换元法在数学解题中的应用
换元法在数学解题中的应用
摘要
换元法通过引入新的变量，将题目移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准题目标准化，繁琐题目简单化，变得容易解决.因此换元法是数学解题中一种十分重要而且应用非常广泛的思想方法.本文研究了换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的应用及解题技巧，并且给出了一些典型例子.用换元法解数学题有助于培养学生灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格,提高解题效率.
关键字：换元法;构造新元;标准化;应用
Application of the Method of Exchange Element Method in Solving
Mathematics Problem
Abstract:The method of substitution put the topic into the background in the new object to study by introducing a new variable, so that the non-standard topics of standardization, simplification complicated topic, become easier to solve. Therefore the method of substitution is a very important and widely used method of thinking in mathematical problem solving. This paper will give a simple analysis about the basic concepts of substitution method, theoretical basis, and the basic principles of using the method of substitution. And it also discussed about the using of the method of substitution in Algebraic expressions, factorization, equations, functions, pr oven and calculus and gives some typical examples. This paper’s content will help for training the problem-solving skills in the mathematics, just like how to transform the higher degree into the low degree, the fraction into the integral expression, the irrational formula into the rational expression, and the transcendental expression into the algebraic expression. And this paper’s skills help solve complex and complicated mathematical problems.
Key words: method of substitution; structures; standardization; application
目录
1 引言 (1)
2 文献综述 (1)
2.1 国内外研究现状 (1)
2.2 国内外研究现状评价 (2)
2.3 提出问题 (2)
3 预备知识 (2)
3.1 换元法的基本概念 (3)
3.2 换元法的理论依据 (3)
3.3 换元法的两种基本类型 (3)
4 换元法在数学解题中的应用 (3)
4.1 换元法在代数方面的应用 (4)
4.1.1换元法在计算中的应用 (4)
4.1.2换元法在因式分解中的应用 (5)
4.1.3换元法在解方程中的应用 (6)
4.1.4换元法在函数中的应用 (10)
4.1.5 换元法在证明中的应用 (14)
4.2 换元法在微积分中的应用 (16)
4.2.1 换元法在微分中的应用 (16)
4.2.2 换元法在积分中的应用 (17)
5 结论 (21)
5.1 主要发现 (21)
5.2 启示 (21)
5.3 局限性 (21)
5.4 努力方向 (21)
参考文献 (22)
1引言
在数学学习过程中，我们往往会遇到各种棘手的数学题，这些数学题形式多种多样，涉及到的知识面广泛，题型新颖. 它们或是非标准形式，或是超越式，或是高次式，或是无理式等.碰到这些数学题时我们该如何解决呢？这时，数学思想方法就能发挥用武之地了，数学思想是数学的精髓所在，是理论知识和实践应用之间的桥梁，它包括化归思想，数形结合思想，分类讨论思想，转换思想等.换元法作为数学思想方法的成员之一，具有杰出的沟通转化作用.换元法的实质是转换，目的是变更研究对象，把还没有解决的题目转化为已经解决的问题去研究.使用换元法须要一些换元技巧，使用得当能给人一种“柳暗花明”的感觉，通过换元，可以把生疏的题目转化为我们熟悉的题目，把繁琐题目转化为简单题目，从而达到解决问题的目的.使用换元法解题能培养人的数学思维品格，逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力，把理论知识和实际运用结合起来.
2 文献综述
2.1国内外研究现状
现查阅到的参考文献中，对换元法在数学中的解题技巧做出了探讨.刘志国在[1]中主要介绍了换元法的基本概念，理论依据，适用范围及应用规律等，并通过大量实例说明了应用换元法解题的一般思绪.陈颖在［2]中主要介绍了有关换元法的基本知识及换元法在代数，几何，三角三个方面的应用.牛继武等人在[3]中从因式分解的理论，方法和应用三个方面，并且对一般的因式，数域，公因式等的定义没有另行叙述而直接采用，对于有关的定理都尽量给出了证明.翟连林，汪祖亨在[4]介绍了各种数学解题方法的同时强调了定向思维，提出了在数学解题中如何巧妙运用参数进行灵活变换的策略.刘俊，付本路，姚玉平在[5]中把数学方法分为直接方法，一般方法，数学思想方法三类，且对每种方法的特点，应用，注意事项进行条理化的说明，实现了数学知识与解题方法的有机结合.朱成杰在［6]中力图对换元法及其在中学数学中的应用进行一个比较系换元法在各方面的应用，最后简要的介绍换元法的推广---辅助函数法.方昌武，汪祖亨在文献[7]中介绍了各种各样的解题方法，并通过丰富的例题总结出一套科学求解的思考方法，这些方法是进一步学习数学不可缺少的工具.杨象富，赵伟祥在[8]中比较全面，系
统地介绍了初等数学里两类基本的换元法和其他常用代换法，让读者较好的掌握代换的技能技巧，提高解题能力，培养学习兴趣.王岳庭在[9]中列举了换元法在解方程，证明，不等式以及其他方面的应用，并用典型例题加以验证.周军高在[10]中浅谈了局部换元，整体换元，配偶换元等换元策略.王寿生，李云珠，张肇炽在[11]中舍弃了微积分教程中常规内容的复习提要和大量常见习题，突出解题方法和技巧这一主题，并以方法为中心系统的进行概括和总结，列举大量例题.现行的高等数学分析讲义中，对用换元法求微积分进行了表述，且范例较多,参见文献[12].马訾伟，闫晓红在[14]中对微积分的知识进行归纳，梳理了重难点，准确解答了微积分习题.李颖，郭颖在文献[15]中通过对现行高等数学课本中定积分换元法的表述做出分析，认为有些表述对替换函数的限定前提过于严格，并以例题加以说明.
2.2国内外研究现状评价
现所查阅的文献［1—15］中对换元法都有不同层次的研究，并且提供了大量换元的思想方法和换元法在解题中的应用，从换元法的定义到应用都比较注重发展学生的逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力.但是由于这些文献中对换元法的研究比较片面，呈现换元法的地方相对分散，换元的种类又多种多样，使人难见其貌，不易掌握，并且对如何构造元和设元，进行等量代换，从而变更研究对象，将题目移至新对象的知识背景中去探讨，从而使非标准题目标准化等问题没有进行深入研究.因此往往在解题过程中因为对换元法的不熟悉或对辅助元的选取不恰当把题解错.这也使在应用换元法解题时容易碰到阻碍.
