z变换的基本知识
z 变换基本知识
1 z 变换定义
连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。
连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为
0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞
==-=+-+-+∑
(3)(3)f T t T δ-+L （1）
对式（1）作拉普拉斯变换
23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++L
()e ksT k f kT ∞
-==∑
（2）
从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z ”，令
e sT z =
（3）
代入式（2）并令1
ln *()
()s z T
F x F z ==，得
1
2
()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞
---==+++=∑L
（4）
式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以()[*()]F z L f t =表示。
由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。
*()f t 的z 变换的符号写法有多种，如
[*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、
离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。
式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是()f kT ，并且时域中的()t kT s δ-、域中的
e ksT -及z 域中的k z -均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系。
在实际应用中，采样信号的z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z 的有理分式
11101110
()
()m m m n n n K z d z d z d F z z C z C z C ----++++=
++L L ＋＋ m n ≤ （5）
或1z -的有理分式
1111011110(1)
()1l m m m n n
n Kz d z d z d z F z C z C z C z ---+----+--++=
++++L L ＋＋ l n m =- （6）
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）
11()()
()()()()()
m n K z z z z KN z F z D z z p z p --=
=--L L m n ≤ （7）
2 求z 变换的方法
1）级数求和法
根据z 变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。 例1 求指数函数()e t f t -=的z 变换。 解 连续函数()f t 的采样信号表达式为
*
20()e ()()e ()e (2)kT T T k f t t kT t t T t T δδδδ∞
---==-=+-+-+∑L
对应的z 变换式为
1220()()1k T T k F z f kT z e z e z ∞
-----===+++∑L
上式为等比级数，当公比1e 1T z --<时，级数收敛，可写出和式为
11()1e e
T T
z
F z z z ---=
=--。 例2 求单位脉冲函数()t δ的z 变换。 解 因为采样信号的表达式为
*()(0)()()()(2)(2)f t f t f T t T f T t T δδδ=+-+-+L
对()()f t t δ=函数，它意味着*()f t 仅由一项组成，即*()(0)()f t f t δ=，且
(0)1f =。所以
00()[()]()(0)1k k F z Z t f kT z f z δ∞
--=====∑
2）部分分式展开法
最实用的求z 变换的方法是利用时域函数()f t 或其对应的拉普拉斯变换式
()F s 查z 变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应
的拉普拉斯变换式()F s 进行部分分式分解后再查表。
()F s 的一般式为
1011111()()()m m m m
n n n n
b s b s b s b B s F s A s s a s a s a ----++++==
+++L L （8）
（1）当()0A s =无重根，则()F s 可写为n 个分式之和，即
1212()i n i n
C C C C
F s s s s s s s s s =
+++++----L L （9）
系数i C 可按下式求得，即
()()i
i i s s C s s F s ==-g
（10）
（2）当()0A s =有重根，设1s 为r 阶重根，12,,,r r n s s s ++L 为单根，则()F s 可展成如下部分分式之和，即
1111
1111()()()n r r r r r r n
C C C C C F s s s s s s s s s s s -+-+=
++++++-----L L （11）
式（11）中1,,r n C C +L 为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数12,,,r C C C L 的计算公式如下
1
11111111
111()()
d ()()d 1d ()()!d 1d ()()(1)!d r r s s r
r s s j r
r j j s s r r r s s C s s F s C s s F s s C s s F s j s C s s F s r s =-=-=--=?=-????=-????
?
???=-???
?
????=-???-?
（12）
例3 已知2
2
()(1)(3)
s F s s s s +=
++，求其相应采样函数的z 变换()F z 。 解 用()F s 直接查z 变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为
3214
2
()(1)13
C C C C F s s s s s =
++++++ 其中
222
121
(1)(1)(3)2
s s C s s s s =-+=+=-++g 2121d 23(1)d (1)(3)4
s s C s s s s s =-??+=
+=-??++??g
32
022
(1)(3)3s s C s s s s =+==++g 42321
(3)(1)(3)12
s s C s s s s =-+=+=
++g 将诸常数代入部分分式中，有
2
11312111
()2(1)4(1)3123
F s s s s s =--+++++g g g g 对照z 变换表，查得
231e 321()2(e )4e 3112e T T T T
Tz z z z
F z z z z z ----=--++----g g g g
2232e 33e 214(e )3112e
T T T T
Tz z z z z z z z ------+=++---g g （13）
3 z 变换的基本定理
z 变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z 变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。
表1 拉普拉斯变换和z 变换特性
拉普拉斯变换
Z 变换
线性
1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=± 11212[()()]()()L F s F s f t f t -±=±
[()]()L af t aF s = 1[()]()L aF s af t -=
1212[()()]()()Z f t f t F z F z ±=± 1**1212[()()]()()Z F z F z f t f t -±=±
[()]()Z af t aF z = 1*[()]()Z aF z af t -=
实微分（实超前位移）
d ()d k k L f t t ??
