河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文 新人教A版

数学（文）试题

参考公式：

样本数据n x x x ,,,21 的标准差；

x x x x x x x n

s n 其中],)()()[(12

2

22

1-+-+-=

为样本平均数；

柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；

锥体体积公式：h S Sh V ,,3

1为底面面积

其中=为高；

球的表面积、体积公式：,3

4,43

2

R V R S ππ=

=其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项

符合题目要求． 1．已知

1z i

-=2+i ，则复数z 的共轭复数为

A ．3+i

B ．3-i

C ．-3-i

D ．-3+i

2．己知集合A={l ，2，3），集合B=｛2，3，4｝，则A ()N C B =

A ．{l}

B ．f0,1}

C ．{1,2,3}

D ．（2,3,4）

3．己知命题p ：“a>b”是“2a >2b

”的充要条件；q ：x ?∈R，︱x+l ︱≤x，则 A ．?p ∨q 为真命题 B ．p ∨q 为真命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∧?q 为假命题 4．已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin （α+

4

π）=

A

．10

- B

10

C

．10

-

D

10

5．设变量x 、y 满足1,

0,220,x y x y x y +≥??

-≥??--≥?

则目标函数z=2x+y 的最小值为

A ．

32

B ．2

C ．4

D ．6

6．把函数y=sin （2x-6

π）的图象向左平移

6

π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为

A ．x=0

B ．x=

2

π C ．x=

6

π D ．x=—

12

π

7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足

A ．x≥4

B ．x≤-l

C ．-1≤x≤4

D ．x≤一l 或x≥4 8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A ．2 B ．l C ．

43

D ．

53

9．曲线y=

11

x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为

A ．1

B ．

12

C ．0.25

D ．

18

10．奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图象分别如图1、2所示，方程f （g(x ）)=0、g （f(x ））=0 的

实根个数分别为a 、b ，则a+b= A ．3 B ．7 C ．10 D ．14

11．直线l 与双曲线C ：

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中 点，若l 与OM

（O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A ．2

B

C ．3

D

12．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与

8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 A ．

B ．10 cm

C ．

D ．30cm

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数

的定义域为 。

14．向圆(x 一2）2

+（y

)2

=4内随机掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 。 15．过抛物线y 2

=2px （p>0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF| =2|B|=6，则

p= 。

16．在△ABC 中，（3),A B A C C B -⊥

则角A 的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足：

21

2

123(3

1),*8n

n

n n N a a a +++

=-∈ .

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设3

log n n a b n

=，求

12

23

1

111.n n b b b b b b ++

++

18．（本小题满分12分）

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：

（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：

（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场

得分不足10分的概率． 19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E 是PB 的中点．

（I ）求证：平面EAC⊥平面PBC;

（ II ）若C-ABE 高的大小．

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，1+的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上滑动，C P D =

．记

点P 的轨迹为曲线E ．

（I ）求曲线E 的方程；

（ II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,O M O A O B =+

当点M 在曲线E

上时，求四边形OAMB 的面积．

21．（本小题满分12分） 已知2

2

1()ln ,02

f x x a x a =

->.

（I ）求函数f （x ）的最小值； （ II ）当x> 2a,证明：()(2)

3.22

f x f a a x a

->

-

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B 作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．

（I）求∠ABC的度数：

（ II）求证：BD=4EF．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，

己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=1

2 OP，

点Q的轨迹为C2。

（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（ II ）已知直线l 的参数方程为2co s ,sin x t y t ??

=+??

=?（t 为参数，0≤?<π），l 与曲线C 2有且只

有一个公共点，求?的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设f （x ）=|x|+2|x-a|（a>0）．

（I ）当a=l 时，解不等式f （x ）≤4；

（ II ）若f （x ）≥4恒成立，求实数a 的取值范围

唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题：

A 卷：AABC

B CDDC

C BB B 卷：CADAB BACBC DB 二、填空题：

（13）(lg 2，＋∞) （14） 1 6－34π （15）4 （16） π

6

三、解答题： （17）解：

（Ⅰ）1a 1＝ 3 8(32

－1)＝3，

…1分

当n ≥2时， n a n ＝(1a 1＋2a 2＋…＋n a n )－(1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1

)

＝ 3 8(32n －1)－ 3 8(32n －2－1)＝32n －1

， …5分

当n ＝1，n a n ＝3

2n －1

也成立，

所以a n ＝n

3

2n －1．

…6分

（Ⅱ）b n ＝log 3a n

n

＝－(2n －1)， …7分

∵

1

b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝ 1 2(12n －1－1

2n ＋1)， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝ 1 2[(1－ 1 3)＋( 1 3－ 1 5)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] …10分 ＝ 1 2(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1

． …12分 （18）解：

（Ⅰ）x

-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132

]＝44.75，

s 2乙＝ 1 8

[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82

]＝32.25．

甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：

7，8，10，15，17，19． …7分 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， (10，15)，(10，17)，(10，19)， (15，17)，(15，19)， (17，19)，