2.3提出问题
数学解题的方法多种多样，换元法在数学解题中的应用很普遍.以上文献对换元法在各方面的应用都列举了例子.本文探讨了换元法在数学解题中的应用，如换元法在函数、方程、微积分等方面的应用，并且运用典型的例子对换元技巧作出总结，且对查阅到的文献进行研究后总结了换元法在多方面的应用，除对换元法进行简单的阐述外，还对换元条件，换元技巧都作出了探讨.
3 预备知识
用换元法解数学题的前提是掌握必要的预备知识，如换元法的基本概念，理论依据，以及常用的换元类型等.这些知识便于我们在解决数学题时能熟练运用换元技巧，巧解数
学题.
3.1换元法的基本概念
我们把表示未知数（未知量）或变数（变量）的字母称为元.
通常我们在解决一个较为复杂繁琐的数学题目时，若是用新的未知量或变量替换原本的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原本的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法.当中新的未知量或变量叫做辅助元素，简称辅助元.
3.2换元法的理论依据
因为换元法的实质是进行未知量或变量替换，这就决定了使用换元法的关键在于确定未知量或变量的替换关系式.替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”.是以，换元法的理论依据是“等量代换”.
3.3换元法的两种基本类型
换元法是常用的数学解题方法，其应用具有一定的解题模式，在基本的模式上进行变换就能解决较为复杂的数学问题了，使用换元法时需谨记万变不离其宗.
1.设)(x F 是一个比较复杂繁琐的关系式，如果可以以)(x ?为中间变量把)(x F 表示为一个复合函数，则可设t x =)(?，因此
).()]([)( t G x G x F ==?
如若)(t G 比)(x F 容易解决，这里的换元就起了化繁为简的作用.
2.设)(x F 是一个比较复杂的关系式，设)(t x ω=，因此
).()]([)( t M x G x F ==ω
只需)(t M 比较容易解决，照样能起到化难为易的作用.
4换元法在数学解题中的应用
换元法是数学解题中一种常见的解题方法，我们在解决数学问题时，往往会遇到一
些复杂繁琐的数学或式子，这些式子没有规律不易解决，这时，我们就需要找一个中间变量进行代换，把它转换到熟知的背景中去解决，这种解决问题的方式叫做换元法，它的一般步骤是：构造新元 求解 代回 .换元法使用得当可把待研究的问题转化为已经研究过并已解决过的问题.使问题化难为易，化繁为简，化生为熟，给人呈现一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.换元法在数、式、方程、不等式证明、函数、微积分等方面都有普遍的作用.
4.1换元法在代数方面的应用
换元法在代数方面的应用主要是指在计算、因式分解、解方程以及证明等的应用.换元法在把高次化为低次，把分式化为整式，把无理式化为有理式等方面常常碰到，在应用时要依照其原则，即有利于标准化，有利于计算的原则.换元要注意新未知量的取值范围，比定要使新未知量对应于原未知量的取值范围，不能缩小也不能扩大，不然用换元法算出的结果错误，换元法也就失去了意义.
4.1.1换元法在计算中的应用
在计算时，当式子中出现较大的数字或根号时，因为数字太大，计算中会出现各种各样的问题，因此很多学生会毫不犹豫地选择用机器代替大脑，用计算器进行计算.其实只要仔细观察这些数字的特点，然后用适当的元替换这些数字，便可以化繁为简，这时再来计算就简单多了.
例1 求22)18791882()18851888(1879188218851888-?-+???的值.
分析：此题中数字较大，运算也相当繁琐，而且含有根号，如果直接计算，计算量较大，因此可以考虑先化简在计算.观察可知前三项的平均数为1885，不妨设x =1885，于是
解：设x =1885，则原式
.93)93(9)3(18)3(81
)183)(3(81
)]6)(3[()]3([33)6)(3()3(22
22
222222
2--=--=+---=+---=+-+?-=?+--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
把1885=x 代入原式，则
.35475619
35475709
565535532259
1885318852=-=--=-?-=
评注：通过换元可以化繁为简，省去了大量的计算.当我们把原式化简到
81)183)(3(22+---x x x x 时，我们可观察到式子中含有一个相同的量x x 32-，这时我们也可以设t x x =-32，然后进行二次换元，换元原理和以上相同.在以后的解题中，若遇到类似的问题，数字较大、含有根号，首先要考虑的便是换元法，根据数字的特点适当的换元，使问题简单化.
4.1.2换元法在因式分解中的应用
在因式分解中，通常代数式比较复杂繁琐，若代数式中有几个式子是重复出现的，应用换元思想可以把重复出现的式子定为辅助元，把代数式构造成常用的因式分解公式，如此再来分解因式就简单多了.
常用的因式分解公式：
).)((,
)(33,
)(2),
)((22333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a +±=±+=±+±±=+±-+=-
在应用以上基本公式时，需要注意的是，公式中的某个字母在题目中不会简单地以这个字母的形式表现出来，它可能是一个多项式，也可能是一个很复杂的式子.这样就可以根据换元法的思想，尽可能地把公式的使用范围扩大，以便解题.
因式分解中常常用到变量替换，一个比较复杂的多项式可以利用变量替换化成常用基本类型去分解，这正是换元法的意义所在.我将从以下例子进行说明
例 2 分解因式).21)(44()21(22222a b a ab b a b a --+---++
分析：该题中含有较为复杂的多项式，并且不能用基本公式进行分解，因此可以考虑变量替换，但是观察此题可发现，没有合适的变量进行替换，这就需要先将式子拆开，再来寻找合适的变量进行替换.
解：原式])1)[(1(4])1[(22222b a a b b a ----+-=
.)1(4)1(b 2)1(4)1()
1(4)1(4)1(2)1(432234334224b a b a a b a a b a b b b a a +-+-+---=-+--+-+-=
设y b x a ==-,1 代入上式得
.
