空间任意位置相交圆柱体展开图的计算机辅助绘图_潘丽华

文章编号:1004-2261(1999)03-093-05

空间任意位置相交圆柱体展开图

的计算机辅助绘图

潘丽华,张淑梅,孙晓兰

(天津理工学院　基础教育学院,天津　300400)

摘要:本文建立了空间任意位置两圆柱体展开图的通用数学模型,编制了相应的计算机程序,实现了空间各种位置相交两圆柱表面展开图的计算机辅助绘图.该工作对工程实践有重要意义.关键词:空间相交两圆柱;展开图;计算机绘图中图分类号:TP391.72 文献标识码:A

The Computer Aided Drawing of Development of The Two

Cylinders Inted in Space

PAN Li -hua ,ZHANG Shu -mei ,SUN Xiao -lan

(Foundamental Education College .Tianjin Institute of technology ,Tianjin 300191)

A bstract :A universal mathematics modle of the development of intersected tw o cylinders in space has been founded in this paper ,the pragram has been programmed and the development of the intersected two cy lin -ders in space can be draw n by com puter ,w hich is very im portant to the engineering practice Key words :tw o cy linders intersected in space ;development ;computer aided drawing

对于各种管接头的计算机辅助设计已有许多业内学者作了大量的研究工作〔1-3〕.对异经圆柱体管接头及其展开,斜交两圆柱体表面展开图的计算机辅助设计,陈径斗、许镇都有过详细的研究,并

发表过相应的文章〔1-2〕.但目前对圆柱体管接头展开图的计算机辅助设计研究工作大多属于一题一解,尚缺乏对偏交、偏斜交、以及等径的、异径的偏斜类全交、互交两圆柱体表面展开通用计算机辅助设计方面的研究工作.

本文在已有研究工作的基础上,将空间任意位置相交两圆柱体的大小和相对位置参数化,并建立了相贯线展开图的通用数学模型,编制了通用计算机绘图程序,实现了等径的、异径的偏交、偏斜交、偏斜类的全交、互交等各种位置两圆柱体表面展开图的计算机辅助设计.

1　空间任意位置相交圆柱体展开图的通用数学模型

绘制空间任意位置两相交圆柱体的展开图的难点在于相贯线的画法,展开时先将圆柱表面分成若干等份,将每份所对应的相贯线上的点坐标计算出来,再确定展平后每份各顶点的坐标,并将其展平放置于二维坐标平面内,就可得到整个圆柱的展开图,具体做法分如下几步.1.1　参数设定

设空间相交的两圆柱分别为圆柱Ⅰ和圆柱Ⅱ,两圆柱在空间相交如图1.

第15卷第3期1999年9月 天　津　理　工　学　院　学　报JOURNAL OF TIANJIN INSTITUTE OF TECHN OLOGY

　Vol .15No .3

Sep .1999

收稿日期:1999-01-15

第一作者:潘丽华(1953-),女,讲师

参看图2,各参数的名称及几何意义如下.

R 1,R 2———圆柱Ⅰ与圆柱Ⅱ的半径.K ———两圆柱轴线的偏心距.Q ———两圆柱轴线的夹角.α———圆柱Ⅱ相交部分截面所对应的角度.B ———圆柱Ⅰ的长度.其它参数H ,L o 等见图2所示.

1.2　相贯线上各点坐标的计算

将圆柱Ⅰ横放,圆柱Ⅱ斜置,画出平面投影图如图2.以图柱Ⅱ的轴线为Z 2轴建立O 2———x 2、y 2、z 2坐标系.在图2的S 向投影中可见相贯线的投影与圆柱Ⅱ表面的投影重合,其相交部分所对应的角度α可写为α=π+2αo ,将α分为N 等份,每份对应的圆心角φ=α/N .相贯线上诸点的坐

标用式计算

图1　两圆柱空间相交 图2　异径偏斜互交两圆柱平面图

x 2i =R 2sin ((i -1)φ-αo )y 2i =R 2cos ((i -1)φ-αo )z 2i =z 1i /sin θ-y 2i /tg θ

(1)

式中Z 1i =

R 21-

(x 2i -K )2

i =1,2,……,N +11.3　确定斜圆柱表面素线实长及各分块展平后各顶点的坐标.

