2014年全国数学建模a题
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。
问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出
。
所求速度33
??
(=1.692210m/s,=1.613910m/s)
v v
远
近
采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM)
E。
问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。
问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。
关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省
一、问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
对于误差因数分析,通过计算着陆轨道与策略的理论值与实际值之间的变化量,并求其平均值,得出平均值与实际值的比值,其中比值越大说明其误差越大,越不可行。
二、模型假设
1.月球可看做一质量均匀、形状标准的球体；
2.反向推力大小为常定值；
3.飞行器为一质点，不考虑飞行器的姿态对轨道的影响，也不考虑飞行器姿态；
4.忽略重力而只考虑空气阻力的作用；忽略地球曲率的影响，在在入轨道是直
线轨道；
5.不考虑地球等其他天体的影响；
三、符号说明
G------万有引力常量；
M------月球的质量；
F ------发动机的推力；
?------推力的方向角，即推力和切向速度的夹角；
r ------嫦娥三号卫星的极半径；
θ------极角；
r v ------径向速度； v θ
------切向速度；
m ------ 任意时刻嫦娥三号卫星的质量；
m ------发动机单位时间消耗的燃料质量；
m ------嫦娥三号在着陆轨道上的质量。
四、模型的分析、建立与求解
4.1问题一的建立与求解 4.1.1近月点，远月点的速度
近月点，远月点均在椭圆轨道上，建立以月心为原点，椭圆轨道长半轴为x 轴，短半轴为y 轴的平面直角坐标系。运用活力公式建立速度模型并求解数值。
活力公式，又叫轨道能量.这个公式是二体问题的一个积分。是反映了天体的位置、速度和轨道半长径之间的相互关系。
平面运动的面积定律: 二体问题中作用于“嫦娥三号”卫星上的力总是指向地心，结果是轨道是是始终保持在固定平面上。因为力总是与位置矢量相反，没有垂直于轨道平面上的加速度，所以卫星不可能脱离轨道平面。卫星加速度??
r 可由牛顿万有引力得出：
3GM
r ??
=-
r r (1)
作为这一事实的数学描述，式（1）两边叉乘位置矢量r ，则
3+r GM
??
?=-
r r r r （）=0 （2）
上面方程右边为0，因为一个矢量本身叉乘为0，方程左边可展开为
t
d
=+=d ??
??
?
?
?????r r r r r r r r （）
（3）
v ?
=r
因为??r r 对时间的导数等于0，因此?
?r r 本身必须为常数，也就是： =st con ?
?=r r h （4）
两个矢量叉乘所产生的矢量几何上垂直于这两个矢量。因此，位置矢量r 和速度矢量?
r 总是垂直于h ，换句话说，运行轨道在一个平面。矢量h 为单位质量的角动量或者说是特殊角动量，它和角动量l 关联，有=l mh ，其中m 是卫星质量。
给（1）式两边叉乘矢量h ，可以发现轨道的其他特性:
()
GM r ?
?
?=-r
h r (5)
关于开普勒运动的能量积分定律，它涉及卫星和地心距的关系。为此，将式(5)两边平方，得
22
2
2222
2+2(12cos )(6)=(2(12cos )(1))GM GM
r
GM e e GM e e ?
?=- =
-++ -+--r
h r v h v v （）（）（）（） 因为矢量h 和?
r 互相垂直，所以上式左边的值22
h v ,其中表示卫星速
度。代入半长轴的导数221(1)GM e a h -=,利用圆锥截面方程，得任意开普勒轨道(椭
圆曲线轨道),活力公式的表达式为
221=()()
v G M m r a +- (7)
在此，因为卫星的质量相对于月球的质量来说太小，我们计算时忽略卫星的质量，得到简化的活力公式表达式：
221
()
v GM r a =- (8) v ------表示两天体间的相对速度
r ------表示两天体间的相对距离
a ------表示半长轴(椭圆:0a >;抛物线:a =∞或10
a =;双曲线:a <∞)
G ------表示万有引力常数
M ,m ------表示两天体的质量
在matlab环境下，编程求解速度分别为
3
=1.692210
v?
近，
3
=1.613910
v?