)2()2(]4)(4)[(]2)(42)[(]2)(4)[(2)(4)(4242222
2222222222222
22
233444
3234xy y x x y y x y x x
y y x x y y x y x x
y y x x y y x y x x
y y x x y y x y x y x xy y x y x y xy y x y x x --=--=+---=+--+-=+--+=+--+=+++-= 原式222222)1222(])1(2)1[(++---=----=ab b a b a b a b a
评注：此类型的题目如果能找到合适的变量进行替换的，可以直接用换元法.不能找到合适变量的需先将式子拆开，再寻找合适的变量.此类型题目中的变量通常是一个式子，解此种类型的题涉及了，拆项，换元，配方等步骤，难点是如何将换元后的式子进行配方，使其变成常用的基本公式，之后再求解.
4.1.3换元法在解方程中的应用
在解方程或方程组时，往往会遇到一些比较特殊的方程，如分式方程，高次方程，无理方程等.这就需要借助辅助元进行转化，把分式化为整式，高次化为低次，无理化为有理，先求出转化后的方程的解，再来求原方程的解.
1.用换元法求解分式方程
用换元法求解分式方程是用辅助元进行等量替换，将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程的求解步骤求解.
例3 解方程.03266242222=-+++++x
x x x x x 分析：注意到方程左边两个分式中所含的式子6
222++x x x 与x x x ++2226互为倒数，若设
6222++x x x =y ,则y
x x x 12622=++，于是原方程可化为关于y 的一元二次方程来求解. 解：设,6222y x x x =++ 则.12622y x x x =++
于是原方程可变为
.0312=-+y
y 去分母，得
.01322=+-y y
解得
.2
1,121==y y 当,16
x 2122=++=x x y 时，即去分母并整理得 .3,2.
06212-===-+x x x x 当,2
16x 22122=++=x x y 时，即去分母整理得 .
06232=-+x x
.3191,319143--=+-=x x 解得
检验：把3,221-==x x ，3
191,319143--=+-=
x x 分别代入方程当中检验，它们都是原方程的根. 评注：该类题中的方程含有倒数关系，因此可以用倒数换元法，将其换为形如0)
()=++c x f b x af （的形式，若设其替换关系式为)(x f y =，则原方程可化为关于y 的一元二次方程后，求出y ,02=++b cy ay 还需要代回替换关系式，以便求出原方程的解.
2.用换元法求解二元二次方程组
在用换元法解二元二次方程组时，需要根据方程组的特征设两个辅助元，把二元二次方程转化为一元二次方程，然后根据韦达定理求出辅助元的解，之后把辅助元的解代入替换关系式，并可求出原方程的解.在构成方程组的方程里，有些含未知数的代数式呈对称性，抓住这一特点可使方程组简化，这种换元称对称换元[]5.对称方程组的解法和韦达定理有着密切的关系，中学课本里已经介绍过关于一元二次方程的韦达定理. 设一元二次方程组02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么
.2
121???=?-=+q x x p x x 例4 解方程组.19
182222?????=++=+++y x xy y x y x 分析：由于方程组中xy y x y x 2)(222-+=+，故可设其相同的整体,,n xy m y x ==+于是方程组可化为关于m,n 的简单二元二次方程组来求解.
解：原方程组变为?????=-++=-+++.192)(182)()(22xy y x xy xy y x y x
设n xy m y x ==+,，则原方程变为 1822=-+n m m （1）
.192=-n m （2） 由（2）得
.192-=m n (3) 把（3）代入（1）得
.0202=--m m
解得.4,521-==m m
把4,521-==m m 分别代入（3）得
.3,621-==n n
所以
.34,652211???-=-=???==n m n m
把这两组解分别代入替换关系式，得
.34,65???-=-=+???==+xy y x xy y x
解这两个方程组，得原方程组的解为
.7272,7272,23,3244332211?????+-=--=?????--=+-=???==???==y x y x y x y x 评注：此方程是对称方程组，需设两个辅助元来分别替换两个变量，把方程化繁为简，化难为易.根据韦达定理先求出辅助元的解，再来求原方程组的解.
3.用换元法求解无理方程
有关根式的许多问题，常常转化为有理式来解，根式的有理化有很很多方法，换元法就是其中一种重要的方法.他的思路是把一些较复杂的根式通过换元转化为有理式，在进行求解.值得一提的是，我们在解这种一元方程时，通过设两个辅助未知数，将一个难解的方程转化为一个比较容易解的方程组，从而使问题得解.这种貌似化简为繁的方法，实际上收到了变难为易的效果.这样的处理技巧充分体现了换元法具有灵活多变的特点.
例5 解方程.1311522-=+-+-+x x x x x
分析：本例若用两边平方的方法化去根号，将出现x 的四次方程，不易求解，由于)13(226)1()15(22-=-=+---+x x x x x x ,1,1522v x x u x x =+-=-+若设则原方程变为
)13(2u ,1322-=--=+x v x v u 且有.
解关于v u ,的二元二次方程组，得).(),(x g v x f u ==从而可求原方程的解.
解：设,1,1522v x x u x x =+-=-+则有
???-=--=+).
13(21322x v u x v u
因为，值不是原方程的根的使)013(013x x x =-≠-
所以两式相除得.2=-v u
解?
??=--=+213v u x v u 得 ).1(2
3),13(21-=+=x v x u 由)1(2
31),13(211522-=+--=-+x x x x x x ，均有 .
051452=+-x x
解得 5
627,562721-=+=x x
当.,0,0u 5
62711是原方程的根所以时，x v x >>+= 当.,0,0u 5
62722是原方程的增根所以时，x v x <>-= 因此原方程的根56
27+=
x 是 )g()()m(()()()(x x f x x m x g x f 和的次数低于的方程评注：对形如=±
的次数），当)()()(x m x g x f 与-之比为常数时，若设,)(,)(v x g u x f ==则原方程可化为关于v u ,的二元二次方程组来求解，虽然分别利用求出v u ,来求x 值，其结果总是一致的，但切不可因此只求出u (或v ),否则将会由于忽略v (或u )为非负数的条件而导致解题不严密的错误.
4.1.4换元法在函数中的应用
函数是数学学习中一个重要的知识点，也是一个难点,这就意味着求函数的解析式，定义域，值域也成为一个难点.用换元法求解函数是一个行之有效的途径，通过换元使问题变得简单明了，显而易见.
