圆的证明与计算题专题研究

《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：

1.圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题秘笈：

1、判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线；

（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.

（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.

（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

2、与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3、典型基本图型：

图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：

①CK=CD ；BK=DE ；CK=2

1

BE=DC ；AE+AB=2BK=2AD ;

②⊿ADC ∽⊿ACB AC 2

=AD?AB

（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD

于E 时（如图5），则：

①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD?BG=

24

1

DG

图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC

于点E ，基本结论有：

图2

C

图1

图1A 图2A 图3A 图4A 图5

A

（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，

知一推三。 （2）①G 是⊿BCD 的内心；②

；③⊿BCO ∽⊿CDE ?BO?DE=CO?CE=2

1CE

2

； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。 （4

）如图（3），若①BC=CE ，则：②

AD AE =2

1

=tan ∠ADE ；③BC ：AC ：

AB =3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH

图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：

如右图：（1）DE 切⊙O ?E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；

②D 、O 、B 、E 四点共圆?∠CED =2∠A

③CD·CA=4BE 2, BA

BC BD

CD R

DE ==

图形特殊化：在（1）的条件下

如图1：DE ∥AB ?⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；

如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：

①

3

1

=EF DE ;②=R BE

图形4：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ，

基本结论有：

（1）DE ⊥AC ?DE 切⊙O ；

（2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；

②EF=EC ；③D 是 的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD ，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，

（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）

A

图1图2

B

A BF CG=GD 图1图2图3

④AD·BC ＝

AB 4

1

2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO ?AE =2R 2(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .

图形6：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。 基本结论有：

（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)； （2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“PQ=PR ”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2

图形7：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID ；②DI 2＝DE·DA ；

③∠AIB =90°+

2

1

∠ACB ; （2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.

图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是

中点，CD ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC

于E

、F 。基本结论有：

（1）CD =2

1

BG ；BE=EF=CE ；GF=2

DE

(反之，由CD =21

BG 或BE=EF 可得：C 是 中点)

（2）OE=2

1

AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿AGF

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；② 四、范例讲解：

例题1：△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧?

CF =?

CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求AF

EF

的值。

A

BC=CG=AG BG BG 图1

图2

A 例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，A

B 为直径的圆交B

C 于E ，连OC 、B

D 交于F . ⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若

53=AB BE ，求DF

BF

的值

例题3：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。

（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求

DB

DG

的值。

例题4（

2009调考）：如图，已知△ABC 中，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E

为 的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC （1）求证：AC 与⊙O 相切；

（2）若AC ＝6，BC ＝8，求EC 的长

五、练习：

1．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D D 作AE 的垂线，F 为垂足.

（1）求证：DF 为⊙O 的切线； （2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.

D B BD BD=DE

A

C

2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O

，过D 作直线BC 的垂

线交直线AB 于点E ，F 为垂足.

（1）求证：EF 为⊙O 的切线；

（2）若AC =6，BD =5，求sin E 的值.

3．如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，E 为切点，连结CE 交AB 于点F .

（1）求证：DE=DF ；

（2）连结AE ，若OF =1，BF =3，求tan A ∠的值.

4．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点一点E ，EF ⊥AC 于点F .

（1）求证：⊙O 与AC 相切；

（2）若EF =3，BC =4，求tan A ∠的值.

5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；

（2）若BC =，AE =1，求cos AEO ∠的值.

AD=DC

6．如图，BD 为⊙O 的直径，A 为

的中点，AD 交BC 于点E ，F 为BC

延长线上一点，且FD=FE.

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若AE =2，DE =4，△

BDF 的面积为，求tan EDF ∠的值.

7、如图，AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；

（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE =AM 的长．

8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作⊙O 的切线CE ，点D 是CE 延长线上一点，连结AD ，且AD+BC=CD .

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）设OE 交AC 于F ，若OF =3，EF =2，求线段BC 的长.

BC

A F B

9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.

10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是⌒

BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.

（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；

（2）求sin∠BAD的值.

11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长

B