????
(1)
1()(0)k
k
k j
j j s F s s
f --==-∑
[]()Z f t lT +
1
()()l l
l j j z F z z f j --==-∑
实积分 0()()d t F s L f s
ττ??=????? —
复微分
d
[()]()d L t f t F s s
=-g
d ()
[()]d F z Z t f t Tz
z
=-g
复积分
()()d s
f t L F p p t ∞??
=????? ()f t Z t ??
????
0()()
d lim
z
k F f kT T kT
ωωω∞
→=+?
实延迟 位移 []000()1()e ()sT L f t T t T F s --?-= []()1()()l Z f t lT t lT z F z --?-=
复位移
()()at
L e f t F s a ??=±??m
[]e ()()at
Z f t Z F s a ??=±??m
()e at F z ±
初值 0
lim ()lim ()i s f t sF s →→∞
=
lim ()lim ()k z f kT F z →→∞
=
终值 0
lim ()lim ()t s f t sF s →∞
→=
11
lim ()lim(1)()k z f kT z F z -→∞
→=-
比例尺 变换 1[()]s L f at F a a ??
=
???
1/[()]()a Z f anT F z = 实卷积 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =g
1212[()()]()()Z f n f n F z F z *=?
求和
—
101()()1n i Z f i F z z
-=??
=??-??∑ 1）实域位移定理
（1）右位移（延迟）定理 若[()]()Z f t F z =，则
[()]()n Z f t nT z F z --=
（14）
式中n 是正整数。
证明 根据定义
()
00
[()]()()k
n
k n k k Z f t nT f kT nT z
z
f kT nT z
∞
∞
----==-=-=-∑∑
令k n m -=，则
[()]()n
m m n
Z f t nT z
f mT z ∞
--=--=∑
根据物理可实现性，0t <时()f t 为零，所以上式成为
[()]()()n
m
n m Z f t nT z
f mT z
z F z ∞
---=-==∑
位移定理的时域描述如图1所示。
图1 位移定理的时域图形描述
从图中可以看出，采样信号经过一个n z 的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动n 步；经过一个n z -的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动n 步。
（2）左位移（超前）定理 若[()]()Z f t F z =，则
1
0[()]()()n n
k k Z f t nT z F z f kT z --=??
+=-????
∑
（15）
证明 根据定义有
0[()]()k k Z f t nT f kT nT z ∞
-=+=+∑
令k n r +=，则
()
[()]()()r n n
k
r n r n
Z f t nT f rT z
z
f rT z
∞
∞
---==+===∑∑
11
000()()()()n n n
r r n k r r k z f rT z f rT z z F z f kT z ∞-----===????-=-????????∑∑∑
当(0)()(2)[(1)]0f f T f T f n T ====-=L 时，即在零初始条件下，则超前定理成为
[()]()n Z f t nT z F z +=
（16）
2）复域位移定理
若函数()f t 有z 变换()F z ，则
[e ()](e )at aT Z f t F z ±=m
（17）
式中a 是常数。
证明 根据z 变换定义有
[e
()]()e at
akT k k Z f t f kT z ∞
-==∑m m
令1e aT z z ±=，则上式可写成
110
[e
()]()()at
k k Z f t f kT z F z ∞
-===∑m
代入1e aT z z ±=，得
e ()(e )at aT
Z f t F z ±??=??
m 3）初值定理
如果函数()f t 的z 变换为()F z ，并存在极限lim ()z F z →∞
，则
lim ()lim ()k z f kT F z →→∞
=
（18）
或者写成
(0)lim ()z f F z →∞
=
（19）
证明 根据z 变换定义，()F z 可写成
120()()(0)()(2)k k F z f kT z f f T z f T z ∞
---===+++∑L
当z 趋于无穷时，上式的两端取极限，得
lim ()(0)lim ()z k F z f f kT →∞
→==
4）终值定理
假定()f t 的z 变换为()F z ，并假定函数1(1)()z F z --在z 平面的单位圆上或圆外没有极点，则
11
lim ()lim(1)()k z f kT z F z -→∞
→=-
（20）
证明 考虑2个有限序列
10
()(0)()()n
k
n k f kT z
f f T z f nT z ---==+++∑L （21）
和
120
[(1)]()(0)()[(1)]n
k
n k f k T z
f T f z f T z f n T z ----=-=-++++-∑L （22）
假定对于0t <时所有的()0f t =，因此在式（3-34）中()0f T -=，比较式（22）和式（21），式（22）可写成
1
1
[(1)]()n
n k
k
k k f k T z
z
f kT z
----==-=∑∑ （23）
令z 趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得
1
1
1
00lim ()()n n k k z k k f kT z z f kT z ----→==??-????