1.求函数解析式
利用换元法解函数方程的基本思想是先进行变量替换，从而得到一个新的函数方程，把新得到的函数方程与原函数方程连列，构成一个未知函数的代数方程，用换元法求函数解析式，要将中间函数换元，逐渐分解，要特别注意换元后变量的取值范围，这将是函数解析式的取值范围.
例6 已知)(,2)1(x f x x x f 求+=-的解析式.
分析：这是一个复合函数，要想求)(x f ，需找出一个中间函数，以便设置中间变量，从外层到里层逐步分解，直到最后一层是一个基本初等函数为止.
解：设1,)1(,12-≥+==-t t x t x 且则
把x 用含t 的式子代换，有
)1(342212)1(2)1()(222-≥++=++++=+++=t t t t t t t t t f
把t 换成x ,则
34)(2++=x x x f )1(-≥x
所以)(x f 的解析式是34)(2++=x x x f )1(-≥x
评注：对于这种))((x g f 的复合函数，往往需设t x g =)(，借助t 这个中间变量求出)(x f 的解析式. 2.求函数的定义域
一个多元函数一般有好几个中间函数，因而可设好几个中间变量.只要分别求出中间函数的定义域与中间变量的允许值所对应的自变量的取值范围，其交集就是所求函数的定义域.
例7 求函数)](log [log log 333x y =的定义域.
分析：这个函数的形式形如叠罗汉一样，看起来眼花缭乱，令人无从下手，这是一个三元函数，有两个中间函数，因而可设两个中间变量.
解：设u x =)(log log 33，则
.log )](log [log log 3333u x y ==
由对数函数的定义域，得,0>u 即
.0)(log log 33>x （1） 再设.log )(log log ,log 3333v x v x ==则
由对数函数的定义域，得0>v ，即
.0log 3>x （2） 又由1log ,0)(log log 333>>x x 得.
由（1）得3>x ，由（2）得1>x .
).,3(),1(),3(+∞=+∞+∞
故函数)](log [log log 333x y =的定义域是3>x .
评注：对于对数函数来说，想要求他的定义域需要掌握对数函数的性质，抽丝剥茧一层一层来，谨记复合函数的定义域是中间函数的定义域之交集.
3.求函数的值域
用换元法求函数的值域是通过引入新变量（辅助式，辅助函数等）以完成把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的达到的结论结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化起来的目标，之后就可以利用各种各样基本的求函数值域方法来解决问题.某些函数可以利用代数或三角代换将其化为容易确定值域的另一函数，从而得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.形如均为常数，d c b a d cx b ax y ,,,(+++=
且0≠a ），可以令)0(t ≥+=t d cx ，则有c d t x d cx -=+=22
,t 所以 ,2t b c
d t a y ±+-?=从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数值域，要注意t 的取值范围.
（1）代数代换
用换元法求函数值域，应根据已知函数的结构特征作适当的变量替换，并由已知函数的定义域确定出辅助元的取值范围，在对新函数作适当变形，以便利用一元二次方程
的根的判别式，或二次函数的性质求出已知函数的值域
例8 求函数x x y 313-+=的值域.
分析：函数x x y 313-+=形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，且0≠a ）.因此，可以考虑用换元法. 解：设.31),0(312x t t x t -=≥-=则
所以 .3
12
t x -= 原函数可化为 .131322
++-=+-?=t t t t y
即 .4
5)21(2+--=t y 由其函数图像可知 当21=t 时，即4
1=x 时，y 取得最大值 45max =
y .
无最小值 所以函数x x y 313-+= 的值域为].4
5,(-∞ 评注：通过换元法引入新的辅助式将原函数转化为常见的一元二次函数，画出一元二次函数的图像便可求得原函数的值域，绘图像时须注意函数的定义域.
（2）三角代换
三角代换的实质是把平面)](,[x f x 上的问题映射到平面)](,[a f a 上来研究.因此我们需要掌握三角函数中的种种知识和技能，以便我们熟练灵活的进行三角代换. 例9 求函数21x x y -+=的值域.
分析：函数21x x y -+=的定义域为]1,1[-，我们注意到)22(1sin 1ππ≤≤-
≤≤-t t .因此，对于定义域为]1,1[-的函数，我们可以考虑用)22(sin ππ≤≤-
=t t x 进行代换. 解：函数21x x y -+= 的定义域为]1,1[- 设).
22(sin π
π
≤≤-=t t x
则原函数 21x x y -+=可化为
).4sin(2cos sin π+=+=t t t y 因为
.22ππ≤≤-t
所以 .4344
πππ≤
+≤-t 由)4sin(2π+=t y 的图像可知 ).2
2(2)4sin(21πππ≤≤-≤+≤-t t 所以 .21≤≤-y 即原函数的值域为].2,1[-
评注：利用三角代换求函数的值域，要设法将其变为()k mx A y ++=?sin
),,,()cos(均为常数或k m A k mx A y ??++=的形式，然后借助正弦，余弦函数图像便可求出已知函数的值域.但应注意，换元前后自变量容许值的范围应呼应一致.
4.1.5 换元法在证明中的应用
对于不等量问题，使用合理的换元，可以创造条件使问题化繁为简.在证明某些不等式时，通过换元以后容易看出不等式中各个量之间的关系，从而容易产生联想，可以比较快的想到解题方法，或者把证明的过程简化.用换元法来证明不等式即是要按照式子的构造特性，选择恰当的变量代换，化繁为简，其本质便是转化.下面我将从用换元法证明不等式进行探究.
例10 设,,,+∈R c b a 求证).()()(c b a b a c a c b abc -+?-+?-+≥
分析；通过观察可发现，把c b a ,,中两两字母互换，不等式不变，由此可说明这是一个对称不等式，如若我们令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,则原不等式可化为：
.8)()()(xyz x z z y y x ≥+?+?+
证明：令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,则
).()(2c b a b a c z y a -++-+=+= 即).(2
1z y a += 同理可得
).(21),(21y x c z x b +=+= 时，有所以当因为0,,,<∈+xyz R c b a
.8)()()(xyz x z z y y x ≥+?+?+
+∈>R z y x xyz ,,0时，有当（否则，z y x ,,中必有两个不为正值，不设
矛盾这与则0,0c ,0,0>≤≤≤c y x ）
，因此 .02,02,02y >≥+>≥+>≥+xz x z yz z y xy x
.8)()()(xyz x z z y y x ≥+?+?+
综上，恒有
.8)()()(xyz x z z y y x ≥+?+?+
把z y x ,,代入上式得
).()()(c b a b a c a c b abc -+?-+?-+≥
评注：该题是对称不等式，通常考虑用换元来证明，通过把不等式的构造简化使不等式容易证明.利用代换法解决不等式问题，可以起到事半功倍的效果，大大的提高了解题的速率，降低了题目的难度，但如何选取合理的代换的方法，还有待与探讨和沉思，
进一步研究的方向是寻求合理的代换方式.
