数列经典题目汇总
14.(全国卷II )
已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21
n
n b a =，1,2,3,n = ．
(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1
3
S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．
(注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2214a a a =
即)3()(112
1d a a d a +=+，得 10a d d ==或 因1
221+=
+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有11
221
==++n n a a b b n n
当d =1a 时，11
12112)12(,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有
1221+=+n n a a b b n n 2
1
= 于是数列{n b }是公比为1或
2
1
的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。 因而d =1a ≠0，这时公比q =21，112b d = 这样{}n b 的前n 项和为11[1()]
2212
n n d
S -=- 则S=11[1()]
122lim lim 112
n n n n d
S d →+∞→+∞-==-
由1
3
S =，得公差d =3，首项1a =d =3
15. (全国卷III)
在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等比中项.
已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k 解：由题意得：412
2a a a =……………1分
即)3()(112
1d a a d a +=+…………3分 又0,d ≠d a =∴1…………4分
又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===d
d a a q ，………6分 所以1
13
+?=n k a a n ………8分
又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分
13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分
16. （山东卷）
已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；
（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较
2(1)f '与22313n n -的大小.
解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当
1n =时
21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+
故总有112(1)n n a a ++=+，*
n N ∈又115,10a a =+≠从而11
21
n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；
（II ）由（I ）知321n n a =?-
因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++
从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()
23212321(321)n
n ?-+?-++?-
=()
232222n
n +?++? -()12n +++ =()1(1)
31262
n n n n ++-?-
+ 由上()
()22(1)23131212n f n n n '--=-?-()
2
1221n n --= ()()1212121(21)n n n n -?--+=12(1)2(21)n n n ??--+??①
当1n =时，①式=0所以2
2(1)2313f n n '=-；
当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-
当3n ≥时，10n ->又()011211n
n n n
n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ??--+>??即①0>从而2(1)f '>2
2313n n -
17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+
502
)
1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷）
已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n . （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ； （Ⅱ）求1
lim
-∞→n n
n u u .
（18）解：（Ⅰ）当b a =时，n n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和
n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①
①式两边同乘以a ，得 1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得 132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a 若1≠a ，
a a n a
a a S a n n n ++---=-+1)1(1)
1()1(，
2
21212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=
-+-+--=+++
若1=a ，2
)
3()1(32+=
+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n
n a n u )1(+=，则a n
n a na
a n u u n n n
n n n n =+=+=∞
→-∞
→-∞
→)1(lim )1(lim lim 1
1
． 当b a ≠时，112[1()()n n n n n
n n b b b u a a b ab b a a a a
--=++++=+
+++ 1
111()1()1n n n n b
a a a
b b a b a
+++-==---
此时，n
n
n n n n b a b a u u --=++-1
11． 若0>>b a ，a a
a b b a b a b
a u u n
n
n n
n
n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim
lim lim
1
11
． 若0>>a b ，b b
a b b a
a u u n
n n n n
n =--==∞→-∞→1)()(lim lim
1
．
19. （天津卷）若公比为c 的等比数列｛n a ｝的首项1a ＝1且满足：12
2
n n n a a a --+=（n ＝3，4，…）。
（I ）求c 的值。
（II ）求数列｛n na ｝的前n 项和n S 。
20. （浙江卷）已知实数a ，b ，c 成等差数列且和为15，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等
比数列，求a ，b ，c ．
解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ?++=?
+=??++=+?
………………
由(1)(2)两式，解得5b =
将10c a =-代入(3),整理得2
13220a a -+=
解得 2a =或11a =
故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。
21（浙江卷）设点n A (n x ，0)，1
(,2
)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －
1
12
n -，n x 由以下方法得到：
x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1
上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：
y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +
的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．
解：（I ）由题意，得2111(1
,0),:7A C y x x b =-+。 设点(,)P x y 是1C
上任意一点，则1||A P =
=令 2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意，得'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，
222127,x x b ∴=-+ 解得213,14.x b ==
故1C 方程为2714.y x x =-+
(II)设点(,)P x y 是n C
上任意一点，则||n A P = 令
222
()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则
'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.
由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++
11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*） 下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当n=1时，11,x = 等式成立。
②假设当n=k 时，等式成立，即21,k x k =-
则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+ 又11
242
,k k a k -=---
11
22 1.12
k k k
k k x a x k ++-∴==++ 即当1n k =+时，等式成立。 由①②知，等式对n N ∈成立。 {}n x ∴是等差数列。
22. (重庆卷)数列{a n }满足a 1=1且8a n +1-16a n +1+2a n +5=0 (n ≥1)。记2
1
1-
=
n n a b (n ≥1)。
(1) 求b 1、b 2、b 3、b 4的值；
(2) 求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n 。
解法一：
（I ）111
1,2;112a b ==
=-故22718
,718382
a b ===-故
3344311320,4;,.420342a b a b =====-故故
（II ）因2
1344284()()()33333
b b --=?=，
222213244444()(),()()()33333
b b b b -=--=-
故猜想42
{},2.33
n b q -=是首项为公比的等比数列
因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）。152(1).168n n
a
a n a ++=
≥-故
∵11
16820164144133633632
n n
n n n n a a b a a a ++---
=-=-=
--- 112016428442(),01336333
2
n n n n n
a b b b a a +--=-==--≠--
故2|3
4
|=-q b n 确是公比为的等比数列.