远，速
度方向为轨道切线方向。
4.1.2 近月点，远月点的位置
（1）轨道根数:
轨道根数[1](或称轨道要素或轨道参数)是对选定的两个质点,在牛顿运动定律和平方反比定律的重力吸引下,确认特定轨道所必须要的参数。
1.轨道半长轴a:
既为平均轨道半径,但是不是长轴与短轴的算术平均数。
2.轨道偏心率e:
为椭圆扁平程度的一种量度,定义是椭圆两焦点间的距离与长轴长度的比值就是
c
e
a
=
。
3.轨道倾角i:
行星轨道面对黄道面的倾角或在升交点处从黄道面逆时针方向量到行星轨道的角度。
4.升交点黄道经度Ω:
行星轨道升交点的黄道经度。
5.近月点幅角ω:
从升交点沿行星运功轨道逆时针量到近日点的角度。
6.指定历元的平近点角0
M:
行星对应0
t时刻的平近点角
在使用以上的轨道根数,可找出天体按开普勒轨道(即二体问题中的轨道)运行位置,但在实际问题中,若天体所受的其他作用力不可忽略,便需加这些摄动(因素)项来修正其位置
（2）建立坐标系
建立月心赤道坐标系，它与月球自转轴和赤道方向对齐。原点是月心，z轴是指向北极，赤道平面组成了x—y参考平面。月球的自转和公转是一样的时间，所以就只能看见一面，所以x轴指向月球始终面对地球的那面中心点。如图所示：
图一
赤道坐标系中心点的位置可以通过三维直角坐标(,,)x y z 或者极坐标（,,αδγ）来表示。两种坐标转换如下：
cos cos cos sin sin x y r z δαδαδ ????
? ?== ? ? ? ?????r （9）
图二
在轨道根数这六个物理量里，a 和 e 确定了轨道形状，M 确定了沿轨道的
位置， ωi Ω这三个根数则是确定了轨道在空间的定向，即就是与赤道直角坐标的角度的联系。 （3）建模
轨道根数的计算模型：
由（4）式可知角动量矢量：
(10)
y z z y z x x z x y y x ??
????
???- ? ?
=?=- ? ?- ???
h r r
和角动量的模||h =h 。
/sin sin sin cos /(11)cos /x x y y z z h h w i i h h w i h h w ????
++Ω??
? ? ?Ω=-=- ? ? ? ? ? ?++??????
式中/h =w h 作为i 和Ω的函数，i 和Ω由（9）式得到。因此，倾角和交升点赤经可得到如下公式：
arctan z i =?
? (12)
cos /z i h h
=
arctan(
)arctan()
y x x
y
h h
h h
Ω==-
-w w （13）
由瞬时角动量可导出半通径与椭圆的基本特性半通径式相等：
2
2(1)h p a e GM ==- （14）
有（14）式可以推出轨道偏心率
e =（15） 由轨道极坐标方程根据椭圆基本特性可以得到椭圆上各点的极径r 与真近点
角θ公式：
1cos p
r e θ=
- （16）
·
0,[0,180]0,[180,360]·r v r v θθ?>? ?
最后把近地点、远地点的极径值带入（16）式，求出真近点角θ。
cos r u
u ωθ==-r n （17）
r 是极径，n 是节线的单位矢量，ω是近月点幅角值，u 是纬度角。
sin u arctan(
)
cos y sin z i
x =-?Ω+?Ω （18）
（4）模型求解
由着陆点的经纬度(,)?θ: 19.51W ?= 44.12N θ= 通过几何方法求出该点在空间直角坐标系中的坐标分量：
2222
sin sin y R z R x y z R ?θ=??
=?
?++=? （17）
把月球近似成球体，则34
m 3R πρ=?，查表可知月球密度3
3340kg/m ρ=。
81.738210R ?=m
连立解得
1102138
5792311207406x y z =??
=??=?
单位：米
着陆点的速度由公式2
2v ax =计算出v ，方向沿z 轴竖直向月心。
3.6148v = =
把,,,x y z v 值带入（10）式中
66
2.093810-
3.9840100x y z y z z y h z x x z h h x y y x ??
????
???- ?????? ? ? ?=?=-=?= ? ? ?
? ? ????