4.2换元法在微积分中的应用
微分，积分是高等数学的一个重要组成部分，其计算也是一个难点，换元积分法是把原积分变量通过代换化为另一种积分变量，从而把被积函数化为积分公式表中的形式来进行积分.它是先通过)(u x ?=的关系，然后在利用
??=)()]([)(u d u f dx x f ??进行积分的.从右向左应用此式，实际上是利用微分形式的不变性来求积分的方法，属第一类换元法.从左向右应用此式，是以)(u x ?= 代入，作为对新变量u 的积分，属第二类换元法.
4.2.1 换元法在微分中的应用
微分的定义：若函数)(x f y =在0x 的改变量y ?与自变量x 的改变量x ?有下列关系
).(0x x A y ?+?=? (1) 其中A 是与x ?无关的常数，称函数)(x f 在0x 可微，x A ?称为函数()x f 在0x 的微分，记为:
x A dy ?= 或.))((0x A x f d ?=
x A ?也称为（1）式的线性主要部分.“线性”是因为x A ?是x ?的一次函数，“主要”是因为（1）式的右端x A ?起主要作用，)(0x ?比x ?是高阶无穷小.
例11 求)1ln(2x x y ++=的微分.
分析：依据x
nx 1)(='，我们可将21x x ++看作一个团体，再来求微分 解：设 t x x =++21 ， 则 .ln t y = 即而,,1)(ln dx t dt dt t
t d dy '===
.1)11(111)11()2)1(211(2222212x dx dy dx x x x x dt t dy dx x
x dx x x dt +=++?++==++=?++=-
评注：通过换元，将函数转化为常见的形式，再利用微分的运算法则和公式求出原
函数的微分.
4.2.2 换元法在积分中的应用
积分学是高等数学中一门重要的知识，它的计算显得尤为重要，换元积分法是积分计算中行之有效的重要方法，用第一类换元法，第二类换元积分法都是通过变量代换把被积函数化为积分公示表中的形式进行积分.下面我将从不等积分和定积分两方面进行说明.
1. 不定积分的计算
定义：函数)(x f 在区间I 的所有的原函数)()(R c c x F ∈?+称为函数)(x f 的不定积分，表为
.))()((,)()(?='+=x f x F c x F dx x f
其中被积函数是)(x f ，dx x f )(是被积表达式，c 是积分常数.求已知函数的不定积分运算，称为积分运算.
(1)第一换元积分法
定理1:若函数)(x u ?=在],[b a 可导，且β?α≤≤)(x ，],[b a u ∈?有)()(u f u F ='，则函数)()]([u x f ??'存在原函数))((x F ? 即
.)]([)()]([?+='c x F dx x x f ??? (1)
证明：由复合函数的求导法则，有
{}).()]([)()()()()]([x x f x u f x u F x F ?????'='=''='
第一换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分，
设u x =)(?，则化为求不定积分.)(?du u f
若)(u f 存在原函数)(u F ，则
.)()(?+=c u F du u f
最后再将u x =)(?代入上式等号的左、右两边，就能得到所求的不定积分
.)]([)()]([?+='c x F dx x x f ???
因为)()(x d dx x ??='，由此第一换元积分法可表为
初三数学换元法专练
利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程015)1 (2)1(2=----x x x x . 解：设 y x x =-1 ，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y . 当3-=y 时，31 -=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45 =x . 经检验，4 5 ,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 1)1 (3)1(22 2 =+-+ x x x x . 解：原方程配方，得 05)1 (3)1(22=-+-+x x x x . 设,1y x x =+则05322 =--y y . 解得 25 ,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012 =++x x . 因为0311412 <-=??-=?， 所以方程012 =++x x 无实数根. 当25=y 时，,2 51=+x x 即02522 =+-x x . 解得 21 ,221==x x . 经检验，2 1 ,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程 031 ) 1(21122=-+++++x x x x . 解：设 y x x =++1 12，则原方程可化为032 =-+y y .