n n b b 23
1
34,32341?=-=-故因, )1(34231≥+?=n b n n ,121
2
11
+=-
=
n n n n n b b a a b 得由 n
n n b a b a b a S +++= 2211故121
()2
n b b b n =
++++ 1
(12)
51
3(251)1233
n n n n -=+=+--
解法二： （Ⅰ）由11111
,816250,1
2
2
n
n n n n n n n b a a a a a b a ++==
+-++=-
得代入递推关系 整理得
1114634
0,2,3
n n n n n n b b b b b b +++-+==-即 .3
20,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由
（Ⅱ）由11144442
2,2(),0,33333
n n n n b b b b b ++=--=--=≠
所以42
{},233n b q -=是首项为公比的等比数列
故4114
2,2(1).3333
n n n n b b n -=?=?+≥即
由12
n n b a =
-
得1
12
n n n a b b =
+ 故1122n n n S a b a b a b =+++ 121
(12)
15
3()2123
n n b b b n n -=++++=+-
1
(251)3
n n =+- 解法三：
（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2213243248284,,,()333333
b b b b b b -=
-=-=?= 11121
{},2,233
522,(1).168n
n n n n n
n n n
b b q b b a a a n a +++-=-=?+≠=≥-猜想是首项为公比的等比数列又因故因此
111112
1152121221682
n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-
+----
- 1681086;636363
n n n n n a a a a a --=
-=---
12112116816811116363
2
2
n n
n n n n n n a a b b a a a a ++++++---=
-
=
----
-
1362416820162().636363
n n n
n n n n n a a a b b a a a +---=
-==----
211121
0,{}2,2,33
n n n n n b b b b q b b ++-=
≠-=-=?因是公比的等比数列 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---
1211
(222)23114
(22)22(1).333
11
1,
122
n n n n n n n n n n b a b b a --=++++=-+=?+≥==+- 由得 故1122n n n S a b a b a b =+++ n b b b n ++++=
)(2
1
21
1
(12)
51
3(251).1233
n n n n -=+=+--
23. (重庆卷)数列{a n }满足)1(2
1
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数
e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k
那么22
1
))1(11(1≥+++
=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2
1
11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n
n n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2
1
11ln(ln 21
++++≤+
.21
1ln 2n n n n a +++
≤ 故n
n
n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得
1212
1
2121)1(1321211ln ln -++++-++?+?≤
-n n n n a a .2211112
1121
121111)3121(211<-+-=--
?+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥< （Ⅱ）证法二： 由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故 ).2()1(1 )1(11(21)11(21≥-+-+<+++ =+n n n a n n a n n a n n n n 令).2()) 1(1 1(),2(11≥-+ ≤≥+=+n b n n b n a b n n n n 则 取对数并利用已知不等式得 n n b n n b l n )) 1(1 1l n (l n 1+-+ ≤+ ).2() 1(1ln ≥-+ ≤n n n b n 上式从2到n 求和得 ) 1(1 321211l n l n 21-+ +?+?≤ -+n n b b n .11 113121211<--++-+- =n n 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e e b b a b n n 故 故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立 24. （江西卷）已知数列{a n }的前 n 项和S n 满足S n －S n － 2=3 ,2 3 ,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式. 解：方法一：先考虑偶数项有：212122211 3()3()22 n n n n S S ----=?-=-? 2323222411 3()3()22 n n n n S S -----=?-=-? ……… 33 42112()3().22 S S -=?-=-? 212332123322211111111 3[()()()]3[()()()] 2222222111() 1111 22434[()]2()(1). 1224214 n n n n n n n n S S n -----∴=-+++=-++++-=-?=--?=-+≥- 同理考虑奇数项有：222121113()3().22n n n n S S ---=-=? 22222123 11 3()3()22 n n n n S S -----=?-=? ……… .)2 1 (3)21(32213?=-?=-S S 22222211221221212221212221111111 3[()()()]2()(1). 2222 111 2()(2())43()(1).222111 2()(2())43()(1). 222 1. n n n n n n n n n n n n n n n n S S n a S S n a S S n a S -+-++---∴=++++=-≥∴=-=---+=-?≥=-=-+--=-+?≥== 综合可得??? ?????+-?-=--.,)21(34,,)2 1(3411为偶数为奇数n n a n n n 方法二：因为),3()2 1(31 112≥-?=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以 两边同乘以n )1(-，可得： .)2 1 (3)21()1(3)1()1(1111----?-=-?-?=---n n n n n n n a a 令).3()2 1(3,)1(1 1≥-?-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)2 1(31 1---?-=-n n n b b ,)2 1 (3221----?-=-n n n b b ……… 2321 3(),2 b b -=-?- 212222111() 1114423[()()()]3122212 n n n n b b b ----?∴=-+++=-? - ).3()2 1(3231 2≥?+-=-n b n 又1122135 1,1,22 a S a S S ===-=--=- 1211225 (1)1,(1)2 b a b a ∴=-=-=-=- ∴11 53113()43()(1)2222 n n n b n --=--+?=-+?≥ ∴11(1)4(1)3(1)()2 n n n n n n a b -=-=--+?-? 31143(),,2143(),.2 n n n n --?-???=??-+???为奇数为偶数 25. （江西卷） 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 011 1,,(4),.2 n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,2 3)4(21,10010=-=