流场有序结构分析解的探讨

流场有序结构分析解的探讨

On the Exact Solutions of the Ordered Structures

in Flow Field

力学与工程科学系99级邓新华

摘要

流体力学的基本控制方程是Navier-Stokes方程，作为一个非线性的偏微分方程组，它不存在通解；定常情况下，已经找到的分析解大致有平行流、广义Beltrami流、相似性解三类。从Helmholtz方程新的特解，我们进一步讨论了B énard对流和三维Beltrami流动。此外，结合工作中的应用，介绍了科技和工程界上四个著名的数学软件MatLab、Mathematica、Maple和MathCAD。

Abstract

The fundamental governing equations for fluid mechanics are the Navier-Stokes Equations. As a nonlinear set of partial differential equations, it has no general solutions, yet only a small number of exact solutions have been found. In this paper, based on the special solution of Helmholtz Equation we have found, new solutions for the Bénard convection and the 3D Beltrami Flows will be discussed. Also we will introduce four of the most notable mathematical softwares, which are MatLab, Mathematica, Maple and MathCAD.

一、引言

在过去的几个世纪里，流体力学家在众多实际问题中找到了分析解[1－3]，但是，这些解具有很强的局限性，往往对模型做了多种假设，只适合特定的问题；而且有些还存在奇异性，如个别点不单值或者无界，不严格满足边界条件。尽管如此，分析解还是有着举足轻重的地位。它们描述了自然界基本的流体动力学现象，有些还与实验现象惊人的吻合，为实际工程应用、气象等提供了很好的近似；

其次，对精确解，我们可以研究其稳定性、叠加的可行性等，深入讨论流动的本质；而且，随着计算机广泛应用于流体计算，这些简单的解可以用来检验计算方法的合理性和精确性。

二、B énard 对流的奇异解

对流现象和海洋、大气、星球内部的动力学，以及许多工业生产密切相关。在空间中，当流体层的温度梯度大到某一程度时，将出现热传导状态到以热对流为主的状态的转变；通常，对流现象中因非线性的因素自发形成特殊的空间结构，称之为斑图（pattern ）。B énard 对流是非线性科学中一个典型的自组织现象，可以说是目前研究最充分的一类斑图结构；本世纪初，瑞利提出了线性稳定性理论[5]，指导了近百年来B énard 对流涡胞的分析和模拟。由线性稳定方程

330Pr Pr i i i i i i u x u p R u t x u t θδθθ?=???=-++????-=?? （1）

通过假定扰动的形式，可以分离变量，其中水平方向),(y x f 集中体现了涡胞的性质。而且),(y x f 满足如下简单的方程：

0)(222

22=+??+??f f y

x α （2） 目前典型的涡胞解有[6]：①直涡卷（Rolls ）： (,)cos f x y x α=； （3） ②矩形涡胞（Rectangular Cells ）：

2221212(,)cos cos ,f x y x y ααααα=+=； （4）

③六角形涡胞（Hexagonal Cells ）：

22(,)cos[)]cos[)]cos f r y y y α

α?α=++-+ （5）

等。

我们找到了方程（2）在极坐标下的解

)2/(2/1)(),(?αα?+-=r i e r r f （6） 取实部有

)2/cos()(),(2/1?αα?+=-r r r f R （7）

由0),(=?r f R ，给出一条从坐标原点出发的螺旋线02/=+?αr ，即速度垂直分量为零的涡核的位置，函数),(?r f R 的图象给出螺

旋波的雏形，根据稳定性理论，我们导出了速度

场：两股流体分别旋入和旋出中心；此外，原点

是函数),(?r f R 的唯一奇点，而在实验中螺旋涡胞

的中心也是流场中的唯一奇点。因此我们曾经猜

测，解（7）将对应于B énard 对流的螺旋涡胞。

进一步的工作表明，我们的这种猜测是可以被否

定的。

首先，我们可以验证方程（2）具有形式)(2/)(),(?αα?l r m i n e r r f +=（l 、m 、n 为常数）的解是唯一的，且该唯一解（6）作为复变函数并不解析。

其次，注意到，式（7）中函数),(?r f R 的余弦项中?对应的系数是1/2，即),(?r f R 是关于?以4π为周期的函数——在x 、y 平面上的任意一点，将对应着两个具有相反符号的函数值；而且，任取一单值分支都将存在一个间断面。回到流动现象，这将意味着在流场中总存在一个间断面，在这个间断面的两边，流场具有完全相反的性质；或者流体的微团总处于两个不同的状态。无论怎样，都将与流动的基本现象和连续性假设相背离。

因此，我们最终认为仅仅依靠我们所得到的解（7），还不足以给出相应于螺

旋涡胞的有物理意义的解。我们认为，为简化问题，我们考虑的是不可压流体的定常流动；沿袭前人处理多边形涡胞的方法，我们忽略了竖直方向上的涡量，即 螺旋涡胞实验照片

函数f 单值分支

03=?等。而实验结果表明，螺旋涡胞呈现出多臂、旋转、游走的性质。理论上的这些近似，也可能是导致解),(?r f R 上述奇异性的原因，我们正在考虑模态方程中高阶非线性项的可能性。

