最新--泰勒展开式与高考试题 精品

[中国高考数学母题一千题](第0001号)

愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:139********)

泰勒展开式与高考试题

在本讲中,我们将专注于由泰勒展开式命制高考试题的方法和途径,由此,揭秘高考命题专家命制高考试题的手段和方向,以利于命制更优秀的试题,为预测高考试题服务.

[母题结构]:(超越函数的泰勒展开式):①e x =1+!1x +!

22

x +…+!n x n

+

!)1(1++n x n e θx

(其中0<θ<1);②ln(1+x)=x-22x +3

3x -…+

(-1)

n-1

n

x n +(-1)n 11

++n x n (x θ+11)n+1

.

[母题解析]:略.

1.指数函数

子题类型Ⅰ:(2018年课标高考理科试题)设函数f(x)=e x

-1-x-ax 2

.

(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x ≥0时,f(x)≥0,求a 的取值范围.

[解析]:(Ⅰ)当a=0时,由f(x)=e x -1-x ?

f '(x)=e x

-1,由此列表,由表知,f(x)在(-∞,0)上递减.在(0,+∞)上递增;

(Ⅱ)由e x

=1+!1x +!22x +!33x e θx (其中0<θ<1)?当x ≥0时,e x ≥1+!1x +!

22x =1+x+21x 2;由此可先证:e x -1-x-21x 2≥0:令g(x)= e x

-1-x-2

1x 2(x ≥0),则g '(x)=e x

-1-x,由(Ⅰ)知,g '(x)在[0,+∞)上单调递增?g '(x)≥g '(0)=0?g(x)在[0,+∞)上单调递增?g(x)≥g(0)=0?当a ≤

21时,f(x)=e x -1-x-ax 2≥e x -1-x-21x 2≥0成立;当a>2

1时,f '(x)=e x -1-2ax ?f ''(x)=e x

- 2a ?f '(x)在(0,ln2a)上单调递减?当0

2

1

]. [点评]:由e x =1+!

1x +!22

x +…+

!n x n +!

)1(1

++n x n e θx (其中0<θ<1)?当x ≥0时,e x ≥1+x+21x 2;因此可直接的命制如上试题;由

此,还可直接的命制:

1.(2018年课标高考文科试题)设函数f(x)=x(e x

-1)-ax 2

.

(Ⅰ)若a=2

1

,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x ≥0时,f(x)≥0,求a 的取值范围. 由e x =1+

!1x +!22x +…+!n x n +!

)1(1++n x n e θx (其中0<θ<1)?e x ≥1+x(x ∈R)?e -1≤x +11(x>-1)?1-e -1≥

1-

x +11=x

x

+1(x>- 1),由此可命制:

2.(2018年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=1-e -x

.

(Ⅰ)证明:当x>-1时,f(x)≥1+x x ; (Ⅱ)设当x ≥0时,f(x)≤1

+ax x ,求a 的取值范围. 由e x =1+

!1x +!22x +…+!n x n +!)1(1++n x n e θx (其中0<θ<1)…①?e -x =1-!1x +!22x +…+(-1)n !n x n +(-1)n+1!

)1(1

++n x n e θx (其中0<θ<1)…②;①+②得:e x +e -x =2+x 2+…?当x ≥0时,e x +e -x ≥2+x 2;①-②得:e x +e -x =2(x+!33x +!

55

x +…)?当x ≥0时,e x +e -x ≥2(x+

33

x ),由此可命制:

3.(2007年全国Ⅰ高考试题)设函数f(x)=e x

-e -x

.

(Ⅰ)证明:f(x)的导数f '(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x ≥0都有f(x)≥ax,求a 的取值范围.

4.(原创试题)设函数f(x)=e x

-e -x

.

(Ⅰ)证明:当x ≥0时,f(x)≥2x+31x 3; (Ⅱ)若对所有x ≥0都有f(x)≥ax+3

1x 3

,求a 的取值范围. 2.对数函数

子题类型Ⅱ:(2008年山东高考试题)已知函数f(x)=

n

x )1(1-+aln(x-1),其中n ∈N *

,a 为常数.

(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值; (Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x ≥2时,有f(x)≤x-1.

[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(1,+∞),当n=2时,f(x)=

2

)1(1x -+aln(x-1)?f '(x)=

3

2)1()1(2x x a ---;①当a ≤0时,f(x)无极

值;②当a>0时,f 极小值(x)=f(1+a

2

)=2a (1+ln a 2),无极大值; (Ⅱ)当a=1时,f(x)=n

x )

1(1-+ln(x-1),由ln(x-1)≤x-2,要证f(x)≤x-1,只需证

n

x )1(1-≤1;由x ≥2?1-x ≤-1?|1-x|

≥1?

n

x )

1(1-≤

n

x |1|1-≤1.

