第六讲 万有引力定律(教师用)

第六讲 万有引力定律

【知识要点】

一、开普勒行星运动定律

1．第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，各自轨道各不相同且不共面，但所椭圆轨道有一个公共的焦点，太阳处在这个公共焦点上。 2．第二定律（面积定律）：对同一颗行星，从太阳到行星的连线在相等的时间扫过相等的面积。由此可知，行星越接近太阳，运动越快。

3．第三定律（周期定律）：对所有行星，行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次的比值是一个常量。这个常量与行星无关，只与中心天体的质量有关。 二、万有引力定律

1．内容 2．公式：2

r Mm

G F =

3．适用条件：质点间（质量分布均匀的球体间） 4．万有引力与重力的关系 （1）重力为地球的引力 A 、在地表面：重力2R Mm

G

mg =；重力加速度2

R

M G g = B 、在距地表面h 高处：重力2)h R Mm G mg +=（；重力加速度2

)(h R M

G g +=

（2）重力为地球引力的分力

①重力与纬度的关系 A 、在赤道上：满足mg N mR N R

Mm G

==-,2

2ω，即ω22-mR R

Mm

G mg =（物体受万有引力和地面对物体的支持力N 的作用，

其合力充当向心力，N 的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自角速度）。 B 、在地球两极处：由于mg N N R Mm G

==-,02，即2

R Mm

G mg =。 C 、在地表面其他位置：

θα

ωθαωθω2sin sin 2sin sin )cos (22

2mR mg mg F R m mr F n n =?===，，从赤道往两极θ增大、α减小，mg 增大，故物体的重力随纬度的增加而增大。 D 、在距地表面h 高处：2

)

h R Mm

G

mg +=（ 结论：在地表面，物体重力随纬度的增加而增大，两极最大，赤道最小； 在高空，重力随高度的增加而减小。 ②重力加速度

A 、在赤道上：ω

22-R R M G g =

B 、在地球两极处：2R

M

G g =

C 、在地表面他其位置：θα

ω2sin sin 22

R g =

D 、在距地表面h 高处：2

)

h R M G

g +=（

α

5．均匀球壳（或球体）对壳内和壳外质点的引力

A 、如果质点在球壳外，引力大小可由万有引力定律公式直接计算，r 为质点到球的距离。

B 、如果质点在球壳内，则引力为零，证明如下： 如右图，设想在一均匀球壳内的任一点A 处有一质点为m 的质点，在球面

上取任一极小面元ΔS 1，以r 1表ΔS 1与A 点的距离，且设此均匀球面每单位面积的质量为m 0，则面元ΔS 1的质量为Δm 1=m 0ΔS 1，它对A 处质点的引力为：

2

1

10211

1r S mm G r m m G F ?=?=?……① 设想将ΔS 1边界上各点与A 点的连线延长分别与ΔS 1对面的球壳相交面围成面元ΔS 2，以r 2表示A 与ΔS 2的距离，则面元ΔS 2的质量为Δm 2=m 0ΔS 2，它对A 处质点的引力为：

2

2

20222

2r S mm G r m m G

F ?=?=?……② 由于ΔS 1和ΔS 2都很小，可以把它们看成一个平面图形，显然可以想像到它们是相似图形，

因而其面积与连长的平方成比例，而其连长又与该处到A 点的距离成比例，故有：

2

22

1

21r r S S =??……③ 由①②③得：21F F ?=?，方向相反，故合力为零，因面元是任意取的，故整个球壳对A 处质点的引力也是零。

推论：质点在质量分部均匀的实心球内部某点r 处所受引力为r 内部小球对物体的引力。 三、天体的运动（在天体的运动中起主要作用的是万有引力。）

1．基本方法：把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力来自万有引力。

()ωππωmv f mr T mr mr r v m r m m G ==??

? ??===2

2

222'22

2．卫星绕行速度，角速度，周期与半径的关系：

①r Gm v '= ②3

'

r

Gm =ω ③'324Gm r T π= 3．计算天体的质量和密度：

①给天体发射卫星：2

32'

2

2'42GT r m T mr r m m G ππ=???

? ??= 若卫星为近地卫星，同R=r ，由2

3334GT R V V m π

ρπρ=?==和 ②测出天体表面的重力加速度g ：G g r m mg r

m m G 2'

2'=?=

4．宇宙速度：

①宇宙速度是发射速度（或者说进入轨道的速度）。

②7.9km/s 是卫星绕地球作圆周运动的最大速度，也是卫星发射的最小速度。

③当卫星进入轨道的速度大于7.9km/s 而小于11.2km/s,卫星将绕地球作椭圆运动。 4．同步卫星：

①角速度（周期）特点为：与地球自转角速度（周期）相等。 ②受力特点为：向心力等于万有引力。

③轨道特点：与地球赤道面同平面，高度一定。

【典型例题】

一、高考要求题型

1.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是

A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【答案】B

【解析】开普勒在天文观测数据得基础上，总结出了开普勒天体运动三大定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，ACD 错误选B 。

2.宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度大小为 A.0 B.

C. D. 【答案】B

【解析】

试题分析：对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即，可得飞船的重力加速度为，故选B 。

考点：本题考查万有引力定律的应用。

3.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ） A. 1h B. 4h C. 8h D. 16h 【答案】B

【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由

2224πMm G mr r T =

可得T =三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出右图。

由几何关系得，卫星的轨道半径为2sin30R

r R =

=?

