概率论与数理统计大作业

《概率论与数理统计》大作业

题目：对图书馆晚间人员离馆时间的调查研究

学院：理学院

姓名：顾倍康

柳铄

刘振鹏

学号：1604010102

1604010210

1604010614

专业班级：理科实验班1603

任课教师：王清河

2016年5月12日

关键词

人员流量、相关关系、回归分析、与时间对应关系、计算机辅助分析。

摘要

图书馆是大学内重要的功能性场所，很多人都选择在这里做工作，每天进、出馆人员流量巨大。这对图书馆的管理工作构成了挑战，能否合理安排工作，使得工作时间内所有人都能方便的进出馆成为一个随之产生的问题，而解决离馆人员流量和时间的相关关系则是解决该问题的关键。

一、问题背景

中国石油大学图书馆始建于

1953年，当时是北京石油学院图书

馆，在清华大学石油工程系图书资

料室的基础上建立。迁校山东后，

先后于1980年和1997年两次在东营

建馆，2004年在青岛建成本馆，馆

舍总面积5万平方米，其中本馆2.9

万平方米。馆藏纸质图书文献244

万余册，中外文纸质期刊2000种，

电子文献资源总量35TB（截至2011

年），年进纸质图书9万册。

作为一个重要的功能性公共场所，很多人都有且有不尽相同的入馆需求，因此就会产生非常大的，且随机性很强的进出馆人数。在一天中的其他时间，馆内人员都可以自行决定是否需要离馆，而馆内人员的时间安排不尽相同，因此人员流量都不是很大，一般来说不会出现大量人流。而闭馆则要求馆内人员必须在闭馆时间之前尽快离馆，这样很多人就都会具有离馆需求，离馆走向可能出现大量人流。因此我们研究的重点就基于此。

二、问题调查

考虑到每个人都必须离馆，且离馆时间均是自己决定的，基本上不会互相影响，因此我们推测晚间同学们离馆的时间分布与泊松分布类似。因此我们将从晚间九点到十点三十分成若干个小区间，而且我们安排了三位同学同时进行统计，将每次结果取平均值，并且连续统计十五天（含周末）。但我们在先前的两天发现了这样的情况：

可以看出在21：40~22：05间出现了趋势的变化，出现了峰值，且远远超过之前所取得的极值。绘制饼图结果更加明显：

因此我们决定将研究的重点放在人员流量发生激增的21：50~22：00这一时段。并划定每分钟为一个计数点，经过剩余几天的调查得到了以下的数据：

如果取得平均数，我们发现趋势会更加明显，可以得图：

从图像上可以看出这个分布确实和泊松分布很相像;但仅仅根据视觉上的相像是绝不能就此下结论说这就是泊松分布，这是非常不严谨的做法。但我们不妨利用这个模型进行一次拟合：

（将上面图例的50、51简化为0、1）

很明显，这个模型是失败的：除了2~4部分比较接近，其他部分的残差是非常大的，甚至在5以后的部分残差居然变号了，显然需要进行调整。

我们可以发现，2~4部分拟合的效果还是很不错的，表明这个模型可能具有范围内的适用

性。之前我们知道对于光子轨道的能级问题，也不是一个模型就能做到普适性极强。那么

我们不妨利用分段函数对数据进行进一步研究，对于不同的区段利用不同的模型去拟合。

这并不是说数据本身存在问题，因为这些数据毕竟是实地考察的结果，应该具有一定的参

考意义。基于这种情况，我们决定利用尽可能少的几个模型来得出一个尽可能普适的结

果：

分析元数据图像可知，前半部分图线对应的函数的二次导数是单调递减的，而后半部分则相反，那么我们可以利用两个λ不同的泊松分布模型来完成，利用残差平方和最小的原则来控制是否采用的问题：

经计算，当λ=4.90时，e2 =62.19328663取得最小值（在0处的孤立点暂不考虑），作为0~4部分的模型；如图：

同理，当λ=4.46时，

e2 = 6.540435取得最小

值，作为6~10部分的模

型；如图：

发现5处一直都残差较

大，故以5~10为研究区

间独立建模。进行简单

拟合后出现以下情况：

很明显，这个模型显

然没有先前的好。但这个模型在5附近是很接近原数据的，因此不妨只采用它在4~6的拟合情况。当λ=1.75时，e2 = 3.874265714取得最小值，作为4~6部分的模型；如图：

综合以上的模型，可以

得到以下的综合效果

图：（实心部分是原数

据）

滤去不采用的部分可以

看出：

这个分段拟合的模型还是比较成功的。

因此初步得到一个回归函数：

F(X)= 428.8667*4.9x /(x!*e4.9 ) 0≤x<4;