[点评]:由ln(1+x)=x-22x +33x -…+(-1)n-1n

x n

+(-1)n 11++n x n (x θ+11)n+1?ln(x+1)≤x ?ln(x-1)≤x-2,由此,如上试题;由此,

还可直接的命制:

5.(2018年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.

(Ⅰ)若x f '(x)≤x 2

+ax+1,求a 的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0.

由ln(x+1)≤x(x>-1)?lnx ≤x-1(x>0)?ln x 1≤x 1-1(x>0)?lnx ≥1-x

1=x x 1-(x>0)?ln(x+1)≥1+x x (x>-1),由此可

命制:

6.(2006年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x ≥0,都有f(x)≥ax 成立,求实数a 的取值范围.

7.(2015年山东高考试题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x 2

-x),其中a∈R .

(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立,求a 的取值范围. 由ln(x+1)≥

1

+x x

(x>-1)?(x+1)ln(x+1)≥x,由此可命制: 8.(2006年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x ≥0,都有f(x)≥ax 成立,求实数a 的取值范围. 由ln(x+1)≥

1

+x x

(x>-1)?(x+1)ln(x+1)≥x ?(x+1)2ln(x+1)≥x+x 2(x>-1),由此可命制:

9.(原创试题)设函数f(x)=(x+1)2

ln(x+1)-x 2

.

(Ⅰ)证明:当x ≥0时,f(x)≥x; (Ⅱ)若对所有x ≥0都有f(x)≥ax,求a 的取值范围. 由ln(1+x)=x-22x +33x -…+(-1)n-1n x n +(-1)n 11++n x n (x θ+11)n+1…①?ln(1-x)=-x-22x -33x -…-n

x n -11

++n x n (x θ+11)n+1…②;

①-②得:ln

x x -+11=2(x+33x +…)?当x ∈(0,1)时,ln x x -+11>2(x+3

3

x ),由此可命制: 10.(2015年北京高考试题)已知函数f(x)=ln x

x

-+11.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求证:当x ∈(0,1)时,f(x)>2(x+33x ); (Ⅲ)设实数k 使得f(x)>k(x+3

3

x )对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值. 3.指对函数

子题类型Ⅲ:(2006年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=x

x -+11e -ax

.(Ⅰ)设a>0,讨论y=f(x)的单调性; (Ⅱ)若对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>1,求a 的取值范围.

[解析]:(Ⅰ)由f(x)定义域为{x|x ≠1},f '(x)=

2

)

1(x ae ax --(x 2

-

a

a 2

-);①当02时,f '(x)=2

)1(x ae ax --(x+

a a 2

-)(x-a a 2

-)?f(x)在(-∞,-a a 2

-)、(a

a 2

-,1)和(1,+∞)上单调递增,在(-a

a 2

-,a

a 2

-)上单调递减; (Ⅱ)当x ∈(0,1)时,f(x)>1?

x x -+11e -ax >1?ln x x -+11-ax>0?ln x

x

-+11>ax;①当a ≤2时,ln x x -+11>2x ≥ax;②当a>2时,令

g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-ax,则g '(x)=

x +11+x -11-a=2

1x a

-(x+a a 2

-)(x-a a 2

-)?g(x)在(0,a

a 2

-)上单调递减?g(x)

x

x

-+11

11.(2018年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=ae x

lnx+

x

be x 1

-,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1)+2. (Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)证明:f(x)>1.

12.(2018年课标Ⅱ高考试题)已知函数f(x)=e x

-ln(x+m).

(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.

4.子题详解:

1.解:(Ⅰ)由f '(x)=(x+1)(e x

-1)?f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减;

(Ⅱ)当x ≥0时,f(x)≥0?当x ≥0时,x(e x -1-ax)≥0?当x ≥0时,e x ≥1+ax;当x ≥0时,e x ≥1+x ?当a ≤1时,e x

≥1+x ≥1+ax;当a>1时,令g(x)=e x

-ax-1,则g '(x)=e x

-a ?g(x)在(0,lna)上递减?g(x)-1时,由f(x)≥1+x x ?(x+1)(1-e -x )≥x ?e x ≥x+1;(Ⅱ)当x ≥0时,f(x)=1-e -x

≥0?

1

+ax x ≥f(x)≥0?ax+1>0?a ≥0;由f(x)≤

1

+ax x ?(ax+1)(1-e -x )≤x ?(e -x -1)(ax+1)+x ≥0;令g(x)=(e -x

-1)(ax+1)+x,则g(0)=0, g '(x)=e -x

(a-1-ax)+1-a;①当0≤a ≤

2

1时,由e x ≥x+1?-x ≥1-e x ?g '(x)≥e -x [a-1+a(1-e x )]+1-a=(2a-1)(e -x

-1)≥0?

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