由图形运动产生的函数关系(难题挑战

【例1】(2009辽宁锦州改编)

如图直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点B与点G重合时停止移动。设梯形与正方形重叠部分的面积为S。

⑴求正方形的边长；

⑵设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；

⑶当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由。

【例2】(2009上海黄浦)

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFH。

⑴试求△ABC的面积；

⑵当FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

⑶设AD＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑷当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。

【例3】(2008山东日照)

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC 于点N。以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM＝x。

⑴用含x的代数式表示△MNP的面积S；

⑵当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

⑶在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x

为何值时，y的值最大，最大值是多少？

测试题

1．(2009甘肃兰州)如图①，正方形ABC D 中，点A 、B 的坐标分别为()010，，()84，，点C 在第一象限。

动点P 在正方形ABC D 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴

正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒。

⑴当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

⑵求正方形边长及顶点C 的坐标；

⑶在⑴中当t 为何值时，OPQ △的面积最大，并求此时P 点的坐标；

⑷如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，O P 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由。

图①

图②

2．(2010怀柔二模)已知如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5。点P 从点C 出发沿CA 以每秒

1个单位的速度向点A 匀速运动；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，点P 、Q 同时出发，当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止。伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂

直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E 。设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)。 ⑴当t ＝2时，AP ＝，点Q 到AC 的距离是；

⑵在运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；(不必写出t 的取值范围)

⑶在点E 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

3．(2008中山)如图11，在梯形ABC D 中，AD BC ∥，2cm AB AD D C ===，4cm BC =，在等腰PQR

?中，120QPR ∠=?，底边6cm QR =，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等

腰PQR ?以1cm /秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABC D 与等腰PQR ?重合部分的面积记为S 平方厘米。 ⑴当4t =时，求S 的值；

⑵当410t ≤≤，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。

A B C(Q)D P

4．(2010宁德)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，30DCB =?∠。点E 、F 同

时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动。已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG 。设E 点移动距离为x (x ＞0)。

⑴△EFG 的边长是____(用含有x 的代数式表示)，当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；

⑶探求(2)中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值。

E G

B A