去分母，整理，得0232 =+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时， 11 1 2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x . 当2=y 时， 21 1 2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x . 经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元 例4 解方程12 22 242 2 =+-+ -x x x x . 解：原方程可变形为052 22 )22(22 2 =-+-+ +-x x x x . 设y x x =+-222 ，则原方程可化为052 2=-+ y y . 去分母，整理，得02522 =+-y y . 解得 2 1,221= =y y . 当2=y 时，2222 =+-x x ，即022 =-x x . 解得 2 1,021==x x . 当21= y 时，2 1222 =+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2 <-=??--=?， 所以方程03242 =+-x x 无实数根. 经检验，2 1 ,021= =x x 是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
浅谈新课改下的高中数学课堂教学
浅谈新课改下的高中数学课堂教学 发表时间：2012-10-19T09:59:17.937Z 来源：《少年智力开发报（数学专页）》2012-2013学年4期作者：郭青明[导读] 《新课程标准》指出:数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。罗山高中郭青明《新课程标准》指出:数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂学习是学生获得知识与技能的主要途径,因此,教学质量的好坏,主要取决于课堂教学质量的好坏。怎样才能较好地提高中学数学课堂教学质量?笔者根据多年的高中教学经验以及这两年新课改的体会认为:必须 激起学生的学习兴趣,优化课堂结构,改进教学方法,重视培养和提高数学思维。 一、创设多彩的教学情境,激发学生的学习兴趣 新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活现象,自主地解决生活中的实际问题。如何达到这个目标?心理学家认为,兴趣是人们力求认识某种事物或爱好某种活动的倾向,兴趣的功效之一就是能对正在进行的活动起推动作用,学生的学习兴趣和自觉性是构成学习动机的重要成分。所以在教学中我们要以学生已有的知识和生活经验作为数学教学的资源,设计学生感兴趣的丰富多彩的教学情境,使学生感受到数学并不是枯燥无味且没多大用处的,而是与生活的联系紧密。为此,可以与学生多交流,了解他们喜欢什么,对什么感兴趣。通过学生所了解、熟悉的社会实际问题(如环境问题、治理垃圾问题、旅游问题等),为学生创设生动活泼的探究知识的情境,从而充分调动学生学习数学知识的积极性,激发学生的学习热情。例如在讲循环结构时引进电脑病毒事件“熊猫病毒”,一开始就“引人入胜”,产生好奇心,并由此产生求知欲望与热情,对理解内容起到了良好的作用。 及时地进行表扬与鼓励,是提高学习兴趣的重要方法。课堂教学中,要对同学们的热情态度和取得的成绩给予正确的评价和适当的鼓励。如在讲完一个概念后,让学生复述,并回答概念的内涵和外延;讲完一个例题后,让学生归纳其解法,运用了哪些数学思想和方法。对于基础差的学生,可以对他们多提一些基础问题,让他们有较多的锻炼机会。同时,教师要鼓励学生大胆提问,耐心细致地回答学生提出的问题,并给予及时的肯定和表扬,增强学生提问的勇气和信心。当学生的作业做得很好时,当学生的解题方法新颖时,当学生的成绩有进步时,当学生表现出刻苦钻研精神时,都要给予适度的表扬,以增强学习信心,达到表扬一个人,激励一大片的目的。 二、优化课堂结构,提高课堂时间的利用率 数学课堂教学一般有复习、引入、传授、反馈、深化、小结、作业布置等过程,如何恰当地把各部分进行搭配与排列,设计合理的课堂教学层次,充分利用课堂时间,是上好一节数学课的最重要的因素。 设计课堂层次时,必须重视认知过程的完整性,要回归认识的最初,也就是要遵循人们认识事物的规律。由于人们认识事物的过程是一个渐进的过程,因此,要努力做到使教学层次的展开符合学生的认知规律,使教师的教与学生的学两方面的活动协调和谐。在组织课堂教学时,当同学初步获取教师所传授的知识后,应安排动脑动手独立思考与练习,教师及时捕捉反馈信息,并有意识地让它们产生“撞击”与“交流”,这样,同学们对某一概念的理解,对某一例题的推演,就会有一个由感性认识到理性认识,并由认识到实践的过程,从而对知识的领会加深,能力也得到发展。 设计课堂教学层次还必须注意紧扣教学目的与要求,充分熟悉教材,理解教材的重点、难点、基本要求与能力要求,从多方面围绕教学目的来组织课堂教学。严格控制教学内容,不增加难度,不降低要求,力求把教学目标落实到课堂教学的每一个环节上。当课堂容量较大时,要保证讲清重点,解决难点,其他的可以指明思路,找出关键,有的甚至可以点而不讲,但要指导学生自学完成;当课堂容量不大时,可以安排学生分析评论,并进一些深化练习,进行比较、提高。这样,课堂结构紧凑,时间得到充分利用,有利于课堂教学目标的实现。 三、运用恰当的教学方法,学生掌握知识,形成技巧的一种手段,要提高课堂教学效果,必须有良好的教学方法,深入浅出,使学生易于吸收。具体一堂课,到底选用哪种教学方法,必须根据教学目的、教学内容和学生年龄特点考虑。一般而言,每节数学课都要求在掌握知识的同时形成能力,因此,通常所采用的都是讲授与练习相配合的方法。有些课题要数形结合求解,此时可联系图形,用谈话式“依形探数”或“用数定形”,以使问题直观易懂,学生吸收自然好。对于一些综合题,可结合分析,采用点拨讲授法,要挖尽条件,点其窍门,减缓坡度,以提高学生的分析解题能力,也便于学生吸收。 需要指出的是,设置问题时要尽量具体,环环相扣,而且要多范围,最后也要有“从中你有什么收获“这样的总结性问题,切忌蜻蜓点水,不深不透。 教学方法上,要求教师必须在“讲”上下工夫,狠抓“练习”这一环节,注重启发式、探索式,讲授时做到深入浅出,语言规范简洁,练习时做到难易适中,适时启发反馈,力求使同学在认识与实践中逐步加深对知识的理解,并形成技能技巧,以达到吸收消化的目的。 总之,课堂教学是教师与学生的双方活动。要提高中学数学课堂教学质量,必须树立教师是主导、学生是主体的辩证观点,形成具有激情的学习气氛,使学生从“要我学“变为”我要学“,变被动为主动,变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果。
初中数学因式分解中的换元法学法指导
初中数学因式分解中的换元法学法指导 徐卫东 刘建英 因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。 一、整体换元 例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+ 解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ). 1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+= 例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++ 解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-= 设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α 同理),x )(1x (A β-+α-=β- 所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-= 二、局部换元 例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+ 解：设,A x 5x 2=+ 原式14)8A )(5A (-+-= ). 9x 5x )(6x )(1x () 9x 5x )(6x 5x () 9A )(6A (54 A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+= 例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++ 解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++= 三、局部分解后，重组再换元 例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22---- 解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+?+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
高中数学解题基本方法 换元法
高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]；
数学解题方法换元法详解
二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0） 时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求 1S m a x ＋1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==???? ?cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ；
浅谈中学数学学法指导
浅谈中学数学学法指导 数学学习方法指导，简称数学学法指导，是“学会学习”的一个重要组成部分。目前，数学学法指导问题是数学教学理论研究和实践中的一个重要课题。因此，笔者想就此问题从三个方面做些探讨，以抛砖引玉。 一、数学学法指导的意义 1、数学教学方法改革的需要 长期以来，数学教学改革偏重于对教的研究，但是对于学生是如何学的，学的活动是如何安排的，往往较少问津。现代教学理论认为，教学方法包括教的方法和学的方法，正如前苏联教学论专家巴班斯基指出的那样：“教学方法是由学习方式和教学方式运用的协调一致的效果决定的。”即教学方法是受教与学相互依存的教学规律所制约的。 当前，教学方法改革中的一个新的发展趋向，就是教法改革与学法改革相结合，以研究学生科学的学习方法作为创建现代化教学方法的前提，寓学法于教法之中，把学法研究的着眼点放在纵向的教法改革与横向的学法改革的交汇处。从这个意义上讲，学法指导应该是教学方法改革的一个重要方面。 2、培养学生学习能力的需要 埃德加富尔在《学会生存》一书中指出：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”“教会学生学习”已成为当今世界流行的口号。前苏联教育家赞可夫在他的教学经验新体系中把“使学生理解学习过程”作为五大原则之一。也就是说,学生不能只掌握学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，要学生对如何学、如何巩固进行自我检查、自我校正、自我评价。学法指导的目的，就是最大限度地调动学生学习的主动性和积极性，激发学生的思维，帮助学生掌握学习方法，培养学生学习能力，为学生发挥自己的聪明才智提供和创造必要的条件。 3、更好地体现以学生为主体的需 我国著名教育家陶行知先生早就指出：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”美国心理学家罗斯也说过：“每个教师应当忘记他是一个教师，而应具有一个学习促进者的态度和技巧。”专家学者精辟地阐述了学生在整个教学过程中始终是认识的主体和发展的主体的思想，强调了学法指导中以学生为主体的重要性。教师在教学过程中的作用，只是为学生的认识的发展提供种种有利的条件，即帮助、指导学生学习，培养学生自学的能力和习惯。 二、数学学法指导的内容
高中数学解题方法-换元法
高中数学解题方法 2013年高考数学二轮复习 换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设 α2sin =x ?? ????∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量y x ,适合条件 )0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。 均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2 ,2等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 题型一：代数换元 例1：（1）方程1313 ++-x x ＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________.