由图2的侧视图可以看出斜圆柱表面各素线的实长可用下式计算.设L i 为第i 条素线实长

L i =H /sin θ-Z 2i =1,2,……,N

(2)

设圆柱Ⅱ表面i —1所对应的素线为I o I ,i 所对应的素线为I 10I 1,将I 、I o 、I 10、I 定为第一分块,并将第一分块的展开图放在图3(a )所示的O —XY 坐标中.第一分块的展平面II o 与OX 轴重合,

并使I o 点与O 点重合(其它分块类同).每一分块各项点的坐标为

x i =L i y i =0

　x oi =0y oi =0

　x (i +1)=L (i +1)y (i +1)=S 2/N

x 0(i +1)=0

y 0(i +1)=S 2/N

(3)

式中 S 2=α·R 2/N i =1,2,……,N 1.4　计算斜圆柱整张展开图各边顶点的坐标

在O —XY 坐标系中,第一分块不动,将其它分块按顺序进行平移旋转变换,即可求得整个展开

图各顶点的坐标.

平移旋转变换矩阵为:

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T i = cos λj sin λj

0-sin λj cos λj

0　x j y j 1

(4)

式中:

λj =aretg -y j -y oj

x j -x oj

i =1,2,……,N j =i +1

1.5　确定相贯线上诸点在新坐标系中的的坐标

欲画圆柱I 的展平图,需在圆柱I 中以O 1为坐标原点建立一新的坐标系O 1-x 1y 1z 1,如图2所示.按坐标变换的方法,将O 2———x 2y 2z 2沿X 轴正向移动K 距离,绕X 轴顺时针转动90°———φ角度,使之与新坐标系重合,从而得到相贯线上端点在新坐标系O 1-x 1y 1z 1中的坐标计算公式如下:

x 1i =x 2i -K

y 1i =y 2i cos (90°-φ)-z 2i sin (90°-φ)z 1i =z 2i cos (90°-φ)-y 2i sin (90°-φ)

经整理后得出下式:

x 1i =x 2i -K

y 1i =y 2i sin φ-z 2i cos φz 1i =z 2i sin φ-y 2i cos φ

(5)

1.6　计算圆柱Ⅰ各素线实长及各分块展平后各项点的坐标:

从图2的侧视图所示圆柱Ⅰ可以看出,圆柱Ⅰ表面素线实长需分段计算,各分块展平后各顶点的坐标也需分段确定.现将圆柱Ⅱ中第一分块所对应的圆柱Ⅰ部分同样做为第一分块,并按前述的方法将第一分块展平后放置在图3(b )所示的O -xy 坐标系中.设L i 为第i 条素线的实长,下面分段计算圆柱Ⅰ表面各素线实长及各分成块各边顶点坐标.

当1≤i ≤N /2时L i =B -(L o +y 1i )

x i =y 1i y i =0

　

x oi =x i +l i y oi =0

　

x (i +1)=y 1(i +1)y (i +1)=S 1i

　

x 0(i +1)=x 0i y 0(i +1)=S 1i

(6a )式中S 1i =(x 1(i +1)-x (1i ))2+(z 1(i +1)=z (1i )

)2

当N /2

这时各分块各顶点的坐标为:x i =y 1i y i =S 1i

　x oi =y 1i -l i y oi =S 1i x (i +1)=y 1(i +1)　y (i +1)=0　x 0(i +1)=y 1i -l i y 0(i +1)=0

(6b )　

式中S 1i 的计算式如前,i =1,2,……,N 1.7　计算圆柱Ⅰ整张展平图各顶点的坐标

与2.4中所用方法一样,将第一分块不动,其它分块进行平移旋转变换,即可获得整张平图各顶点的坐标,从而画出圆柱Ⅰ的展平图.

2　关于通用数学模型的讨论

2.1　空间两圆柱各种位置的获得

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第3期 潘丽华等:空间任意位置相交圆柱体展开图的计算机辅助绘图

在新述数学模型中,只需改变式中的参数值即可获得所需的两圆柱的各种位置.如取θ=π/2,K ≠0,R 1>R 2时为异径斜交,而当0<φ<π/2,K =0,R 1>R 2时,为异径斜交.常见的空间两圆柱相交的几种情况列于表1.2.2　各参数的取值范围

各参数的取值应考虑下述几种情况:Q =0且K =0时,若R 1≠R 2,无交线;

Q =0且K ≠0时,若R 2+R 1时,两圆柱交线为直线,故两圆柱表面展开后均为矩形,此种情况不在此数学模中.

Q =π/2,K =0,R 1=R 2时为等径正交两圆柱,展开曲线只需按圆Ⅱ展开即可.