共15种可能， …9分 其中恰好有1场得分在10分以下的情形是： (7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， 共8种可能，

所求概率P ＝8

15

． …12分

（19）解：

（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝2，

∴AC 2＋BC 2＝AB 2

，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，

∵AC ?平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． …5分

（Ⅱ）由PC ＝2，知△PBC 为等腰直角三角形，则S △BCE ＝ 1 2S △PBC ＝ 1

2

，

由（Ⅰ），AC 为三棱锥A —BCE 高． …7分

Rt △PCA ≌Rt△PCB ≌Rt△ACB ，PA ＝PB ＝AB ＝2，则S △ABE ＝ 1 2S △PAB ＝3

2

，

设三棱锥C —ABE 的高为h ，则 1 3S △ABE ·h ＝ 1 3S △BCE ·AC ， 1 3×32h ＝ 1 3× 1 2×2，h ＝63， 故三棱锥C —ABE 的高等于

6

3

．

…12分

（20）解：

（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，

∴?

????x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得?

??

?

?m ＝(2＋1)x ，

n ＝2＋12

y ，

…2分

由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，

∴(2＋1)2x 2

＋(2＋1)2

2

y 2＝(2＋1)2，

整理，得曲线E 的方程为x 2

＋y 2

2

＝1． …5分

（Ⅱ）设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1

＋x 2

，y 1

＋y 2

)．

设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得

(k 2＋2)x 2

＋2kx －1＝0，

则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1

k 2＋2

，

…7分

y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4

k 2＋2

，

由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2

＋(y 1＋y 2)2

2

＝1，

即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)

2＝1，解得k 2

＝2． …9分

D

A C

E

P

B

原点到直线l 的距离d ＝

11＋k

2

＝3

3

， 平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62

．

…12分

（21）解：

（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )

x

．

…1分

当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．

当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2

a 2－a 2

ln a ． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），f (x )在(2a ，＋∞)单调递增，

则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－ 3

2

a (x －2a )＞0． …7分

设g (x )＝f (x )－f (2a )－ 3

2

a (x －2a )，

则当x ＞2a 时，

g '(x )＝f '(x )－ 3 2a ＝x －a 2x － 3 2a ＝(2x ＋a )(x －2a )

2x

＞0， …9分

所以g (x )在[2a ，＋∞)上单调递增，

当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0，即f (x )－f (2a )－ 3

2

a (x －2a )＞0，

故f (x )－f (2a )x －2a ＞ 3 2

a ． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连结OA 、AD ．

∵AC 是圆O 的切线，OA ＝OB ，

∴OA ⊥AC ，∠OAB ＝∠OBA ＝∠DAC ， …2分 又AD 是Rt △OAC 斜边上的中线， ∴AD ＝OD ＝DC ＝OA ， ∴△AOD 是等边三角形，∴∠AOD ＝60?， 故∠ABC ＝ 1

2

∠AOD ＝30?． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 在Rt △AEB 中，∠EAB ＝∠ADB ＝60?，

∴EA ＝ 1 2AB ＝ 1 2×32BD ＝3

4

BD ，

EB ＝

32AB ＝

32×32BD ＝ 3

4

BD ， …7分 由切割线定理，得EA 2

＝EF ×EB ，

∴316BD 2＝EF × 3

4

BD ， ∴BD ＝4EF ． …10分

（23）解：

（Ⅰ）设点P 、Q 的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则

ρ＝ 1 2ρ0＝ 1

2

·4(co s θ＋sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)，

点Q 轨迹C 2的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，

…3分 两边同乘以ρ，得ρ2

＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，

C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2． …5分 （Ⅱ）将l 的代入曲线C 2的直角坐标方程，得

(t cos φ＋1)2＋(t sin φ－1)2＝2，即t 2

＋2(cos φ－sin φ)t ＝0，

…7分

t 1＝0，t 2＝sin φ－cos φ，

由直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，得sin φ－cos φ＝0，

因为0≤φ＜π，所以φ＝ π

4

．

…10分

（24）解：

（Ⅰ）f (x )＝|x |＋2|x －1|＝?????2－3x ，x ＜0，

2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x ＞1．

…2分

当x ＜0时，由2－3x ≤4，得－ 2

3

≤x ＜0；

当0≤x ≤1时，1≤2－x ≤2；

当x ＞1时，由3x －2≤4，得1＜x ≤2．

综上，不等式f (x )≤4的解集为[－ 2

3

，2]．

…5分

（Ⅱ）f (x )＝|x |＋2|x －a |＝?????2a －3x ，x ＜0，

2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x ＞a ．

…7分

可见，f (x )在(－∞，a ]单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取最小值a ．

所以，a 取值范围为[4，＋∞)． …10分