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
浅谈高中数学教学方法
浅谈高中数学教学方法 在高中数学教学工作中，教师应合理选择教学方式，根据学生的学习特点与年龄特点，制定完善的教学方案，明确具体的教学要求，建立多元化的教育机制，创新传统的教学模式，培养学生的数学知识应用能力，增强管理工作效果，为其后续发展奠定基础。 标签：高中数学教学方式创新措施 高中数学教师在教学期间，需重点关注学生的学习兴趣，培养学生参与意识，使得学生积极参与到课堂教学中，形成正确的认知，养成良好的自主学习与探究习惯，建立多元化的教学管理机制，达到预期的教学目的。 一、激发学生学习兴趣，培养参与意识 在高中数学教学工作中，教师应激发学生的学习兴趣，培养学生的学习能力，指导学生在独立思考的过程中，将指导工作作为主要内容，除了要提升学生学习积极性之外，还要增强学生的自信心，满足当前的教学要求。教师在激发学生学习兴趣的过程中，还要指导学生积极参与到课堂教学活动中，明确具体的教学要求与原则，将教学内容与学生实际生活联系在一起，营造良好的氛围，为学生提供充足的自主学习时间，培养学生独立学生思维能力，增强教学管理力度。首先，需将学生的学习与实际生活联系在一起，营造良好的课堂教学氛围，为学生提供充足的时间，并利用合理方式提升学生的学习水平。例如：教师在讲解均值不等式知识的时候，可以为学生提供商店酬宾销售案例，在明确折扣方案之后，指导学生根据均值不等式的知识计算折扣内容，对具体的知识进行计算与设计，保证在实际发展的过程中，建立多元化的控制体系，明确高中数学教学难点，利用合理的方式解决问题。其次，教師还要为学生创建良好的思维环境，在思维教学模式中，为其创建情境，使得学生产生身临其境的感觉，在独立思考的情况下，更好的完成学习任务。在创建教学情境的情况下，针对学生学习兴趣进行分析，创建多元化的教学环境，指导学生更好的对知识进行观察与了解，增强工作效果。最后，高中数学教师在教学工作中，需明确学生的学习兴趣要求，给予学生足够的关爱与关心，尤其是一些学习能力较差的学生，教师应与其进行情感方面的交流，不仅可以提升学生的学习自信心，还能增强高中数学的教学效果。另外，在高中数学教学工作中，教师应制定现代化与多元化的控制模式，加大管理力度，明确各方面管理工作要求与原则，创新教学形式，从而激发学生的学习兴趣，增强教学工作效果。 二、拓展教与学的资源 在信息时代发展的过程中，教师需将网络作为主要的资源实施教学活动，为学生提供丰富的学习资源，使得学生在学习教材知识的基础上，掌握课堂之外的学习内容。在建设网络学习机制的过程中，还要通过学校的工作要求，创建现代化的课堂教学管理机制，提升网络教学水平。具体措施为：
初中数学竞赛：换元法
初中数学竞赛：换元法 【内容提要】 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2 +bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+2 1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 【例题】 例1. 解方程1112---++x x x =x.
