高一数学典型例题分析：对数函数

对数函数·例题解析

【例1】 (1)y =log (2)y =

1

1log (a 0a 1)(3)f(x)[01]y =f[log (3x)]1

2

a 13

求函数的定义域．

求函数＞，且≠的定义域．

已知函数的定义域是，，求函数－的定义

32

21

x x x a ---+()

域．

解

(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log ()()1232210322102103221132210121

210122312x x x x x x x x x x x x x x x -----??????

????----????????--?????

???

??

1

21122312231＜≤＜或＞≠＜≤x x x x x ????

?

?

?

?

??∴所求定义域为＜≤ {x|

2

3

x 1} 解 (2)∵1－log a (x ＋a)＞0，∴log a (x ＋a)＜1． 当a ＞1时，0＜x ＋a ＜a ，∴函数的定义域为(－a ，0)． 当0＜a ＜1时，x ＋a ＞a ，∴函数的定义域为(0，＋∞)．

解 (3)f(x)[01]y =f[log (3x)]13

∵的定义域为，，∴函数－有意义，

必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤

．故函数－的定义域为，．0log (3x)1log log (3x)log 1313

3x 12x y =f[log (3x)][2]13

13

13

1

3

13

1838

3 【例2】 y =10x

已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110

+x 域和值域．

解 y =10y 1y =10(1y)10=y 10=

y

1y

00y 1x x

x x 已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．

R 110110++-?x x

由得，即反函数．10=

y 1y x =lg y 1y f (x)=lg x

1x

x 1----反函数的定义域为(0，1)，值域为y ∈R ． 【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间． (1)y=lg(－x)，(2)y=log 2|x ＋1|(3)y =|log (x 1)|(4)y log (1x)12

2－，＝－．

解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx 的图像关于y 轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．

解 (2)先作出函数y=log 2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y ＝log 2|x ＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．

解 (3)y =log x 1y =log (x 1)

12

12

把的图像向右平移个单位得到－

的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为

对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－x y =|log (x 1)|28512

所示．

单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．

解 (4)∵函数y=log 2(－x)的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2(－x)的图像，再把y ＝log 2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log 2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．

单调递减区间是(－∞，1)．

【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=log a x ②y=log b x ③y=log c x ④y=log d x 的图像，那么a 、b 、c 、d 的大小关系是

[ ]

A ．d ＞c ＞b ＞a

B ．a ＞b ＞c ＞d

C ．b ＞a ＞d ＞c

D ．b ＞c ＞a ＞d

解 选C ，根据同类函数图像的比较，任取一个x ＞1的值，易得b ＞a ＞1＞d ＞c ．故选C ． 【例5】 已知log a 3＞log b 3，试确定a 和b 的大小关系．

解法一 令y 1=log a x ，y 2=log b x ，∵log a x ＞log b 3，即取x ＝3时，y 1＞y 2，所以它们的图像，可能有如下三种情况： (1)当log a 3＞log b 3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b ＞a ＞1． (2)当0＞log a 3＞log b 3时，由图像2．8－9，得0＜a ＜b ＜1． (3)当log a 3＞0＞log b 3时，由图像2．8－10，得a ＞1＞b ＞0．

解法二 由换底公式，化成同底的对数．

当＞＞时，得＞＞，∴＞＞，log 3log 300log b log a 0a b 3311

33log log a b

∵函数y=log 3x 为增函数，∴b ＞a ＞1．

当＜＜时，得

＜＜，∴＞＞，log 3log 3000log b log a b a 3311

33log log b a

∵函数y=log 3x 为增函数，∴0＜a ＜b ．

当＞＞时，得

＞＞∴＞＞，log 30log 30 log a 0log b a b 3311

33log log a b

即a ＞1＞b ＞0．

【例6】 a b a 1log log log a log b 2

a b b a 若＞＞＞，则、、、的大小a b b

a

顺序是：________．

解 a b a 1011log a b 0log b

a

00log a 1log b 1a b a 1a 1log log a 1log log log a log b 2

a b b a 2

b b a b b a ∵＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞

，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．

a b b a b a b a

a b b

a

说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．

【例7】 设0＜x ＜1，a ＞1，且a ≠1，试比较|log a (1－a)|与|log a (1＋x)|的大小． 解法一 求差比大小． |log a (1－x)|－|log a (1＋x)|