∑∑
1
()()()n
n k k f kT f kT f nT -===-=∑∑
（24）
在式（24）中取n →∞时的极限，得
1
1
1
0lim ()lim lim ()()n n k k n n z k k f nT f kT z z f kT z ----→∞→∞→==????=-????????∑∑ （25）
在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当n →∞时，两者的级数和均为()f z ，由此得
11lim ()lim(1)()n z z
f nT z F z -→∞
→=-
终值定理的另一种常用形式是
1
lim ()lim(1)()n z f nT z F z →∞
→=-
（26）
必须注意，终值定理成立的条件是，1(1)()z F z --在单位圆上和圆外没有极点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如函数()
2
z
F z z -，其对应的脉冲序列函数为()2k f k =，当k →∞时是发散的，而直接应用终值定理得
11
()lim(1)
022
k k z z
f k z z -→∞→=-=≠- 与实际情况相矛盾。这是因为函数()F z 不满足终值定理的条件所致。
4 z 反变换
1）定义
求与z 变换相对应的采样函数*()f t 的过程称为z 反变换，并表示成
1*[()]()()Z F z f t f kT -=?
（27）
注意：z 反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即
1[()]()Z F z f t -≠
（28）
如图2所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。
图2 采样信号与连续信号的关系
换句话说，z 反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。 2）z 反变换的求法
（1）幂级数展开法（长除法）
根据z 变换的定义，若z 变换式用幂级数表示，则k z -前的加权系数即为采样时刻的值()f kT ，即
12()(0)()()()k F z f f T z f zT z f kT z ---=+++++L L
对应的采样函数为
*()(0)()()()(2)(2)()()f t f t f T t T f T t T f kT t kT δδδδ=+-+-++-+L L
例4 已知232
11156()452
z z F z z z z -+=-+-，求*
()f t 。 解 利用长除法
12343221129671454511156z z z z z z z z z z ----++++-+--+L
21
1
)11445522294922z z z z z ----+--+
12
12
)29116145586712358z z z z z
------+--+ 11
)67268145z z
----+L
由此得采样函数为
*()11()29(2)67(3)145(4)f t t T t T t T t T δδδδ=-+-+-+-+L
用长除法求z 反变换的缺点是计算较繁，难于得到()f kT 的通式；优点则是计算并无难度，用计算机编程实现也不复杂，而且工程上也只需计算有限项数即可。
（2）查表法（部分分式展开）
工程上最常用的方法是查表法，若()F z 较复杂，则首先必须进行部分分式展开，以使展开式的各项能从表中查到。经常碰到z 变换式()F z 是z 的有理分式，对此，可以将()/F z z 展开成部分分式，然后各项乘以z ，再查表。这样做是因为绝大部分z 变换式的分子中均含有一个z 因子。
首先假定()F z 的所有极点是一阶非重极点，则展开式如下
1212()
n n
A A A F z z z z z z z z =+++---L （29）
式中(1,2,,)i z i n =L 是()F z 的极点，系数i A 可由下式求出
()()
1,2,,i
i i z z F z A z z i n z ==-=L （30）
在式（29）两端同乘z ，得
1212()n n
A z A z A z
F z z z z z z z =
+++---L （31）
从z 变换表中查得每一项的z 反变换，得
11
22
1()n
k k k k n n
i i i f kT A z A z A z A z ==+++=∑L
（32）
由此得
*
1()()()n
k i i k i f t A z t kT δ∞
===-∑∑
（33）
当()F z 有重根时，部分分式形式及系数计算参见式（10）和式（12）。 例5 求下式的z 反变换
2222
3(3)
()21(1)
z z z z F z z z z -+-==-+- 解 该式的部分分式分解可得
()
F z z
的部分分式展开式为： 2()23
(1)1
F z z z z =---- 查表得
()23()f k k u k =--
其中
1
0()0
k u k k ≥?=?
