05-06-2概率试卷B答案

中国石油大学（北京）2005 ——2006学年第二学期

《概率论与数理统计》期末考试试卷B 答案

一、填空题（本题18分，每小题3分）

1. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则=+)83(X D )1(9p np -.

2. 设两个相互独立的事件A ,B 都不发生的概率为16/1，A 发生B 不发生的概率和A 不发生 B

发生的概率相等，则=)(A P 3/4 .

3. 设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式估计≤≥-}3)({X E X P 2/9 .

4. 设8件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有1件是不合格品，则另一件也是

不合格的概率为 1/6 .

5. 设n X X X X ...,,,321是来自正态总体)1,0(N 的样本.则

∑=-n

i i

X X n 3

2

1

2服从 t 分布，自由度为

n-2 .

6. 二维随机变量) ,(Y X 的联合密度函数为

??

?<<<=.

,0,

10,||,1),(其它x x y y x f 则边缘密度函数=)(y f Y ??

?<<-+<<-0

111

01y y

y y .

二、选择题（本题15分，每小题3分）

1． 设二维随机变量),(Y X 服从正态分布，则随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充分必要条件

是（ A ）

A ．)()(Y D X D =

B ．)()(Y E X E =

C ．)()(2

2

Y E X E = D ．2

2

2

2

)()()()(EY Y E EX X E +=+ 2．设离散型随机变量X 的分布列为

其分布函数为)(x F ,则)1(F =（ A ）

A. 0.6

B. 0

C. 0.5

D. 0.1 3．设B A ,为随机事件，且1)|(,0)(=>A B P A P ，则必有（ B ） A. )()(A P B A P =? B. )()(B P B A P =?

C. )()(A P B A P >?

D. )()(B P B A P >?

4．设总体X 服从正态分布)9,2(N ，921,X X X 是来自总体的样本，∑==9

1

91i i X X 则=

≥)2(X P （ B ） A ．

91 B ．21 C ．31 D ．3

2

5. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2

σ的下

列估计量中，为无偏估计量的是( C )。

A ． ∑=-=n i i X X n 1221

)(1?σ

B. ∑-=-=11

22

3)(1?n i i X n μσ C. ∑=--=n i i X X n 1222

)(11?σ D. ∑=--=n i i X n 1

22

4)(11?μσ 三、（本题10分）有甲乙两个袋子，甲袋中有1个白球，2个红球，乙袋中有1个红球，2个白球．这6

个球手感上不可区别．今从甲袋中任取1球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，问此球是红球的概率？若已知取到1个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球； A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B ——从乙袋中任取一球是红球；

四、（本题12分）已知随机变量X 的分布密度函数为

??

?≤≤=其它

,03

0,)(x Ax x ?

51

12/512/1)()|()()()|(1111=

===

A P A

B P B P B A P B A P 71432212

532213141)()|()()|()(2211=?+?=

+=A P A B P A P A B P B P

求：(1)常数A ； （2）概率{}41≤≤X P ； (3)分布函数)(x F 。

解：（1）由

?

+∞

∞

-=1)(dx x ?，则?=3

1Axdx 得9

2

=

A （2）9

892}41{3

1

==

≤≤?

xdx X P （3）当0

当30≤≤x 时，20

9

1

92}{)(x xdx x X P x F x

==≤=?

； 当3>x 时，1}{)(=≤=x X P x F

故????

???>≤≤<=3

,130,910,0)(2x x x x x F

五、（本题10分）已知离散型随机变量X 和Y 的联合分布律为：

求：(1)概率}{P Y X >； (2)数学期望)(XY E . 解：

)1,2()0,2()

1,2()0,1()1,1()().1(==+==+-==+==+-===>Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P

3

2

9191919291=++++=

（2）xy 的分布律如下：

得出9

291291)2(311310911)(=?+?-+?+?+?

-=XY E 六、（本题12分）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，Y 服从)1,0(上的均匀分布，且X ，Y 互相

独立，求：

(1)),(Y X 的联合概率密度函数； (2)Y X Z +=2的密度函数； (3)),min(Y X 的数学期望.

解：（1）因为随机变量X 服从参数为1的指数分布，所以

??

?>=-其他

0)(x e x f x

因为Y 服从)1,0(上的均匀分布，所以

??

?<<=其他

101)(y y f

又因为X ，Y 互相独立，所以X ，Y 的联合概率密度为

??

?<<>=-其他

10,0),(y x e y x f x

（2）先求Z 的分布函数：

)2()()(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=

①0≤z ;0)(=z F Z ②10≤

y x Z ??≤+=

≤+=≤=2),()2()()

(

=2

20

2

22)1(z z

y z z

y z x e

z dy e dx e dy -----+-=-=

?

?

?

③1>z dxdy y x f z Y X P z Z P z F z

y x Z ??≤+=

≤+=≤=2),()2()()

(

=2

2

11

020

1

2

221)1(z z y z y z x e

e dy e

dx e dy -

-----+-=-=

?

?

?

所以

???

?

???>-≤<-≤=-

--11

0100

)(2212z e e z e z z f z

z z

Z （3）?

??

?

+∞

--+=1

10)],[min(

y

y

x x

dxdy ye dx xe dy Y X E

??---+-+-=1

1

)1(dy ye dy e ye

y y

y

?

=

-=

-1

1

)1(e

dy e y （方法二：也可以先求概率密度再求期望。）

七、（本题10分）设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成

绩为67.5分, 样本标准差为15分, 问在显著性水平0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 并给出检验过程. （0301.2)35(025.0=t ）。 解：

设该次考试的学生成绩为X ，05.0=α， 样本均值为：X ，样本标准差 ：S 提出假设： 因为

σ 未知，故采用 t 检验法

当0H 为真时，统计量 拒绝域： 由于 得到：

),

,(~ 2σμN X 则70

:,70:10≠=μμH H ),

1(~/70/0--=

-=

n t n

S X n

S X t μ)

1(/702/-≥-=

n t n

S X t α,

0301.2)35(,15,5.67,36 025.0====t S X n 0301

.2136

/15705.67/70<=-=

-=

n

S X t

所以接受0H ，认为全体考生的平均成绩是70分。

八、（本题13分）设总体X 的分布函数为

?????

≤>-=1

111);(x x x

x F β

β

未知参数1>β，设n X X X ,,,21 是来自该总体的简单样本，求β的矩估计和极大似然估计。

解：（1）总体X 的密度函数为

令X X E =)( 即：

X =-1

ββ 则：1

-=

X X

β 所以矩估计量为： 1

-=∧

X X

β （2）

令：

0ln )(ln 1

=-=∑=n

i i x n d L d βββ

可得到：

所以可以得到极大似然估计量为：

???

??≤>='=+1

1);();(1

x x x x F x f ββββ?

?+∞++∞

∞

-?

==1

1

);()(dx x

x dx x xf X E ββ

β,

1

-=

ββ,

)

();()(1

211

11

+==+=

==∏∏

βββ

β

ββn n

n

i n

i i

i x x x x x f L ,

ln )1(ln )(ln 1

∑=+-=n

i i x n L βββ,

ln 1

∑==

n

i i

x n

β.

ln ∑∧

=n

i

x

n

β