290*1.75x /(x!*e1.75 ) 4≤x<6;

428.8667*4.46x /(x!*e 4.46 ) 6≤x ≤10;

从均值进行一次验证。基本上可以说，样本方差2S 是2σ的无偏估计，所以可以用样本函

数求μ的区间估计。

我们知道样本函数T~t （n-1）分布（为方便计算，此处n 为100）。对于给定的α=0.05，那么置信区间为（n S -X 2÷λ，n S X 2÷+λ）。查表得λ=1.984，可以算出各个区

段μ的置信区间：0≤x<4（43.32，43.74），4≤x<6（69.09144，71.23144），6≤x ≤10（31.60565，31.92565）。所以我们有95%的把握说这个组合模型基本上是成功的。

为了验证这一模型的真正可靠性，决定进行一次调查验证。选取非常正常的一个工作日进行预报值检验，可得知结果如下：

如果剔除某些离群值（1），求得残差平方和为31.38852466，考虑到随机性事件发生的情况，这个模型运行还是比较成功的。

另外，这里补充说明一下λ的算法：（以0~4区段为例）

在计算机上编写程序，利用二分法，计算λ取中点时模型的残差平方和和λ取两个端点时的该值进行比较，取较小的两个取值点作为新的端点，在新区间中再重复以上的过程，为避免陷入死循环，设定当区间长小于0.01时停止取中点，取两端点中该值较小的点的对应λ作为结果使用。核心部分的代码如下：（输出的p 即为所求λ）

#include

#include

int f1(int x)

{int i=0,j=1;

for(i=0;i<=x;i++)

j*=i;

return j;

}//**阶乘算法**//

double f2(double x,int i)

{double j=1.0;int k;

for(k=0;k<=i;k++)

j*=x;

return j;

}//**乘方算法**//

main()

{double a[5],lp=0.0, rp=0.0;

int i,j,k,e,r,l,m,p;

a[0]= 18.13333333;a[1]=21.2;a[2]=39;a[3]=61.06666667;a[4]=78;

l=0;r=4;m=(l+r)/2;

while(abs(l-r)>0.01)

{for(i=0;i<5;i++)

lp+= f2(428.8667*f2(l,i)/(f1(i)*exp(l))-a[i],2);

for(i=0;i<5;i++)

rp+= f2(428.8667*f2(r,i)/(f1(i)*exp(r))-a[i],2);//**计算残差平方和**// if(rp>lp)//**二分法比较**//

{

r=m;

m=(l+r)/2;

p=l;

}

else

{

l=m;

m=(l+r)/2;

p=r;

}

lp=0.0, rp=0.0;

}

for(i=0;i<5;i++)

lp+= f2(428.8667*f2(l,i)/(f1(i)*exp(l))-a[i],2);

for(i=0;i<5;i++)

rp+= f2(428.8667*f2(r,i)/(f1(i)*exp(r))-a[i],2);

if(rp>lp)

{

p=l;

}

else

{

p=r;

}

printf(“%lf”,p);

}

三、问题总结

各个图表的峰值时间之晚足以体现出石大学子学习的忙碌、刻苦。然而，猛增的人流量存在安全隐患。建议同学们合理安排学习时间，尽量不要集中在临近闭馆时离开；建议图书馆将各书库闭馆时间分离，从十点到十点半自下而上逐步关闭各层书库；此外，建议学校修缮南教、南堂等教室的桌椅，安装空调，吸引一部分自习的同学，加快小图书馆修建进程，以减轻图书馆的压力；对于在临近闭馆前不可避免的流量上升，馆方应做好预案，如有拥堵及时疏导，防止发生人员滞留甚至更加严重的安全问题。

在本次数据调查与分析的过程中，我组采取边收集数据边统计分析的方式，深刻体会到样本长度的增加会使模型逐渐趋近契合于总体的现象；及时针对现实情况作出了相应调整，避免了产生大量无研究价值数据的问题。试想如果未对调查方向及时调整，模型建立将难以进行，后续的工作将无法开展，直至研究失败；求得的回归函数亦表明，现实中数据的规律是可能分段体现的。能否灵活的调整模型构想，将决定模型是否能最佳性的契合原始数据，甚至决定该模型是否有意义，是否普遍适用。

参考文献

王清河，随机数据处理方法，东营：中国石油大学出版社，2011.

马知恩，工科数学分析基础，北京：高等教育出版社，2006.

何书元，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2006.