采样信号为
0*()[23()]()k f t k u k t kT δ∞
==---∑
八年级物理上册 2《物态变化》综合习题检测(基础篇)(含解析)苏科版
《物态变化》章末习题检测(基础篇) 一、选择题 1.如图所示的各种自然现象的形成过程，属于凝华的是（） 2.如图所示，表示晶体凝固过程的图象是（） 3.已知萘的熔点是80.5℃，则温度为80.5℃的萘所处的状态是（） A．固态B．液态C．固液混合态D．以上三种情况都有可能 4.下列现象中属于升华的是（） A．冬天，戴眼镜的人从外面进入房间内，镜片上出现小水珠 B．脸盆里的水，放一段时间变少了 C．冰棍儿周围冒“白气” D．冬天，晾在室外的冰冻衣服慢慢变干 5.如图所示是某物质的熔化图象。下列关于此图象信息的解读错误的是（） A．这是一种晶体物质B．CD段时物质处于气态 C．物质的初温是40℃ D．加热5分钟时物质的温度是48℃ 6.生活中的很多现象可以用学过的物理知识加以解释。下列解释错误的是（）A．天气很冷时，窗玻璃上会出现冰花，这是一种凝固现象 B．“下雪不冷化雪冷”，这是因为雪在熔化时吸热 C．游泳后，刚从水中出来，感觉比较冷，这是因为人身上水分蒸发带走热量
D．取出在冰箱中被冷冻的冰糕，放一会儿，发现包装外层出现小水珠，这是一种液化现象 7.（多选）关于蒸发和沸腾，下面说法中错误的是（） A．蒸发可以在任何温度下进行，沸腾只能在一定温度下进行 B．沸腾需要吸热，蒸发不需要吸热 C．蒸发是缓慢的汽化现象，沸腾是剧烈的汽化现象 D．蒸发是发生在液体表面的汽化现象，沸腾是在液体内部发生的汽化现象 8.如图是在俄罗斯首都莫斯科举行的冰雕大奖赛中展示的一件冰雕作品，当地气温持续在0℃以下，但冰雕作品会一天天变小，这是由于冰雕作品发生了什么物态变化（） A．汽化B．液化C．升华D．凝华 9.以下温度最接近25℃的是（） A．冰水混合物的温度B．人的正常体温 C．人感到舒适的房间温度D．1标准大气压下沸水的温度 10.用质地密实的薄纸做成一个纸锅，在纸锅中盛有适量的水，放在火上加热，过一会儿水沸腾了，而纸锅却不会燃烧，这主要是因为（） A．纸的散热性能很好B．纸的着火点低于火焰的温度 C．纸的着火点低于水的沸点D．水的沸点不变且低于纸的着火点 二、填空 11. 夏天天气很热，很多人家都装有空调。当空调工作时，总会有一些水从空调的排水管中流出来。而且在空调房里呆久了，人们总是感到空气很干燥。这是由于在空调工作时，室内的水蒸气遇冷成的小水滴排出室外，发生这样的物态变化时需要热（选填“吸”或“放”）。 12.沸腾是________的一种方式。在一个标准大气压下水的沸点是________。水沸腾的过程需要________热。影响蒸发快慢的因素是________，________和________。 13. 高压锅是家庭厨房中常见的炊具，食物被容易煮熟的原因是______________。 14.下列现象各属于哪种物态变化? (1)铁在高温下变成铁水是________现象。 (2)在碟子里倒一点酒精，酒精很快“干”了，这是________现象。 (3)打开冰箱门，冰箱周围冒“白气”，这是________现象。
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
三年级数学下册《位置与方向》知识点资料讲解
三年级数学下册《位置与方向》知识点位置与方向知识点 认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向。 【1】确定方向的方法： ①.早上太阳升起的方向是东方;②.傍晚太阳落下的地方是西方;③.指南针所指的方向是北方;④.北斗星所指的方向是北方;⑤.一般情况下，地图规定向上为北。 【2】根据确定一个方向后，按“上北下南、左西右东”“或南北相对，东西相对” 绘制“十字叉”，确定其它七个方向。 知道：南←→北，西←→东;西北←→东南，东北←→西南这些方向是相对的。 【3】绘制简单示意图的方法：先确定好观察点【观察点就是我们所站在的位置的地方】，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”，用箭头“↑”标出北方。 【4】看懂地图。先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律来确定目的地和周围事物所处的方向：谁在谁的什么方向等。 如①：“甲在乙的„„方”，是指：以乙为观
察点，也就是以乙所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的„„方是„„”，是指：以甲为观察点，也就是以甲所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的什么方向的事物. 看简单的路线图描述行走路线。 【1】看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律绘制出“十字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 【2】描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来。有时还要说明路程有多远。 【3】综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 练习题 一、在括号里填上合适的数。 1平方米20平方分米=平方分米 450平方分米=平方米
简单的三角恒等变换 知识点及习题