三、Beltrami 流的探讨

Beltrami 流动是一类特殊的定常理想不可压流动，在流场中流体的涡矢量和速度矢量方向平行；由于这一特性，使得Beltrami 流动的研究对混沌和湍流理论、等离子物理等具有很深远的借鉴意义。如式（11）是球形涡流的解，对高阶球涡以及球涡的计算表明，流动中将出现混沌运动轨道，因此就把流体力学的涡旋运动和保守系统的混沌理论联系起来。 用v ??=?表示涡量，则所谓的Beltrami 满足 0=?v ? （8）

即三维流场中的涡矢量与速度矢量方向相同。可以证明[4]Beltrami 流动的充分必要条件是满足 a a v ????+??=λ （9） 其中矢量a 满足Helmholtz 方程 0=+?a a λ

（10） 根据近年来许多理论研究结果，可以将Beltrami 流动分为螺旋片流、柱形螺旋流、柱形涡流、球形涡流(11)、长椭球形涡流等[4]。

)(cos )()1(12/12/3θ-+-+=n n n r P r J r n n A v

)(cos ]/)()([12/12/12/1θθn n n n P r r nJ r J r A v +---=

)(cos )(12/12/1θ?n n b P r J r A v +--=(11)

这里，我们将（7）式推到三维，即寻找满足Helmholtz 方程

0)(2222

2222=+?=+??+??+??f f f f z

y x αα （12）

类似形式的解，得到

2222121*)],2/(ex p[1),,(ααα?ααα?=+++=z r i r z r f （13）

或者

]2,0[)],2/sin cos (ex p[1

),,(*πβ?βαβαα?∈=++=const z r i r z r f （14）

选取特殊矢量a 为[0，0，)2sin cos cos(1?ββ++z r r

]，然后计算Beltrami 流场的速度分布：

)]cos sin 2cos(2sin )cos sin 2sin()1[(cos 212

/3ββ?βββ?βz r r z r r v r ++-++-= )]cos sin 2cos(sin 2)cos sin 2cos()cos 1[(212/3ββ?βββ?β?z r r z r r

v +++++-= )]cos sin 2cos(sin 122/1ββ?βz r r v z ++= (15) 因为?的系数是21，这个解具有与（7）相同的双值性，因而也是奇异的。事实上，令0=β，式（14）即为式（7），不在与z 坐标相关。而且，由于β是常数，变量r 的系数βcos 影响的只是径向的特征尺度；而变量z 只出现在余弦函数内，故不同z 坐标的平行截面上速度分布具有相同的结构，只是彼此间相差一个相位。

四、若干数学软件的应用比较

目前,在科技和工程界上著名的数学软件主要有: MatLab 、Mathematica 、Maple 和MathCAD ，它们各自针对的不同目标，有不同的特色。在学习和研究工作中，我接触比较多的是前三者。

1.MatLab ——The Language of Technical Computing

MatLab V 是我最先学习的计算软件，目前最新版本是MatLab 6.5。MatLab 原是Matrix Laboratory 在70年代用来提供Linpack 和Eispack 软件包的接口程序，采用C 语言编写。从80年代出现3.0的DOS 版本，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。MatLab 可以运行于多个操作平台上，如Windows 9X/NT 、OS/2、Macintosh 、Unix 、Linux 等。

MatLab 程序主要由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、神经网络工具包、图像处理工具包、统计工具包等。MatLab 是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。

MatLab 的功能非常强大，可编程，支持C 、Fortran 等程序语言，附带Editor 编辑器、图片处理等应用程序，和数百兆的帮助说明文档，使用相当方便。但是占据的系统资源也相当惊人；因此，我主要用它来完成后期计算、以及数据、图形的进一步处理。

2.Mathematica ——The way the world calculates

Mathematica 是由美国物理学家Stephen Wolfram 领导的Wolfram Research 开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力，目前最新版本是Mathematica 4.2。

Mathematica 的基本系统主要是用C 语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，如Mac OS 、Linux 等，Mathematica 是一个交互式的计算系统，所接受的命令被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后再把计算结果返回。Mathematica 对于输入形式有非常严格的规定，虽然给使用者造成一些不便，一点微妙的输入差别就会出现完全出乎用意的结果，但这恰恰是

其魅力所在，Mathematica的输入与输出格式也更让我们习惯。

鉴于Mathematica强大的符号运算能力，我主要用它来验证我的公式推导和做一些尝试性的推测，同时配合MatLab的数值计算功能。在实际工作中，我发现Mathematica的计算结果与计算机的性能有很大关系，不仅体现在速度方面；某些运算繁琐的题，在低档机上是得不到结果的；此外，它往往不能简化为我们所希望的表达式，因此，经常需要观察比较甚至更改计算结果的形式。

3.Maple——A comprehensive computer system for advanced mathematics

Maple是由Waterloo大学开发的数学系统软件，目前最新版本为8.0，它不但具有精确的数值处理功能，而且具有很好的符号计算功能，是MatLab和Mathematica的很好的折中选择，包括代数、分析、离散数学、图形处理、数值计算等领域的工具包；Maple提供了三千多种嵌入函数，支持丰富的运算符号，提供快速的编程处理环境，使用非常方便。

所以，我主要利用Maple来迅速完成一些简单的任务，尤其是在学习、作业的过程中。

4.MathCAD——A broad collection of numerical and symbolic calculation and visualization tools in a familiar scratchpad interface.