?- ???h r r (18)
则 6
|| 4.500710h ==?h
0.46520.88520
x y z w w w ??+?? ? ?=-= ? ?
? ?+????w （19）
cos /0
z i h h ==，所以90o
i = （20）
o
arctan(
)=27.7233x
y
Ω=-w w （23）
sin u arctan() 89.9998cos y sin
o
z i
x ==-?Ω+?Ω
（24）
以上计算出三个重要角度，再计算半通径p 、真近点角θ：
2
4.1332
h p GM == （25）
1e == （26）
接下来计算近月点的特殊角动量各分量：
9
|| 2.827610h r v ==?=?h 近近近近 （27）
根据式（20）求得
cos 0
z h i h =?= （28）
联立（23）（24）（11）式求得：
9
sin sin 1.315410x h i h =Ω?=? （29）
9sin cos 2.503010hy i h =-Ω?=? （30）
再根据（10）（24）（18）式可以求得近月点,,x y z :
x y z y z z y h z x x z h h x y y x ??
??????- ???
? ?
=-= ? ?
? ??? ?-??h 近近近近近近近近近近近近近
sin u arctan() 89.9998cos y sin
o
z i
x ==-?Ω+?Ω
近近近
联立以上三式，得666 1.0748101.324210z = 6.731110y x ?=??
=?????
根据（17）式，得出近月点经纬度坐标为19.51W 27.88N 15KM
同理可得远月点：
9|| 2.964810
h r v ==?=?h 远远远远
cos 0
z h i h =?=
9
sin sin 1.379210x h i h =Ω?=?
9
sin cos 2.624410hy i h =-Ω?=?
得出远月点经纬度坐标为 160.49 27.885S 100KM E 4.2问题二的建立与求解
嫦娥三号软着陆下降过程中，要经历主减速、快速调整、接近段、悬停段、精避障、缓速下降、自由落体六个过程。如下图所示：
图三
4.2.1主减速段和快速调整段
主减速段：距参考月面高度从近地点约15km到3.0km，进入主减速模式。该段主要任务是减速制动，减小嫦娥三号 1.7km/s 的速度至57 m/s，高度下降至3 .0km。
快速调整段：距实际月面高度从3 km 到2.4 km，进入快速调整模式。该段主要任务是快速衔接主减速和后续的接近段，快速姿态机动到接近段入口姿态，发动机推力同步减到低推力水平。
（1）模型的建立
主减速段和快速调整段两个过程是减速调整阶段，故可将这两个过程合并在一起进行讨论分析。如下图所示以月心为原点o，以月心指向近月点的方向为ox
极轴，建立极坐标系。其中oy轴垂直于ox轴，平面oxy在椭圆轨道面内。
图四
如图所示可得径向的运动方程为：
22sin r v GM F v r r m θ?
=-++
r r v = （31）
切向的运动方程为：
cos r v v F
v r m
θθ?=-
+
v r θ
θ=
（32）
考虑燃料质量的变化，所以有：
0m m mt =-
e F
m v =
（33）
综上可以得到嫦娥三号软着陆减速调整阶段的状态方程：
22sin r v GM F v r r m θ?
=-++
r r v =
cos r v v F
v r m
θθ?=-
+
v r θ
θ=
0m m mt =-
e F
m v =
（34）
其中： G ------万有引力常量； M ------月球的质量； F ------发动机的推力；
?------推力的方向角，即推力和切向速度的夹角； r ------嫦娥三号卫星的极半径； θ------极角； r v ------径向速度；
v θ
------切向速度；
m ------ 任意时刻嫦娥三号卫星的质量；
m ------发动机单位时间消耗的燃料质量；
m ------嫦娥三号在着陆轨道上的质量。
题中要求满足每个阶段在关键点所处的状态且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。所以在卫星软着陆有限推力轨道优化的过程中我们要优化的指标是燃料消耗最少，假定其推力的大小是恒定，为其最大推力。因此，最优控制就是要确定推力方向角?的变化规律，使得燃料消耗
t
J m dt
=? 为最小值。
由上述卫星软着陆状态方程可知m 为常数，因此消耗燃料可整理为：
J m t =
所以性能指标可转换为求软着陆所用时间最小，即：
min
f J t ??→= （35）
由时变系统最小值原理构造哈密顿函数。
r v r v r H v v r θθθλλλλθ
=+++
22=+sin (+cos )r r v v r r v v v v GM F F
H v r r m r m r θθθθ
θλ?λ?λλ--++（+）+ （36）
其中，
r
v
λ、
v θ
λ、
r
λ
、
θ
λ为待定的拉格朗日乘子。
哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
*[*();();();]min [*();();();],()H r t t F t t H r t t F t t F t λλ=∈Ω
（37）
最优控制满足的必要条件是哈密顿函数
*
[*();();();]H r t t F t t λ对控制力()F t 的一阶偏导为零，即：
*(*();();();)
()H r t t F t t F t λ?=?