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S α2：sin α2 ＝____________________； (2)C α2：cos α2 ＝____________________________； (3)T α2：tan α2 ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos α2 的值等于( ) A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α2 2．函数y ＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈??? ?0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－1 4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.? ???－π，－5π6 B.????－5π6，－π6 C.????－π3，0D.????－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2 等于( ) A ．－1B.1C ．2D ．－2
八年级上册物理之《物态变化》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《物态变化》全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1.理解温度的概念，了解生活环境中常见的温度值，会用温度计测量温度； 2.了解气态、液态和固态是物质存在的三种形态； 3.知道物质的固态、液态、气态之间的相互转化； 4.正确识别现实生活中的几种物态变化现象； 5.利用物态变化中的吸、放热规律解决问题。 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、温度 1、摄氏温度的规定：在一标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0℃，沸水的温度规定为100℃,0℃和100℃之间有100个等份，每个等份代表1摄氏度。 2、使用温度计做到以下三点： （1）温度计与待测物体充分接触但不要碰到容器的底或壁； （2）待示数稳定后再读数；
（3）读数时，视线要与液面上表面相平，温度计仍与待测物体紧密接触。 要点诠释： 1、温度计是利用液体的热胀冷缩的性质来工作的，必须保证液体不凝固、不汽化。 2、体温计使用时不“甩一甩”，会造成温度“只上升、不下降”、即“低温不准高温准”。 要点二、熔化和凝固 1、定义：物质从固态变成液态叫熔化，熔化要吸热；物质从液态变成固态叫凝固，凝固要放热。 2、固体的分类：晶体和非晶体。 3、熔点凝固点：晶体都有一定的熔化温度，叫熔点；晶体有一定的凝固温度，叫凝固点。 4、晶体熔化（或凝固）的条件：（1）达到熔点（或凝固点）（2）继续吸热（或放热）。 要点诠释： 1、晶体和非晶体的区别：晶体有固定的熔化（或凝固）温度，非晶体没有固定的熔化（或凝固）温度。 2、同种晶体的熔点和凝固点相同。 3、晶体熔化（或凝固）的过程中，吸收（或放出）热量，温度不变。 要点三、汽化和液化 1、定义：物质从液态变为气态叫汽化；汽化吸热；物质从气态变成液态的现象叫液化；液化放热。 2、汽化有两种形式：蒸发和沸腾，这两种形式都要吸热。 3、影响蒸发快慢的因素：（1）液体温度高低（2）液体表面积大小（3）液体表面空气流动的快慢。 4、沸腾：（1）沸腾是在一定温度下，在液体内部和表面同时进行的剧烈的汽化现象。 （2）各种液体沸腾时都有确定的温度，这个温度叫做沸点。 （3）液体沸腾的条件：①温度达到沸点；②继续吸热。 5、液化的两种方法：（1）降低温度；（2）压缩体积。 要点诠释： 1、液体沸腾过程中要吸收热量但是温度不变。 2、蒸发在任何温度下都能进行，不同物质蒸发快慢不同，如：酒精蒸发比水蒸发快。 要点四、升华和凝华 1、升华：物质从固态直接变成气态叫升华。 2、凝华：物质由气态直接变成固态叫凝华。 3、特点：升华吸热，凝华放热。 要点诠释： 1、六种物态变化： 2、升华由固态直接变成气态，凝华由气态直接变成固态，中间都没有经过液态。 【典型例题】 类型一、温度计的使用 1.使用温度计测量液体的温度： （1）如左图所示，正确使用温度计的是；（填写正确答案选项即可） （2）若正确使用水银温度计测量液体的温度，如右图所示，此时温度是。
(完整版)位置与方向知识点
位置与方向（一） 1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： （1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平 面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。 5、看简单的路线图描述行走路线。 （1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 （2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做） （3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。
6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识： （1）面对北斗星的方向是北方 （2）燕子冬天从北方迁徙到南方 （3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方
三角恒等变换问题(典型题型)
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
物态变化综合练习题之一基础知识