……① 由开普勒第三定律33

12

2212

r r T T =，代入题中数据，得332

22(6.6)24R r T =……② 由①②解得24T h ≈

4.如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 变轨后进入轨道2做匀速圆周运动下列说法正确的是

A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同

B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同

C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度

D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量

【答案】B

【解析】从1到2，需要加速逃逸，A 错；2Mm G

ma R =可得21

a R

∝,半径相同，加速度相同，m h M R G 2()GM R h +2

()

GMm

R h +2GM h 2()Mm G

mg R h =+2

=()GM

g R h +

卫星

P

卫星在椭圆轨道1上运动时，运动半径变化，a 在变，C 错B 对；卫星在圆形轨道2上运动时，过程中的速度方向时刻改变，所以动量方向不同，D 错。

5.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 【答案】C

【解析】若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于向心力变大，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，则由于向心力变小，故空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间试验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间试验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间试验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，从而不能实现对接，选项D 错误；故选C.

6.登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。

根据下表，火星和地球相比 A ．火星的公转周期较小 B ．火星做圆周运动的加速度较小 C ．火星表面的重力加速度较大

D ．火星的第一宇宙速度较大 【答案】B

【解析】火星与地球绕太阳做圆周运动的向心力为太阳的引力，设太阳的质量为M ，即有：

22)2(T mr ma r Mm G π==，解得：332221r GM

r T r r M G a ∝=∝=π，，

由表格数据可知，火星轨道半径较大，因此向心加速度较小，故选项B 正确；公转周期T 较大，故选项A 错误；

在表面处时，根据2R m G g =得1)(2

地地火地火R R m m g g ，所以火星表面的重力加速度较小，故

选项C 错误；由第一宇宙速度公式R GM

v =

可知，1

地

地火地火R R m m v v ，所以火星的第一宇宙速度较小，故选项D 错误。

考点：万有引力定律的应用和分析数据、估算的能力。

7.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为

A ．a 2>a 1>a 3

B ．a 3>a 2>a 1

C ．a 3>a 1>a 2

D ．a 1>a 2>a 3 【答案】D

地球 6.4×106

【解析】由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得出：2a r ω=

由于，23r r >,则可以得出：23a a >；

由万有引力定律：2Mm

G ma r

=

由题目中数据可以得出：12r r >

则可以得出21a a <, 故整理，得出选项D 正确。

8.通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 A ．卫星的速度和角速度 B ．卫星的质量和轨道半径 C ．卫星的质量和角速度 D ．卫星的运行周期和轨道半径 【答案】AD

【解析】根据线速度和角速度可以求出半径v

r ω

=，根据万有引力提供向心力则：

22GMm v m r r =，整理可以得到：2

3r M G G v v ω

==

，故选项A 正确；由于卫星的质量m 约掉，故与卫星的质量无关，故选项BC 错误；若知道卫星的周期和半径，则2

22()GMm m r r T π=，

整理得到：23

2

4M G r T π=，故选项D 正确。

9.两颗卫星绕地球运行的周期之比为27:1，则它们的角速度之比为__________，轨道半径之比为___________。 【答案】1:27；9:1

【解析】据题意，卫星饶地球做匀速圆周运动，卫星的运行角速度与周期关系为：2w T

π

=，即角速度与周期成反比，则

1221127

w T w T ==；两颗卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：2

2Mm G mrw r =

，即r =

1291

r r ==。 10.据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳

帆板轮廓清晰可见．假设“天宫一号”正以速度v =7.7 km/s 绕地球做匀速圆周运动。取地球半径R =6.4×103 km ，地球表面的重力加速度g =9.8 m/s 2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h （计算结果保留一位有效数字）．

【答案】4×105

m

【解析】在地面：2Mm

G mg R = 匀速圆周运动：2

2()Mm v G m

R h R h =++ 解得：22gR h R v

=-,代入数据得: 5

410h m ≈?

11.某球形行星“一昼夜”时间为T =6h ，在该行星上用弹簧秤称同一物体的重力，发现在其“赤道”上的读数比在其“南极”处小9%；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，求此时行星的自转周期？ （答案：T 0=1.8h ）

12.在天体运动中，把两颗相距较近的恒星称为双星。已知两恒星质量分别为m 1、m 2，两恒星之间距离为L ，两恒星分别绕共同的圆心

做匀速圆周，如图所示。求各恒星的转动半径和角速度？ （答案：3

2121122121)

(L

m m G L m m m r L m m m r +=+=+=

ω；，）

13.宇航员站一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3，已知两落点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量?

（答案：2

2

332Gt LR M =）

14.侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面的高度为h ，要使卫星在一天的时间内将在面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？

（答案：g

h R T S 3

2)(4+=π）

15.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，使用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星。试问：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间观察者看不到此卫星？（已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射）

（答案：3

1

2

2)4arcsin(gT

R T t ππ=）

16.一空间太阳能电站在地球同步轨道的一个固定位置上，为微波形式向地面发送电能。若地球本影长约为地球半径的n 倍，地球半径为R 0，且地轴与太阳光垂直，地球自转周期为T 0，地球表面重力加速度为g ，试计算此空间太阳能电站在一昼夜间由于地球遮挡而不能了电的最长时间？

（答案：03

2

0)1

4(T n gT R t ππ-=）