MathCAD是美国Mathsoft公司推出的一个交互式的数学系统软件。从早期的DOS下的1.0和Windows下的4.0版本，到引用Maple强大的符号计算能力，到今日的MathCAD 2001i，功能也从简单的数值计算，有了了质的飞跃。

MathCAD是集文本编辑、数学计算、程序编辑和仿真于一体的软件，界面友好、方便灵活，与Microsoft Office等兼容性较好，也适合普通用户使用，做一些简单计算。

比较而言，Maple和MathCAD是两种比较灵活、能干的软件，使用方便、兼容性高；Mathematica具有很强的符号运算、处理能力，能完成许多其它软件不能完成的工作如某些积分、求极限等；MatLab在图形处理、矩阵计算方面占优势；在计算精度和编程方面，可以选择Mathematica和Maple，而MatLab虽然专业，但编程计算效率比较低，占据资源多。此外，就力学专业而言，还可以考虑的有TecPlot、FieldView、Fluent等。

致谢

首先感谢我的导师黄永念教授，在进入实验室的一年多时间里，黄老师严谨的治学态度、深厚的数理功底时刻鞭策和鼓励着我，引导我步入非线性科学领域。另外，感谢李政道先生等给予我们本科生这个参与科学研究的机会，让我们能提前了解相关领域的最新发展，尝试科学研究工作。最后我要特别感谢理科试验班里的朋友和实验室的师兄们，以及家人和女友对我的支持和帮助。

参考文献

①Shah,R.K. & London,A.L.，Laminar Flow Forced Convection in Ducts. Adv. Heat Transfer (Suppl.), NewYork: Academic. 477, 1978；

Tsien,H.S., Symmetrical Joukowsky airfoils in shear flow. Q. Appl.

Math., 1(1943): 130-148；etc.

②Wang,C.Y., Exact solution of the unsteady Navier-Stokes equations. Appl. Mech. Rev. 42(1989): 269-282

③Wang，C.Y., Exact Solutions of The Steady-State Navier-Stokes Equations, Annu. Rev. of Fluid Mech., 23(1991): 159-177

④Shi,C.C., Huang, Y.N, & Chen, Y.S, On the beltrami flows, Acta Mech. Sinica,8(1992): 289-294

黄永念等，Lagrange湍流与Beltrami流动

⑤《流体动力稳定性》，[英]P.G.德拉津、[美]W.H.雷德（周祖巍等译），北京：宇航出版社，1990；

《物理流体力学》，[美]D.J.特里顿（董务民等译），北京：科学出版社，1986 ⑥Jenkins, D.R.， Interpretation of Shadowgraph Patterns in Rayleigh-B énard Convection，J. Fluid Mech.，190, 451-469(1988)；

Chandrasekhar，S.,Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability，New York：Dover Publications，9-75，1970；

Bodenschatz, E., Pesch, W., & Ahlers, G., Recent development in Rayleigh-Bénard convection, Annu. Rev. Fluid Mech., 32(2000): 709-778；Cross, M.C.& Hohenberg, P.C., Pattern formation outside of equilibrium, Rev. Mod. Phys., 65:851-1112(1993)

作者简介：邓新华，男，1981年10月出生于湖南省湘潭，1999年毕业于湘潭市湘乡第一中学，考入北京大学力学与工程科学系，现理论与应用力学专业本科。大学期间，参加了理科实验班的学习，获“攀登”奖学金、“住友商事”奖学金，曾担任班长和系学生会部长，或“学生工作”优胜奖。2001年受“政基金”资助，进入“湍流研究国家重点实验室”，在黄永念老师指导下，进行“流场有序结构分析解”方面的工作，并对非线性科学产生了浓厚的兴趣。

感悟与寄语：

“独立思考,实事求是,契而不舍,以勤补拙。”——周培源

在近一年半的工作中，我对课题的了解由模糊到渐渐清晰。觉得科学发展的越高，需要解决的问题越深，需要了解的方面越广；为了适应，研究人员必须具备扎实的基本功、清醒的头脑，在科学领域里，马虎和投机是不可取的。其次，良好的工作习惯是开展工作的先修课，笔记、资料的积累和整理，计算等等凝聚着个人的科学素养。

指导教师简介：黄永念，北京大学力学与工程科学系教授，流体力学专业博士生导师，湍流国家重点实验室副主任。长期以来一直从事湍流理论和与此密切相关的非线性科学理论两个方面的基础研究工作，1997年获首届“全国优秀科技工作者”称号，2002年获第三届“周培源力学奖”。