Riemann积分与Lebesgue积分
勒贝格积分
勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。 概念简述 定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使 S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分； 后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后 计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1) 即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加 以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路 程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将 小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。 勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如 计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别 摘要 本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。 关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分
1、定义 1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义 1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间 [][][]n n x x x x x x ,,,12110- 1x ? 2x ? n x ? 2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ??-ξξ..,,1 3）()i i n i x f ?∑=ξ1 4）取极限令{}i x T ?=max —T 的细度，若()i n i i T x f ?∑=→1 0lim ξ存在 ()()∑?=→?=n i i i T b a x f dx x 1 0lim ξ 1.2勒贝格积分定义 设()x f 在有限可测集E 上有界 1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 n i i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一 个L-分划 2）设{}n E E E D 21=，{}' '2 '1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈?存在j i j E E t s D E ?∈' ..称D 比'D 细（D D 是'的加细） 3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b i i E x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i n i i mE b f D s ∑==1' ,在划分D 下()x f 的小和
Lebesgue积分和Lebesgue的理论
Lebesgue积分和Lebesgue的理论 Abrat Chen, pku 作为日志，写得比较随意，希望不会造成误导。。 一 2011年刚刚过去，当我想起自己到底在2011年收获了什么的时候，总是能够想起许多的失败的经历，而其余的收获又几乎微不足道，唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于Lebesgue的美妙理论有所了解。我真的很喜欢这个理论，或许是因为我喜欢公理化的东西，这也许可以解释我的物理的悲剧。。 整个过程持续的时间很长，从2011年的春季，那时候在看一本书，但是学得很不明白。真正有所感触，大概要到9月份，那时候在抽象测度论上还是比较磕绊，再后来，鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己学习这些东西的历程和心得，逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。虽然我觉得在面试的时候自己讲的不好，但是，对于自己学习这套理论来说，效果非常得好，很多没有想明白的东西终于想明白了。所以，我得到这样一种印象，学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。 我看的书是Friedman的Foundations of Modern Analysis，包含了实变和泛函的内容，关于实变的部分，组织材料的方法非常奇怪，它先将\sigma-代数，然后讲抽象的公理化的外测度（可以初步地认为外测度和测度都是长度或者面积的推广），然后是公理化的抽象的测度，接着推出的Caratheodory的定理，这条非常要紧，就是说每个外测度都可以诱导出一个测度，只不过要限制在一部分集合上，这些集合叫做可测集。什么意思呢？外测度是大的集合X（可以具体地想成是欧氏空间神马的）的所有子集都有定义的（比如欧氏空间的所有子集都有外测度），但是外测度的公理说了这么三条： 首先它是从X的幂集（X的全体子集的集合）到非负实数的映射。 （1）空集的外测度是0 （2）F是E的子集，于是F的外测度小于等于E的外测度（这条叫做单调性） （3）次可数可加性，就是说A可以写成En的并，En是集合序列（当然是可数个咯），那么A的外测度小于等于En各自的外测度之和（这个和当然是一个非负无穷级数） 这三条都是非常自然的，第三条或许会有些疑虑，其实也很自然，因为En之间可能有交集的，外测度可以想成是长度或者面积的推广，计算A的外测度的时候，这些重叠部分只被算了一次，而计算En的外测度之和的时候，它们都分别被算了，也就是说，被重复计算了，当然会大。 但是外测度有很严重的缺陷，就是，它没有可加性，就是说，我们期待着两个集合A，B不交，那么A并B的长度应该是它们长度之和。所以引入测度的公理： （1）空集的测度是0 （2）可数可加性，这个性质比刚才举的这个A和B的例子还好，现在是说En是集合列，En两两不交，那么它们的测度之和等于它们的并（这个并是不交并）的测度。
定积分的概念和性质公式
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
黎曼积分与勒贝格积分
黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σf(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。 勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述 定义：设f (x) 是E ∈L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈L(E) ，如果对任意ε> 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)
即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块 上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。 黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。 用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。 [0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度+ 无理数集的长度。 所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。 由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
Lebesgue积分与Riemann积分的区别