整理可得
tan r
v v
θλ?λ=-
arctan r
v v
θ
λ?λ=-
（38）
初始条件：就是近月点时刻的参数，此时距离月球表面的高度为15km 且速度只有切向速度，即：
031.7110/v m s
θ=?
00/r v m s
=
015r km
= （39）
末端约束条件：就是经过减速和调整后到达月球表面附近位置，此时距离月球表面的高度为2.4km ，水平速度为零，竖直方向速度可近似看为和减速后的速度相等，即：
0/t v m s
θ=
57/t r v m s
=
2.4t r km
= （40）
最优协态方程：
r
r
v v r
v
v H
r
θθ
λλλλ?=
=
-
2r v v r v v v H
r
θθθ
θθ
λλλλλλ-+-?=-
=
32222()r r r v v v
v v v H GM r r r r r θθθθθλλλλλ?=-
=---+
H θλλθ?=-= （41）
最优横截方程：
1
()()v tf v tf θθ?
λξξ?=
=?
2
()()
tf r tf θ?
λξξ?=
=?
()0
r
v tf λ=
()0r tf λ= （42）
其中
12ξξ、为待定的拉格朗日乘子。
(2)模型的求解
采用改进的临近极值法来选择初值。
1）由于伴随方程是关于λ的拉格朗日方程组，因此可以任意选择一个共轭向量的初值；
2）由于
031.7110/v m s
θ=?，所以给定
v
λ一个初值，再给定
r
λ的值，利用0
H =可求出另一个初值
r v
λ的值。
3）把（0
r v v r
θθλλλλ、、、）作为一个初值，将最优控制的表达式代入状态方
程中，以
()f f
r t r =作为轨道的计算结果；
4）如果轨道方程
f
r 满足初始和末端的速度约束，则该轨道就是最佳轨道。如
果不满足则需重新调整
r
λ的值，直到轨道方程
f
r 满足初始和末端的速度约束为止。
仿真运算 初始状态：
031.7110/v m s θ=?
00/r v m s
=
015r km
=
终端约束：
0/t v m s
θ=
57/t r v m s
=
2.4t r km
=
共轭方程初值：
1
5.673
0.0332
r v v r θθλλλλ=-=-==
最优轨道参数
2458()0/()57/486()1239.8f f r f f f r km v t m s v t m s t s m t kg
θ=====
4.2.2.粗避障段
距实际月面高度从2.4 km 到100 m, 进入接近模式。该段主要任务是粗避障。根据粗避障的要求，设计了满足特定姿态和下降轨迹要求的接近目标着陆区轨迹，通过光学成像敏感器检测大障碍, 确定安全着陆区并避障，最终到达着陆区上方约100 m 高度，此时相对月面速度为0 m/s 。
快速调整姿态且运动的距离很短，故可以近似的认为在这个阶段运动速度不变，所以距离为2400m 时的速度为57m/s 。.粗避障段可以简化为一个匀减速运动模型：
22322v v a h
-=?