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即
高中数学教学方法浅谈
高中数学教学方法浅谈 ：传统教学中教师是课堂的中心，基本采用满堂灌的方法，不管学生听不听得懂，反正讲了，学生就该仔细听，就应该会，课上作笔记，课后大量作业做巩固。但是，我们发现，事实上有些学生根本听不懂，不知教师讲之所以然，课下只能抄作业，结果学生疲劳厌学，教师疲劳厌教。长此以往，学生一旦习惯了这种被动的学习，学习的主动性就会渐渐丧失。我们可以清楚地看出，在这样的教学过程中，教师以"讲"为中心的教学方法早已经过时的，从学生的潜能开发、思维拓展、身心发展、自主健全的角度来看，是非常不利的。 ：高中数学；教学方法 对教师来说，在数学课教学中要灵活运用不同的教学方法法，最大程度地开发学生的潜能，培养学生的创造性思维，这是最为重要的。学生是学习的主人，我们要放手让学生自己去发现问题、自己探究解决问题、自己推导公式、自己归纳结论、自己摸索前进。当然，这里的放手绝不是放任自流，否则，学生得到的将是一些肤浅的、支离破碎的不完善的知识。所以，我们在充分相信学生的能力、充分放手的同时，还要多在引导上下工夫，讲究"导"的艺术，教师"导"得好，学生的聪明才智才能得到充分的发挥，真正驾驭学习，成为学习的主人，才能为学生自主学习添活力。
如何在课堂教学中培养学生的自主创新素质是一堂数学课能真正成功的关键所在、核心所在。而数学教学的核心问题是培养学生发现问题并通过自己思考解决数学问题的能力、培养学生独立思考的能力,通过独立思考，独立解决问题，启迪和发展学生的思维。在实际生活中，也可以更多、更好地发现问题，从而提炼出相应的数学问题，这是学习的目的所在。发现问题的能力一旦培养为一种潜在的意识，可以解释为"探察问题的意识"、可以解释为"找到新东西"的能力，在教与学的过程中是培养创造力的基本途径。问题的发现与解决要体现数学的思想方法。在这一过程中学生的数学思维跟数学创造力可以真正得到体现，更可以显示出数学教学的真正魅力所在，数学教育的真正目的所在。 要完成知识的传播，同时要培养学生的思维能力，这一教学过程的关键是教师的教学设计，如何培养学生创造思维，如何成功教学一堂数学课。面对高中数学的教学，可从以下几个方面开展。 一、更新教育观念 在课堂教学结构上，教师要始终坚持以学生为主体，以教师为主导的教学原则，这样才能优化教学效果。 二、提高复习课解题教学的艺术性 在高中数学复习时，由于解题的量很大，就更要求教师将解题活动组织得生动活泼、情趣盎然，让学生领略到数学的优
高中数学解题基本方法——换元法
高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。
数学方法之换元法篇
数学方法之换元法篇 通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等. 一、整体换元 例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设 ?? t x x ?y x x t .21 cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ? t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.22 1 ,2max +== ??y ?t 时 二、三角换元 例2：求函数2 5x x y -+=的值域. 解析：令????x ],2 ,2[,sin 5π πθθ- ∈=
). 4 sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π θθθθθ+=+=+?=y 则 因为 2 2 π θπ ≤ ≤- ，所以 .4 34 4 π π θπ ≤ + ≤- 所以1)4 sin(22≤+≤- πθ，得 10 )4 sin(105≤+ ≤-π θ 所以函数的值域为[10 ,5?- ]. 三、平均数换元法 例3： 已知 正 数 .4 25 )1)(1(:,1,≥++=+y y x x ???y x y x?求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2 1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2 1）, 则 .4 11625 23) 1)(1()1)(1(22422θθθ-+ += ++=++xy y x y y x x 显然分子 的值大于等于1625 ， 分母的值大于0小于等于4 1，从而得证. 四、比值换元 例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3 2 21-= +z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最
浅谈高中数学兴趣教学方法
浅谈高中数学兴趣教学方法 摘要：高中生面临高考，承受着巨大的压力，许多学生对抽象性较强的数学学 科的学习没什么兴趣，而是为了高考的分数，是纯粹地为学而学，学生的学习主 要是被动的、没有兴趣的解题训练。托尔斯泰说过：“成功的教学需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”乌申斯基也说过：“没有兴趣的强制性学习，将会扼杀学 生追求真理的欲望。”兴趣是最好的老师，是学生学习的动力，只有让学生对学习产生兴趣，才能减轻高中生的心理负担，使学生带着愉悦的心态来参与学习，这 样的学习更能取得好的效果。在高中数学教学中进行兴趣教学是当前课堂教学的 重点。 关键词：高中数学兴趣教学联系实际设计悬念多媒体教学 一、多联系实际激发兴趣 数学以实践为源头，又以应用于实践为终结，所以教师在教学过程中以社会、科技、经济、生活等为背景，密切结合社会热点、国家改革、经济信息以及体现 数学巨大作用的典型事例，可使学生在数学学习中找到自己的兴趣点，充分认识 到学习数学知识的重要性。如在研究函数最值问题时教师可用下例进行教学：某 商场将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品 每个涨价1元其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为每个多少元？这种问题贴近学生的生活，融科学性、思想性、典型性、趣味性于一体，适合学 生的知识和能力水平，既能提高学生学习数学的兴趣，又能促进他们形成科学解 题的思想方法。 二、用悬念来导入兴趣 亚里士多德说过，思维从问题、惊讶开始。如果在开课之始，就抓住学生的 注意力，对整堂课中学生注意力的集中将大有裨益。新课的引入途径很多，兴趣 导入就是应用各种手段激发起学生对新知识的兴趣而引起学生的有意注意，它讲 究知识性、趣味性、启发性。一般不把问题讲透，有意设置悬念，刺激学生处于 一种欲知不能、欲罢不甘的状态，从而引入新课，使学生对新知识产生浓厚的兴趣。例如，一位教师在引入乘方中对数的计算一节内容时提出下面的问题：“将一张《宁夏日报》对折50次，大家猜猜大概有多厚呢？”有生答：“大概有几尺厚吧。”师答：“差远了，你们尽量往多的地方想。”生答：“能有几丈吗？”师答：“再大胆些。”有生答：“总不能有几百米吧？”师笑答道：“对折50次以后的这叠 纸放在地面上，另一头就能到达月球了，我们可以顺着爬上月球去见嫦娥和吴刚呢！”这时学生几乎没有一个相信这个结论。师答：“不相信，那就动手验证一下吧。”学生也憋不住了，个个紧张的进行对数计算，算错的同学自觉地找同学纠正。抽象的对数计算，经过这样的引入，学生的思维由潜伏状态变为积极状态。学生 兴趣盎然，不知不觉地进入了对数的计算这节内容，从而激起了学生的强烈求知欲，为本节知识的顺利获取奠定了良好的基础。 三、善于利用多媒体教学 随着我国经济的发展，现代化的教学手段也在不断地丰富。多媒体教学手段 在教学中也发挥着愈加重要的作用。多媒体教学不仅可以把抽象化的数学具体化，静态的数学问题动态化，以及将枯燥的数学问题变得趣味化。还可以提高学生在 数学学习中的思维能力。比如教师在教授高二数学中立体几何这一章节时，许多 学生特别是文科学生因为缺乏空间想象力，教师在讲解这一章节的时候可以利用 多媒体制作一些常用的几何体图片或者短片。让学生仔细观察图片上的几何体中
初中数学十大思想方法-换元法
初中数学思想与方法——换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y － 21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.