物态变化综合练习题之一——基础知识 1．温度是表示物体___________的物理量．常用的温度计是根据________性质来测量温度的．温度计上的符号℃表示采用的是__________温度，它把_________的温度规定为0度，把____________的温度规定为100度． 2．一支体温计的示数为39.5℃，一位同学没有甩过就给体温正常的自己测量，这时体温计的示数是___________． 3．把一支无刻度的温度计插入冰水温合物中时，水银柱长20cm，把它插入1标准大气压下的沸水里，水银柱长为40cm，将它插入某液体中时，水银柱长25cm，此液体的温度是_________℃．4．没有甩过的体温计的读数是37.7℃，用两支这样的体温计给两个病人测体温，如果病人的体温分别是37.5℃和38.4℃，则这两支体温计的读数将分别是________℃和________℃．5．某温度计上标有的测量范围是－10℃～150℃，但将该温度计放入冰水混合物中示数是4℃，放入一标准大气压下的沸水中示数为98℃，则这支温度计实际的测量范围是___________．6．在熔化过程中，________有一定的熔点，________没有一定的熔点． 7．如图所示，为某晶体的凝固图象，从A到D整个过程是________的（选填“吸热”或“放热”），在AB段物质处于_________状态，BC段是个________过程，物质处于_______状态，其对应的温度48℃代表此晶体熔液的_________，CD段物质处于__________状态． 8．晶体在熔化时的温度叫做____________．晶体熔化的过程中，虽然大量吸热，但温度_____________． 9．人们通常用钨这种金属制造电灯的灯丝，是因为钨的__________高． 10．北方建筑工人在秋冬季节和泥时，常用食盐水代替自来水，这是因为食盐水的凝固点_____________． 11．物质从_________态变为_________态叫汽化，汽化的两种方式是___________和____________． 12．喝开水时．为降低它的温度，人们常用两个杯子来回地倒，这是采用了_________和__________的方法加快蒸发，使水温很快降低． 13．刮风时，土地易变干，但用塑料薄膜遮盖的土地不易变干，可保持土壤的水分，这是因为___________． 14．炎热的夏天，人们发现中暑患者后，常常把患者扶到通风处，并在患者身上擦酒精，这里用到的主要物理道理是：（1）____________；（2）___________． 15．火箭在大气中飞行时，它的头部跟空气摩擦生热，温度可达几千摄氏度．在火箭头上涂一层特殊材料，这种材料在高温下发生____________并且____________，这两种物态变化过程都要_________，使火箭温度_____________． 16．测量空气湿度的“干湿泡温度计”，是用两个相同的温度计并列制成的．在使用时，其中一个温度计下端的玻璃泡包着湿布，因为水蒸发时要_______________，因此这个温度计的示数要比另一个的示数_________．两个温度计的示数差值大，就表明空气中的水蒸气含量____________，空气湿度____________． 17．保留水分是蔬菜和水果保鲜的一个方面，为了研究影响蔬菜和水果水分散失快慢的因素，有A、B、C三组同学各自做了研究实验．如图是他们所做实验的部分情景示意图（实验材料是均匀剖开的胡萝卜）． 观察上图，回答下列问题： （1）这三组实验中，研究方法正确的是___________组（填组别字母） （2）研究方法正确的小组是依据什么物理知识来设计实验的？ 答：________________________________________________ 18．阅读下文，回答： （1）经常在两罐间洒些水的原因是____________． （2）放在干燥通风的地方是为了____________． 住在非洲沙漠中的居民，由于没有电，夏天无法用冰箱保鲜食物．一位物理老师发明了一种“沙漠冰箱”罐中罐．它是由一个内罐和外罐组成，两罐之间填上潮湿的沙子．如图所示，使用时将食物和饮料放在内罐，罐口盖上湿布．然后放在干燥通风的地方．并经常在两罐间的沙子上洒些水，这样就能起到保鲜作用． 19．物质从_______态变为_________态叫液化；液化有两种方式__________，__________；液化的相反过程是____________． 20．北方的冬天，户外的人不断地呼出“白气”，这是呼出的_________遇到_________液化成的___________． 21．被100℃的水蒸气烫伤往往比100℃的水烫伤更严重，这是因为水蒸气__________的缘故．22．把烧红的铁棒放入冷水中，可以看到水面上出现“白气”，在此过程中发生的物态变化先是__________，后是___________. 23．气体打火机里面的丁烷气体，是利用__________的办法使它成为液体贮存在打火机里的．24．运载火箭中的氧和氢都是以________状态装在火箭里的，这样做的最大好处是使它的________，便于___________和_________． 25．日常生活中使用的液化石油气是在常温条件下，用________的方法使它成为液体贮存在钢罐里的． 26．火箭刚发射时，高温火焰向下喷到发射台的地面，很多物体遇到这样高温火焰将会_________．为了保护发射台底，就建了一个大水池，让火焰喷到水中，利用水的________来吸收巨大的热量，我们在电视上看到火箭升空瞬间，伴有迅速扩展的庞大的白色气团是____________形成的． 27．由于水能够溶解多种物质，因此天然水总是溶有杂质，
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），
三年级数学下册《位置与方向》知识点
三年级数学下册《位置与方向》知识点 位置与方向知识点 认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向。 【1】确定方向的方法： ①.早上太阳升起的方向是东方;②.傍晚太阳落下的地方是西方;③.指南针所指的方向是北方;④.北斗星所指的方向是北方;⑤.一般 情况下.地图规定向上为北。 【2】根据确定一个方向后.按“上北下南、左西右东”“或南北 相对.东西相对” 绘制“十字叉”.确定其它七个方向。 知道：南←→北.西←→东;西北←→东南.东北←→西南这些方 向是相对的。 【3】绘制简单示意图的方法：先确定好观察点【观察点就是我 们所站在的位置的地方】.把选好的观察点画在平面图的中心位置.再 确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”.用箭头“↑”标出北方。 【4】看懂地图。先要确定好自己所处的位置.以自己所处的位置 为中心.再根据“上北下南;左西右东”的规律来确定目的地和周围事 物所处的方向：谁在谁的什么方向等。 如①：“甲在乙的„„方”.