) 1)...(1)(1...(12.2 ) 1...(1 2.0) 1)...(1)(1...(12.0)1...(12.0)1)...(1)(1...(12.0)...1)(1...(12.011-+---+---+-+---= p i i ip p p p i i ip p ip p i i i p i i i r r r r r r 计算得出输出变量的相关性检验。 （3）我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y 与i X 的模型中有交互 线性回归模型的研究毕业论文 1 引言 回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。于是“线形回归”的术语被沿用下来了。 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。 一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据解。接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。 回归分析是重要的统计推断方法。在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。从而推动了回归分析的快速发展。 2 回归分析的概述 2.1 回归分析的定义 回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。 2.2 回归分析的主要容 企业销售额影响因素分析及回归模型学号：1003131014 姓名：李绍林班级：10级人力资源管理 一、问题提出 （一）研究问题： 随着市场经济的进一步发展，也加剧了企业在市场运行中的不确定性，如何在复杂多变的市场中占据主导，如何在经济流通的过程中，充分利用各种有利的因素，来确保企业销售额的增长，如何控制经济流通中的各项开支，如何组合来服务于企业销售额的增长。因此，在这里通过分析某家公司的企业销售状况，试图研究影响企业销售额的各因素及其之间的关系，建立企业销售额及其因素的回归模型，并进行经济分析。（二）数据来源 某企业开支与销售额关系表： 二、定性分析 为了研究企业销售额的影响因素，我们对相关数据进行简单的定性分析，并各因素同因变量的相关关系做了一个简单的预测。 个人可支配收入反映一个地区或市场上消费者的购买能力，单独来看，应与企业的销售额呈正相关关系，即企业产品的目标市场群体的个人可支配收入起高，企业所能获得的销售额也会相应提高。 商业回扣是企业为了改善销售商之间的关系，同时加强同销售商之间的合作，通过商业回扣的方式来吸引销售商，商业回扣作为企业的一个重要的营销策略，这也会减少企业的利润，商业回扣作为影响企业销售额的重要因素，商业回扣投入情况同企业的销售额多少有一定的关系。 商品价格能够通过企业产品的需求来影响企业的销售量，两者共同作用于企业的销售额，是影响企业销售额的一个关系因子。如何制定价格策略来提高企业的销售额，具有重要的现实意义。 研究与发展经费反映企业的研发能力和对市场的捕捉能力，能够适应市场需求来适应开发新的产品，不断开拓新的市场，提高产品的质量和水平，这能够为企业的扩大市场份额和企业销售额的提高。 广告费用是企业为了对产品进行推广和让消费者更好地了解产品和创造需求，引导消费者的购买欲望，同时有利于树立产品和企业的形象。当然广告费用的支出也是影响企业销售额的一个重要因子。 销售费用是企业为了产品的销售在产品的流通和销售过程中发生的一系列费用的总和，其与企业的销售额有一定的关系。 因此，我们选择企业的销售额作为被解释变量y ，选取个人可支配收入、商业回扣、商品价格、研究与发展经费、广告费、销售费作为解释变量，分别设其为x1、x2、x3、x4、x5、x6 。 三、相关分析 （一）数据基本描述 Descriptive Statistics 二、多元线性回归模型 在多要素得地理环境系统中,多个(多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联得情况。因此,多元地理回归模型更带有普遍性得意义。 （一）多元线性回归模型得建立 假设某一因变量y 受k 个自变量得影响,其n 组观测值为(),。那么,多元线性回归模型得结构形式为： （３.2．11) 式中： 为待定参数; 为随机变量。 如果分别为得拟合值,则回归方程为 ?＝(3.２.1２) 式中: 为常数; 称为偏回归系数。 偏回归系数()得意义就就是,当其她自变量()都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量y 平均改变得数值。 根据最小二乘法原理,()得估计值（）应该使 ()[]min (2) 1 2211012 →++++-=??? ??-=∑∑==∧ n a ka k a a a n a a a x b x b x b b y y y Q (3.２.1３) 有求极值得必要条件得 (3.2.14) 将方程组(3．2.14)式展开整理后得： ??????????? ?? =++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================n a a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a a a k n a ka a n a a n a a a n a a n a a a k n a ka a n a a a n a a n a a n a a k n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101 1 212212 2112101 21111212111210111 12121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( (３.2.15） 方程组(３.2.15)式,被称为正规方程组。 如果引入一下向量与矩阵: ??? ??? ? ? ? ????????? ??==kn n n k k k kn k k k n n T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X X A ...1..................1...1...1... ...... ... ............1 (1112132313222121211132) 1 2232221 1131211多元线性回归分析预测法
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