a g a =-月推
2
g =1.62/m s 月 （43）
带入数据可得：
2
=g -2.3263m/s a a -=月推
所以 2
240057 1.1632h t t =-+
=m F a ??0f 推推（-m(t )）=2.3263(2400-1239.8)=2699.2N
分析卫星的粗避障：
高程图是由卫星底部的摄像头拍摄的照片，因此认为照片的正中间就是卫星的位置，将附件3的高程图导入matlab 中（附录 程序一）作出它的二值图，并筛选出以卫星位置为中心的可降落的平坦地区，如下图所示
图五
图中白颜色围着的是比较大的陨石坑，白色地区为过度地区，其他地区属于平坦地区，即为可使卫星降落的区域。
4.2.3精避障段
距实际月面高度从约100 到约30 m,进入避障模式。 该段主要任务是精避障和下降。 根据选择的安全着陆点，着陆器下降到安全着陆点上方30 m ，水平速度接近于0 m/s 。
应用模型（43），可以求得这个阶段卫星的运动方程和推力F ，即：
2
=g 1.49m/s a a -=月推
所以 2
1000.065h t =-
=m F a ??0f 推推（-m(t )）=1.49(2400-1239.8)=1728.7N
分析卫星的精避障：
高程图是由卫星底部的摄像头拍摄的照片，因此认为照片的正中间就是卫星的位置，将附件4的高程图导入matlab 中（附录 程序二）作出它的二值图，并筛选出以卫星位置为中心的可以降落卫星的平坦地区，如下图所示
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题 在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level
数学建模练习试题
2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
数学建模作业
习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？
4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文
2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文 王景璟大连理工大学 问题A：超车之外靠右行原则 在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。 构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。 在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。 最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？ 问题B: 大学教练联盟 《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。 除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。 问题C：使用网络模型测量影响力
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8 1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。 【1】命令： x=0:0.711:8.534; y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2, 8.687^2,7.376^2,2.073^2,0]; %plot(x,y2,'*'); a=polyfit(x,y2,2) 【2】结果： a = -5.2832 46.5248 -16.7465 得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1 故面积=0.5*a*b*pi=58.56. 2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表8.1 表8.1 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 20 21 21 20 19 18.5 18.0 13.5 9 4.5 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？ 【1】命令： x=0:0.1:1.0; f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0]; plot(x,f,'*');hold on; a=polyfit(x,f,2) f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979; plot(x,f2); syms t y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979; w=vpa(int(y,t,0,0.4),8) V=diff(y);t=2;v=eval(V)
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；
网络学院数学建模作业题
网络学院数学建模作业题
数学建模作业题 注意事项： 作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。 评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。 上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。严重违反者，不及格。 请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。每人只有一次重交机会。 作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。 一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分） 表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合. 日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日
白昼时间 5.59 10.23 12.38 16.39 17.26 日期 6月21日 8月14日 9月23日 10月25日 11月21日 白昼时间 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x ，以白昼时间为因变量y ，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分） 或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数y=(b x A ++)3652sin(?π)作为函数值。根据表1.17的数据，推测A ，b 和?的值， 作非线性拟合得385.123712.13652sin(9022.6+-=x y π，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。 二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分） 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？ 解：“两秒准则”表明前后车距D 与车速v 成正比例关系v K D 2 =，其中s K 22 =，对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由)]([1 2 2 K K v K v D d --=-可以计算得到当D d h km K K K v <=-<时有/428.542 12 ，“两秒准则”足够安全，或者把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需的尾随时间，并以尾随时间为依据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4
数学建模一周作业题目
对作业题目的说明 1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。 2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜 ij a 局。由此得矩阵()ij R a =如下： 12 3 1232 140345 3 1R βββααα?? = ? ? ??? （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到 的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ （二）野兔生长问题 在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，
预测T=10 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。 （四）奖学金的评定(A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困 ）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A — 无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 , B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A — 长的想法能否实现?