是指：以乙为观察点.也 就是以乙所处的位置为中心.再根据“上北下南.左西右东”的规律绘 制出“十字叉”.来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的„„方是„„”.是指：以 甲为观察点.也就是以甲所处的位置为中心.再根据“上北下南.左西 右东”的规律绘制出“十字叉”.来确定甲的什么方向的事物. 看简单的路线图描述行走路线。 【1】看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置.以自己 所处的位置为中心.再根据“上北下南;左西右东”的规律绘制出“十 字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向.最后根据目的地的方向 和路程确定所要行走的路线。 【2】描述行走路线的方法：以出发点为基准.再看哪一条路通向
三角恒等变换知识点和例题.doc
精品 三角恒等变换基本解题方法 1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin sin cos cos sin cos cos cos msin sin tan tan tan 1mtan tan 2 tan tan 2 2 1 tan 令 sin2 2sin cos 令 cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 cos 2 ＝ 1+cos2 2 sin 2 ＝ 1 cos2 2 如（ 1 ）下列各式中，值为 1 的是 2 A 、 o o B 、 2 2 C 、 tan 22.5o 1 cos30o sin15 cos15 cos 12 sin 12 tan 2 22.5o D 、 1 2 （ 2 ）命题 P ： tan( A B ) 0 ，命题 Q ： tan A tan B 0，则 P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （ 3）已知 sin( )cos cos( )sin 3 ，那么 cos 2 的值为 ____ 5 1 3 o 的值是 ______ （ 4 ） o sin 80 sin 10 (5) 已知 tan110 0 a ，求 tan 50 a 3 1 a 2 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、 1 3a 2a 乙求得的结果的正确性你的判断是 ______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系， 注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : （1 ）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换 . 2 2 如( ) ( )，2( ) ( )，2( ) ( ) ， ， 2 2 2 等），
高考物理新力学知识点之物态和物态变化基础测试题附解析
高考物理新力学知识点之物态和物态变化基础测试题附解析 一、选择题 1．关于下列实验及现象的说法正确的是 A．图甲说明蜂蜡是晶体 B．图乙说明气体速率分布随温度变化，且T1>T2 C．图丙说明气体压强的大小只与分子的密集程度有关 D．图丁中水黾能停在水面上是因为水的表面张力作用的缘故 2．下列关于热学问题的说法不．正确的是 A．一个孤立系统总是从熵小的状态向熵大的状态发展，熵值较大代表着较为无序 B．如果封闭气体的密度变小，分子平均动能增加，则气体的压强可能不变 C．某气体的摩尔质量为M、密度为ρ，用N A表示阿伏伽德罗常数，每个气体分子的质量m0，每个气体分子的体积V0，则m0= A M N， V0=0 m D．空气的绝对湿度用空气中所含水蒸汽的压强表示 3．一定质量的某种物质，在压强不变的条件下，发生固、液、气三态变化过程中温度T 随加热时间t变化关系如图所示，单位时间所吸收的热量可看做不变，下列说法正确的是 A．在2 1 ~ t t时间内，该物质分子平均动能随着时间的增大而增大 B．在2 1 ~ t t时间内，该物质分子势能随着时间的增大而增大 C．在23 ~ t t时间内，该物质发生了物态变化 D．在34 ~ t t时间内，该物质分子的热运动加剧 4．下列说法中正确的是( )． A．悬浮在水中的花粉的布朗运动反映了花粉分子的热运动 B．第一类永动机和第二类永动机研制失败的原因是违背了能量守恒定律 C．大雾天气学生感觉到教室潮湿，说明教室内的绝对湿度较大 D．一定质量的单晶体在熔化过程中分子势能一定是增大的
5．关于晶体和非晶体的几种说法中，正确的是（） A．不具有规则几何形状的物体一定不是晶体 B．化学成分相同的物质，只能生成同一晶体 C．若物体表现为各向同性，它一定是非晶体 D．有些晶体的物理性质与方向有关，这种特性叫做各向异性 6．关于饱和汽及饱和汽压的正确说法是( ). A．密闭容器中某种蒸汽,开始时若是饱和的,保持温度不变,增大容器的体积,待稳定时, 蒸汽的压强一定会减小 B．对于同一种液体,饱和汽压随温度的升高而增大 C．温度不变时,饱和汽压随饱和汽体积的增大而增大 D．相同温度下,各种液体的饱和汽压都相同 7．关于分子动理论和热力学定律，下列说法中正确的是（） A．空气相对湿度越大时，水蒸发越快 B．物体的温度越高，分子平均动能越小 C．第二类永动机不可能制成是因为它违反了热力学第一定律 D．两个分子间的距离由大于10﹣9m处逐渐减小到很难再靠近的过程中，分子间作用力先增大后减小到零，再增大 8．关于晶体和非晶体的说法，正确的是() A．所有的晶体都表现为各向异性 B．晶体一定有规则的几何形状，形状不规则的金属一定是非晶体 C．大粒盐磨成细盐，就变成了非晶体 D．所有的晶体都有确定的熔点，而非晶体没有确定的熔点 9．下列说法正确的是（） A．液晶的光学性质具有各向异性 B．空气的相对湿度定义为水的饱和蒸汽压与相同温度时空气中所含水蒸气的压强之比C．小昆虫能在水面上自由走动与表面张力无关 D．玻璃、石墨和金刚石都是晶体，木炭是非晶体 10．如图所示，甲、乙、丙三种固体物质，质量相等，从其温度随时间变化的图象可以判断（） A．甲是晶体，乙、丙是非晶体 B．乙是晶体，甲、丙是非晶体 C．乙是非晶体，甲的熔点比丙低