=|

lg(1x)lga |--+=--+|lg()lg ||lg |

(|lg()||lg()|1111x a

a x x

=

1

|lga|

(lg(1x)lg(1x) (01x 111x)=lg(1x )0

2－－－＋∵＜－＜＜＋＋－·－＞1|lg |a

∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)| 解法二 求商比较大小

|log ()||log ()||log ()

log ()

|a a a a x x x x 1111-+=-+

=|log (1+x )(1－x)|=－log 1+x (1－x) ∵(1＋x ＞1，而0＜1－x ＜1)

∴原式＞＋=log =log log (1x)=1(1+x)

(1+x)(1+x)11112

-+-x x

x ∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|

【例8】 f(x)=log (x )(a 0a 1)a 已知函数＋＞，且≠，判断其12+x

奇偶性．

解法一 已知函数的定义域为R ，则－x ∈R

f(x)=log (1+x x)=log a 2a

－－()()

111222+-++++x x x x x x

=log =log =log a a

a 111112222

2+-++++-++=-x x x x x x

x x f x ()()

∴f(x)是奇函数．

解法二 已知函数的定义域为R

由＋－＋＋－f(x)f(x)=log (1+x x)log(1+x x)=log 1+x 1+x a 22a 2

2

[()()]

+-x x

=log a 1=0

∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．

【例9】 (1)f(x)=log (01)2已知函数，那么它在，上是增函数x

x

1-

还是减函数？并证明．

(2)讨论函数y=log a (a x －1)的单调性其中a ＞0，且a ≠1． (1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数． 设任取两个值x 1，x 2∈(0，1)，且x 1＜x 2．

∵－－＜f(x )f(x )=log log =log =log x log x x =0

122

2

22

2222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 112

2

1

12221

2211121212

12

111111----=------log ()()

(∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 1x 2＜x 2－x 1x 2)． ∴f(x 1)＜f(x 2)

故f(x)在(0，1)上是增函数．

方法二 u =x 1x 令-=--

-11

1

x ∵－

在，上是增函数，又∵＞，在，u =1(01)u 0y =log u (021

1

x - ＋∞上是增函数，∴＝在，上是增函数．)f(x)log (01)2x

x

1-

(2)解 由对数函数性质，知a x －1＞0，即a x ＞1，于是，当0＜a ＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a ＞1时，定义域为(0，＋∞)．

当0＜a ＜1时，u ＝a x －1在(－∞，0)上是减函数，而y=log a u 也是减函数，∴y=log a (a x －1)在(－∞，0)上是增函数． 当a ＞1时，u ＝a x －1在(0，＋∞)上是增函数，而y=log a u 也是增函数，∴y ＝log a (a x －1)在(0，＋∞)上是增函数． 综上所述，函数y=log a (a x －1)在其定义域上是增函数．

【例10】 (1)设0＜a ＜1，实数x 、y 满足log a x ＋3log x a －log x y=3，

如果有最大值

，求这时与的值．y a x 2

4

(2)f(x)=log x 3log x 212

212

讨论函数－－－的单调性及值域．

解 (1)log x =3log y =log x a a a 2由已知，得＋

，∴－3

log log log a a a x y x

-

3log x 3=(log x )a a 2＋－＋．323

4

∵＜＜，∴关于为减函数．即有最大值

时，0a 1log y y y log y a a 2

4

有最小值log 24

a

∴当时，，log x =3log =3

4

a a 224

∴，，得，．a x =a a =14x =1

8

3

4

32=24

解R (2)t =log x x 0t t =log x (0)12

12

设，则＞，∈，且是，＋∞上的

减函数．

f(t)=t 3t 2(][)2－－－是－∞，－上的增函数，是－，＋∞上的323

2

减函数．－时，t =x =223

2

∴函数－－－在，上是增函数，在，

f(x)=log x 3log x 2(022]12

212

[22 ＋∞)上是减函数．

又∵－＋＋，∴值域是－∞，．f(x)=(t )(]32141

4

2