2015年数学建模作业题
数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合
适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划 某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： 量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求： （a）该厂如何安排计划，使总利润最大； （b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序 在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。
研究生赛E题【2014年研究生数学建模竞赛试题】
2014年全国研究生数学建模竞赛E题 乘用车物流运输计划问题 整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图1、2、3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。 乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层轿运车实际中很少使用,本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（图1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（图2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（图3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。 在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法和程序（评审时要查）。 1
装载具体要求如下：每种轿运车上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第五问见附件）如下： 乘用车型号长度(米) 宽度(米) 高度(米) Ⅰ 4.61 1.7 1.51 Ⅱ 3.615 1.605 1.394 Ⅲ 4.63 1.785 1.77 轿运车类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7 表2 轿运车规格 整车物流的运输成本计算较为繁杂,这里简化为：影响成本高低的首先是轿 运车使用数量；其次，在轿运车使用数量相同情况下，1-1型轿运车的使用成本 2
福建师范大学课程考试《数学建模》作业考核试题参考328
《数学建模》期末考试A卷 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。 ------------------------------（√） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的 模型。------（√） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模 型的可靠性。 --------------------------------------------- （√） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量 纲。-------（√） 5、数学模型是原型的复制品。 -------------------- （×） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有 ACD 。A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括 ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有 CD 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 ABCD 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足 AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条 腿能否同时着地？ 一、模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一 个点，四脚的连线呈正方形. 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出 现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学 1
最新历年全国数学建模试题及解法归纳
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划 94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论 96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划 98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化 04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化 06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化 07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综合评价2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据 2009年D题会议筹备优化
2014 数学建模练习题
练习1 基础练习 一、矩阵及数组操作： 1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。 2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。 3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。 二、绘图： 4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像： y1=2x+5；y2=x^2-3x+1， 并且用legend标注。 5．画出下列函数的曲面及等高线： z=x^2+y^2+sin(xy)． 三、程序设计： 6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01） 7．有一列分数序列：
求前15项的和。 8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。 9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。 10．是否任意3的倍数m可以写成两个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3 的可能形式）？ 四、数据处理与拟合初步： 11．通过测量得到一组数据： 分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。 12．计算下列定积分： 13．微分方程组 当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并
画出相空间轨道图像。 14．设通过测量得到时间t与变量y的数据： t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]; y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41]; 分别采用多项式：y=a0+a1t+a2t2 和指数函数y=b0+b1e^t+b2te^t 进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。 15．观察函数：y=e^x-1.5cos(2*pi*x) 在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题： （1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像 上标出你求得的最小值点作出验证。 注：可以用help fzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是： fzero(@myfun,x0) %返回函数myfun在x0附近的根；fminbnd典型的调用方法是： fminbnd(@myfun,x1,x2) %返回函数myfun在区间[x1,x2]上的最小值。
数学建模数学模型作业题
一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格1k y +由第1k +和k 时段的数量1k x +和k x 决定，如果设 1k x +仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。 （2）若除了1k y +由1k x +和k x 决定之外， 1k x +也由前两个时段的价格k y 和1k y -确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，设1k y +由1k x +和k x 的平均值决定，即二者平均值 2 1k k x x ++，模型为： 110 0100(),02(),0 k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++? -=-->?? ?-=->? 由此可以得到 22022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+， 其特征方程为 022=++αβαβλλ， 得出其特征根： 4 8--2 2,1αβ αβαβλ）（±= * 当8>αβ时，有： 4 -48---2 2αβ αβαβαβλ<=）（ 由以上可算出： 2 2,1αβ λ= 即：2<αβ 所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2αβ<。 （2）设k x 也由k y 和1k y -的平均值决定，模型为： 1100110 0(),02 (),02 k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++? -=-->??? +?-=->??
数学建模选修大作业
中华女子学院 成绩2014 — 2015学年第二学期期末考试 （论文类） 论文题目数学建模算法之蒙特卡罗算法 课程代码 01 课程名称数学建模
学号 9 姓名陈可心 院系计算机系 专业计算机科学与技术 考试时间 2015年5月27日 一、数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。接下来本文将着重介绍这一算法。 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。这个也是我们数学
建模选修课时主要介绍的问题，所以对这方面比较熟悉，也了解了Lindo、Lingo软件的基本用法。 4、图论算法 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法， 涉及到图论的问题可以用这些方法解决，上学期数据结构课程以及离散数学课程中都有介绍。它提供了对很多问题都很有效的一种简单而系统的建模方式。 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7、网格算法和穷举法 网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8、一些连续离散化方法
数学建模试题及答案
数学专业（本科）《数学建模》 注意事项：1、本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟。 2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、填空题(每题5分，共15分) 1．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是。2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元． 3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n；(2)气温T超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为。 二、简答题：（25分） 1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分） 2、写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 2、数据拟合方法在数学建模过程中有什么意义？常见的数据拟合方法有哪些？（10分）
三、（每小题15分，共60分） 1、设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后， 美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 3、试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什
么？4、建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量 数学建模参考答案