2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)精校版 Word版无答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

（2）()

3

=

（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则

（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为

（A ）()1,1- （B ）11,2?

?- ??? （C ）()-1,0 （D ）1,12?? ???

（5）函数()()1=log 10f x x x ??+

> ???

的反函数()1

=f x - （A ）

()1021x x >- （B ）()1

021

x

x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}124

30,,103

n n n a a a a ++==-则的前项和等于

（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39

（C ）()-1031-3 （D ）()-10

31+3

（7）()()3

4

22

11+x y x y +的展开式中的系数是

（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168

（8）椭圆22

122:1,,46

x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是

（A ）1324??????， （B ）3384??

????， （C ）112??

????， （D ）314

??????

，

（9）若函数()211=,2f x x ax a x ??

++

∞ ???

在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于

（A ）

23 （B

）3 （C

）3

（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于

,0,A B MA MB k ==

两点,若则

（A ）

12 （B

）2

（C

（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是

（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2

y f x x π

==的图像关于对称

（C ）(

)f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知1sin ,cot 3

a a a =-=是第三象限角，

则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字

作答）

（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥??

+≥??+≤?

所表示的平面区域为.D 若直线

()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .

（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，

3

602

OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.

18．（本小题满分12分）

设

()(),,,,,.

ABC A B C a b c a b c a b c ac ?++-+=的内角的对边分别为

（I ）求;B

（II ）若

sin sin C.A C =

求

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==?? 中，，与都是等边三角形.

（I ）证明：;PB CD ⊥

（II ）求二面角.A PD C --的大小

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比

赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1

,2

各局比赛的

结果都相互独立，第1局甲当裁判.

（I ）求第4局甲当裁判的概率；

（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.

21．（本小题满分12分）

已知双曲线()22

1222:10,0x y C a b F F a b

-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线

2y C =与

（I ）求,;a b ；

（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且

11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列

22．（本小题满分12分）

已知函数()()()

1=ln 1.1x x f x x x

λ++-

+

（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；

（II ）设数列{}21111

1,ln 2.234n n n n a a a a n n

=+++???+-+

>的通项证明：