Lebesgue 积分与Riemann 积分的区别 Lebesgue 积分与Riemann 积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。Riemann 积分是近代数学的核心，lebesgue 积分是现代实变函数论的核心。 在有界函数范围内，R 积分存在以下缺陷。 1）R 积分与极限可交换的条件太严； 2）积分运算不完全是微分运算的逆运算； 3）不适宜于无界区间：R 积分只能用来在有界区间内对函数进行积分； 4）缺乏单调收敛。 1 积分的定义 1.1 L 积分的定义 定义1：设 () f x 是 () n E R mE ?<∞上的非负可测函数。定义()f x 是E 上的Lebesgue 积分()()()()sup x E h x f x E E f x dx h x dx ∈≤???? =?? ????? ?，()h x 是n R 上的非负可测简单函数，积分可以是+∞； 若()E f x dx <∞ ?，则称()f x 在E 上是Lebesgue 可积的。 设()f x 是n E R ?上的可测函数，若积分()E f x dx + ?、()E f x dx - ?中至少有一个是 有限值，则称()()()E E E f x dx f x dx f x dx + - =-???为()f x 在E 上的Lebesgue 积分；当上 式右端两个积分值结尾有限时，则称()f x 在E 上Lebesgue 可积的。 定义2：设E 是一个Lebesgue 可测集，mE <∞，()f x 是定义在E 上的Lebesgue 可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(),f x l μ?，在[] ,l μ 中任取一分点组D 01n l l l l μ=<< <= 记 ()() 11max k k k n D l l δ-≤≤=- ()() 1k k k E E l f x l -=≤≤ 并任取i k E ζ∈（约定当k E =Φ时，()()0i k f m E ζ=），作和 ()()() 1 n i k k S D f m E ζ==∑ 如果对任意的分法与i ζ的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 数学系1302班第五组 07 樊萌 12 韩鸿林 19 兰星 21 李鸿燕 45 王堃 51 武相伶 54 许小亭 57 杨莉
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ?∈=,sup ,(){}i i x x x f m ?∈=,inf ,i i i x x x -=?+1,()11-=-=∑i i n i i x x m s ()11 -=-=∑i i n i i x x M S ,若有 dx s dx S b a b a ??= 则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积. 2、勒贝格积分定义：, 0>?δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i n i i mE y ∑=-→110 lim δ存在,则()x f 勒贝格可积. 3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f =+ ， ()(){}0,m in x f x f -=- ,则有()()()x f x f x f -+ -= ,若()dx x f E +? ,()dx x f E _ ?不同时为∞,则 ()x f 在E 上的积分确定且 ()()()dx x f dx x f dx x f E E E -+??? -=. 4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E n i i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为 ()i n i i E mE c dm x f ∑?==1 ,若()∞
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
分类号O172.2 编号2012010644 毕业论文 题目 学院 姓名 专业 学号 研究类型 指导教师 提交日期
原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系. 关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数. The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque Integral Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented. Keywords:Riemann integral; Lévesque integral; measurable function; integral function
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2
梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区
勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
勒贝格积分的若干简介 我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。 首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]： ⑴R 积分与极限可交换的条件太严。 ⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。 ⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。 鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。 在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。 下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。 关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较 1.1勒贝格积分的定义[3]: 定义1：设)(x f 是n R E ?()∞ 泛函分析 题目：Lebesgue积分的叙述学院：理学院 专业：基础数学 ：晓玉 日期：2015年12月23日 目录 摘要 ................................................................................................................. I 引言 (1) 一、Lebesgue积分的定义 (2) 二、Lebesgue控制收敛定理 (4) 三、黎曼积分与Lebesgue积分的关系 (5) 四、全连续函数 (6) 参考文献 (6) Lebesgu e积分的论述 摘要：Lebesgue积分是Lebesgue在发现黎曼积分的缺陷后在黎曼积分定义的基础上扩的一种新的积分方法，本文以Lebesgue积分的三种等价定义为主，Lebesgue控制收敛定理为辅来认识的Lebesgue积分，希望能对Lebesgue积分有个基础的认识，同时本文还简单介绍了一下全连续. 关键词：Lebesgue积分、黎曼积分、全连续 引言：黎曼积分的概念与理论是数学史上非常重要的一部分，它作用于许多学科，比如常微分方程、复变函数论和概率论等课程中.但是黎曼积分有一个很大的缺点，就是黎曼可积函数列的极限并不一定是可积的，或者说黎曼可积函数类对极限运算是不封闭的.换句话说，黎曼可积函数对极限运算是不完备的.所以我们希望扩黎曼可积函数类，即重新定义一种积分，它的可积函数类对极限是封闭的.也就是说，我们要给出的一种新的积分定义，这就是20世纪初Lebesgue引进的Lebesgue积分. 目录 摘要 (2) 英文摘要 (2) 1.引言 (3) 2.勒贝格积分在数学分析中的应用 (3) 2.1 在概念方面 (3) 2.2 在定理方面 (3) 3.勒贝格积分的计算 (3) 3.1可测函数与连续函数有着密切的关系 (4) 3.2连续函数与可积函数的关系 (5) 4.勒贝格积分的优越性 (6) 4.1从()R积分与()L积分对比中看()R积分 (6) 4.2应用()L积分理论可以简便解决数学分析中的某些问题 (8) 小结 (11) 致谢 (11) 参考文献………………………………………………………………… 摘要 勒贝格积分是变限积分函数中重要的一部分内容，实变函数是数学专 业开设的一门重要课程。山西财经大学的于秀兰，绍兴文理学院的倪仁兴 等对勒贝格积分函数均有所论述，其中绍兴文理学院的倪仁兴从两个不同 的角度深刻的说明了勒贝格积分应用范围之广。本文在借鉴他们的基础上，主要从三个方面对勒贝格积分进行研究。 关键词：勒贝格()L积分，实变函数，数学分析，一致收敛 Abstract Lebesgue inteqral is an important part in integral, Real Variable Function is an important course in Mathematical analysis. Lebesgue integral is discussed by Shanxi University of Yu Xiulan, Shaoxing University of Ni Renxing .In this paper,they draw on the basis of three main areas to study the Lebesgue inteqra l. Keyword：Lebesgue integral, Real Variable Function, Mathematical analysis, unanimously Convergence 第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测 一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点： ◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示； ◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异； ◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。 ◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。 ◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法； 注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。 ◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。 ◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论： ① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0E f x x =??()0..f x a e =于E （称 为非负可测函数积分值为零的特征）； ② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）； ③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足： n y ，lim n n y →∞ =+∞，00y =，1n n y y δ+-<， 则()()f x L E ∈?10 [()]n n n n y mE x y f x y ∞ +=≤<<+∞∑； ④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ??，A 为可测集，总有 lim ()d 0mA A f x x →=?， 即0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总有 0()d A f x x ε≤ 浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别 有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。然而对广义Riemann 积分 来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。 一、积分定义 Riemann 积分定义 假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10及任意 [],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 11 0→-+-≤≤i i n i x x 就有 A x x f i i n i i →-+-=∑)()(1 1 ξ 则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。 Lebesgue 积分定义 设n R E ?是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使 {}).,()()(βα?∈=E x x f E f 若 βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记 {}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ， 对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式 ε<-A D S )(， 则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。 若)(x f 是E 上的可测函数，且∞ 1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 分类号O172.2 编号 2012010644 毕业论文 题目 学院 姓名 专业 学号 研究类型 指导教师 提交日期 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名： 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系. 关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数. The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque Integral Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented. Keywords: Riemann integral; Lévesque integral;measurable function; integral function 目录 1引言..................................................... 错误!未定义书签。２积分理论的发展....................................... 错误!未定义书签。3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较?错误!未定义书签。 3.1黎曼积分?错误!未定义书签。 ３.2 勒贝格积分?错误!未定义书签。 4黎曼积分与勒贝格积分的关系?错误!未定义书签。 ５黎曼积分和勒贝格积分性质的比较?4 5.１被积函数绝对可积性的比较............................ 错误!未定义书签。 5.２被积函数的有界性的比较?错误!未定义书签。 5.3中值定理............................................. 错误!未定义书签。 ５.４被积函数连续性的比较?错误!未定义书签。 5．５收敛条件............................................ 错误!未定义书签。6黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系 ........ 错误!未定义书签。７勒贝格积分的某些推广................................ 错误!未定义书签。8结束语.................................................... 错误!未定义书签。参考文献?错误!未定义书签。 致谢?错误!未定义书签。 黎曼积分和勒贝格积分的比较 数学系本1０01班王海荣 指导老师：张炎彪 摘要:本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系,通过两者的定义、被积函数的连续性,有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势,同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广,但是却不是黎曼反常积分的推广。 关键词:黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。 Ｒｉｅmaｎn iｎｔｅgrａl ａnｄ the Lebesgue intｅgｒaｌ Wang Hａiroｎｇ Clａss1001，Ｍaｔhematｉcs Dｅｐartmｅnｔ Tuｔoｒ:Zhang Yanｂiao Ａbstｒact ：Iｎ my ｔhesis, basｅd on ｔhe ｋnoｗlｅdgｅｏf the Rｉemａｎn iｎtegrａｌanｄ tｈe Lebesｇｕe inｔegｒal, ｗe want t ｏｅxplore anｄsｕmmａrｉｚe the ｄiｆｆerence and conneｃtｉon b ｅｔｗeen the Ｒiemanｎｉntegｒaｌaｎd the Ｌｅbesｇｕｅｉｎtegra ｌ． Through the dｅfiｎｉtion of both itemｓ, the coｎtiｎuity and bouｎdedness ｏｆ the iｎtｅgｒanｄ, the conveｒgｅnce ｃｏndiｔion, the iｎｔermeｄiate vａlue theorem, ａbsoｌｕte Inteｇrability aｎd the cｏｍpａrｉson oｆ the ｂroaｄseｎｓｅｏf Rｉｅmann inｔeｇｒal and tｈｅＬｅbesgｕe inteｇｒal, It ｓhoｗs Lebesgue intｅgｒａl has some advantages iｎ the ｔreaｔment of sｏme dｉffiｃult pｒoｂl ｅｍs on Riｅｍａｎn inｔｅｇraｌ, and also pｏintes ｏut ｔhaｔｔh ｅLeｂｅsｇuｅｉntｅgrａl ｉs an ｉｍpoｒtant generalizaｔion o ｆ Rｉemann ｉntegral, ａnd it is noｔthe pｒomotioｎ of Riemann ａnomalouｓ iｎtegraｌ．Lebesgue积分地论述
勒贝格积分函数的研究 汤倩南
第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测
浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别
5.1 定积分的概念与性质-习题
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系Word版
黎曼积分和勒贝格积分定义的比较