从上所述,图2所示的各参数的取值范围应满足以下条件.根据题意,R 1≥R 2;K :0≤K <(R 1+R 2);θ:0<θ≤π/2;α:0<α≤2π.;从图2可以看出α=π+αo ,αo 的取值取决于相交类型.全交时,即R 2+K ≤R 1时,αo =π/2;互交时,即R 2+K >R 1,αo =

arcsin ((R 1-K )/R 2).图3　第一分块展平图

n :因为圆柱Ⅰ每份圆周长的计算用(6a )式计算,式中用弦长代替弧长,故为近似值,参数n 的取值应考虑该因素来满足展平曲线的精度.虽然使用计算机计算,n 可以取大,但为满足展开曲线的平滑过渡,避免点的过渡密集形成黑点,n 应有一合适的取值范围.n 的取值对展开曲线的影响与R 2,Q ,K 的大小有关.为满足展开曲线精度,R 2,θ,K 与n 的关系由图4表示.图4(a )将n 与R 2的关系用n 。-R 2线图表示,即R 2愈大n o 也应随之加大.图4(b )将n 与K 的关系用n 1-K 曲线表示,当R 2取定时,所取n 为n 0,此时从图4(b )中看出K =0时n =n 0,而K 愈大则n 1愈大.图4(C )描述了n 与θ的关系,当R 2

和K -定时,θ=π/2时,n 2=n 1,当θ逐渐变小时,n 2应取大.实践中R 2,K ,θ是给定值,从图4(a )中依据R 2确定n 0代入图4(b )依K 的大小确定定n 1,再将n 1代入图4(c )依θ确定n 2,最后取n =n 2.在图4中只是定性地描述了n 的取值范围及方法,使用时可根据用途及使用范围加以修正,根据类比法确定几的大小.

3　通用计算机程序设计及计算机绘图实例:

基于本文的通用数字模型,使用QBASIC 语言编制了空间任意位置两相交圆柱的计算机通用程序流程图如图5所示.

图6、图7为使用ABASIC 语言编制的空间任意位置两相交圆柱展开图通用程序绘制的展开图.图6为偏斜全交异径两圆柱表面展开图,图7为偏斜互交异经两圆柱表面展开图,图7只作了图2中上半部分的展开图.欲得到图2所示整张展开图,只需将已画部分重画时旋转180°角度后与上半部分展开图接合即可.

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图4　n 值曲线图

4　结束语

本文通过对空间任意位置两相交圆柱各参数的分析,建立了通用的数学模型,写出了计算机辅助绘图的通用程序,实现了空间各种位置的,等径的,异径的相交两圆柱表面展开图的计算机辅助设计.该方法具有快捷、方便,通用性强等特点,可广泛用于各种管接头的下料及工程实践.

表1　各种位置的相交两圆柱相交方式θK R 2+K 垂直偏全交π/2不为0≤R 1斜偏全交0<θ≤π/2

不为0≤R 1垂直偏互交π/2不为0>R 1斜偏互交0<θ≤π/2不为0>R 1

斜 交0<θ≤π/2

0正 交

π/2

R 1>R 2开 始

输入参数R 1,R 2,θ,K ,H ,Lo ,B ,n N

R 2+K >R 1 Y α=π,将α等分

求α的值,并将其等分

计算圆柱Ⅱ坐标值

确定圆柱Ⅱ各分块各顶点的坐标

画圆柱Ⅱ展开图

计算圆柱Ⅰ各分块各顶点的坐标确定圆柱Ⅰ各分块各顶点的坐标

绘制圆柱Ⅰ的展开图结 束

图5　两相交圆柱展开图通用程序流程图

图6　偏斜全交异径两圆柱展开图

　R 1=17 h =25 B =55 R 2=8.5 h =3.4 n =20 Q =1(弧度)　L 0=42.5

图7　偏斜互交异径两圆柱展开图 R 1=12.8 h =25 B =51 R 2=10.6 h =3.4 n =50 Q =1(弧度) L 0=34

参　考　文　献:

〔1〕许　镇,张玉琴,一种切线曲面接头展开图的计算原理和绘制方法.天津大学学报,1997,30(5):596～600〔2〕穆浩志,U 形三通管度形接头的设计及CA D 应用.天津理工学院学报,1998,14(2):18～23〔3〕孟宪铎,解析画法几何北京:机械工业出版社,1984年.

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