三角恒等变换知识点总结
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
三角恒等变换知识点加练习汇总
三角恒等变换测试题 ＿____贺孝轩 三角函数 1.画一个单位圆,则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? (只要两角之和为/2就行） ３.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+, α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= ４.和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± , βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12 sin 22 -= , 2)2 cos 2(sin sin 1α α α±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ,其中2 2 cos b a a += θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= ==
第四章 物态变化 基础训练
第四章物态变化基础训练 一、填空题 1、常用温度计是利用____________________的性质制成的，在一个标准大气压下，酒精的熔点是－117℃、沸点是78℃；水银的熔点是－39℃、沸点是357℃．你认为要测沸水的温度应选用_______（选填“酒精”或“水银”）温度计．如图，三支温度计的示数分别应该是（a）________℃；(b)________℃；(c)________℃. 2、⑴使用温度计时，首先要看清它的；然后要看清它的，这样才能正确测量所测的温度，并且不会损坏温度计。 ⑵用温度计测量烧杯内水的温度，如图12甲所示几种做法中正确的是图。 ⑶如图13乙中温度计的读数是。 3、读出右图所示的甲、乙温度计所示的温度值，甲是℃乙是℃ 4、物体的___________叫温度,常用温度计是根据液体的____________性质制成的,温度计的字母C表示采用 _________温度. 5、液体汽化的两种方式分别是和。气体液化的两种途径是和 . 6、物质通常是以三种形态存在，即固态，例如、液态，例如、和态，例 如。
二、选择题 7、以下说法中，你认为最符合实际的是 A．泰州盛夏中午室外温度可达38℃ B．冰箱冷冻室的温度约为5℃ C．人体的正常体温为35℃ D．泰州的最低气温可达-30℃ 8、给体温计消毒的正确方法是 A．用开水煮 B．用酒精灯加热 C．用自来水冲洗 D．用酒精棉花擦 9、－20 0C读做【】 （A）零下二十摄氏度（B）摄氏负二十度（C）零下摄氏二十度（D）二十摄氏度 10、温度与人们的生活息息相关。以下一些常见的温度值，你认为合理的是( ) A．人体正常体温是39℃ B．1标准大气压下，冰水混合物的温度为0℃ C．沸水的温度一定是100℃ Ｄ.适合人们洗澡水的温度约70℃ 11、如图所示为海波的熔化图像，根据图像，下列说法正确的是 A．海波的沸点是48℃ B．海波在BC段吸收了热量 C．海波在CD段是气态 D．6min时海波已全部熔化 12、 (2012江苏泰州，第24题)在下列“温度随时间变化”的图像中，能反映晶体凝固特点的是（）
知识讲解-三角恒等变换-基础
三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；
ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)
位置与方向知识点
【知识要点】 1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： （1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。 （2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。（书：练习一第3、4题；） 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平 面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北 下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。（书：习二第2题。） 5、看简单的路线图描述行走路线。 （1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 （2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 并能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识： （1）面对北斗星的方向是北方 （2）燕子冬天从北方迁徙到南方 （3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方 【巩固练习】 一、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会 2．与北极星相对的方向是( ) 。 A．东 B.南 C.西 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。 A．东南 B.西北C．东北 4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。 A．东B．南C．西 D.北 5．张丽面向南站立，当她向后转之后，她的左面是( )，右面是( )。 A．东B．西 C.北 2、说一说3路公共汽车的行车路线。（5分） 汽车站广场水利局