2016年高考数学回归课本必备

2016年高考数学回归课本必备

1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。

2．在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况． 3，含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为2n －1; 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B; C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=? 5、A ∩B=A ?A ∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B=??C U A ∪B=U 6、命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是

p q ??；否命题是

p q ???；命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q”

7、指数式、对数式：

m n

a =1m n

m n

a

a -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)

b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N

a

N =。

8、二次函数

①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a ≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数

422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） ④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

二次函数0)(2>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是 ???<->040

2ac b a .

9、反比例函数:)0x (x

c

y ≠=平移?b x c a y -+=(中心为(b,a))

10、函数x

a

x y +

=是奇函数,上为增函数，，

在区间时)0(),0(,0∞+-∞

递减，在时)0,[],0(,0a a a -> 递增，

在),a [],a (+∞--∞ 11．函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>-- 上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果

0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

12．画函数图像应该的顺序是：定义域、奇偶性、列表等。

函数()(),y f x y f x ==的图像如何画？

13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．

14、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 15、周期性。

(1)若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

（2）函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”： ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1

()(0)()

f x a a f x +=

≠恒成立，则2T a =； ③若1

()(0)()

f x a a f x +=-

≠恒成立，则2T a =. 16、函数的对称性。

(1)满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2

a b

x +=

对称。 （2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍

在图像上；

（3）反比例函数:)0x (x c y ≠=平移?b

x c

a y -+

=(中心为(b,a)) 17.一平二等的的含义：

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数y=)(a mx f +与函数()y f b mx =-的图象关于直线2b a

x m

-=

对称. ()()f a mx f b mx ?+=-

题型方法总结

18判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 19求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。 如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()

2x f 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；

（2）若221

)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；

（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当

)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：(1x ）.

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。 （3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。 如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2

()33

f x x =--）； （2）已知()f x 是奇函数，)(x

g 是偶函数，

且()f x +)(x g = 11

-x ,则()f x = （答：21

x x -）。 20求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;

若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；

如：若函数)(x f y =的定义域为??

?

???2,21，则)(

l o g 2

x f 的定义域为____

（答：{}

42|≤≤x x ）（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=?.若)(x f 的定义域为R ,则

0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要检验.

21求值域:

①配方法：如：求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；

②逆求法（反求法）：如：313

x

x

y =+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））； ③换元法：

如（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17

[4,

]8

-）； （2

）21y x =+的值域为_____（答：[)3,+∞）

t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：2sin 11cos y θθ-=

+的值域（答：3

(,]2

-∞）；

⑤不等式法

――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。

如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则212

21)(b b a a +的取值范围是

____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x =++

，()3log 5y x =--的值域为______

（答：80(0,)9、11

[,9]2

、[)0,+∞）；

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 如（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求

2

y

x +及2y x -的取值范围

（答：[33

-

、[）

；

（2）求函数y =的值域（答：[10,)+∞）；

⑧判别式法：如（1）求21x y x =

+的值域（答：11,22??

-????

）；（2）求函数y =的值域（答：1

[0,]2）如求211

x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）

⑨导数法;分离参数法;

―如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x

y x x +=

∈--②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y ；③)0,(,1

3

2-∞∈-+-=

x x x x y 22 抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？

几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()

()()

x f x f y f y =；

③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()

()()

f x f x y f y -=；

④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x

f f x f y y

=-；

⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()

()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

23、恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题. a ≥f(x)恒成立?a ≥[f(x)]max,; a ≤f(x)恒成立?a ≤[f(x)]min ; 给参数范围求自变量范围常用变元思想解决

任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 即f （x ）＝()()g x h x ＋

其中g （x ）＝f x f x 2

（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2

（）－（－）是奇函数

24利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、

递推法、反证法等）进行逻辑探究。如

（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是_____（答：奇函数）； （2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，

则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<

()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x < （答：(,1)(0,1)(,3)22

π

π

-

- ）；

（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x

f f x f y y

=-，且1x >时，

()0f x <，又1

()12

f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：

(][)0,14,5 ）

． 25、导数几何物理意义:k=f /(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度。 26、a n ={

)

,2()

1(*11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。

27、

)*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+- ?,,,);0()(2=+=?+=?B A b a Bn An s b an a n n 的二次常数项为一次

2n n-1n 1n 1n a a a (n 2,n N)a }q();a 0n

n a a +-?=?≥∈??=?≠?

｛等比定

?m ;a a 11n =?-=??=?-n n n q m m s q

28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

)00

(001

1??

?≥≤???≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

29、等差数列中a n =a 1+(n-1)d;S n =d n n na 2)1(1-+

=d n n na n 2

)1(--=2)

(1n a a n +

等比数列中a n = a 1 q n-1

;当q=1,S n =na 1 当q ≠1,S n =q

q a n

--1)1(1=

q q a a n --11 30. 常用性质：

等差数列中, a n =a m + (n －m)d, n

m a a d n

m --=

;当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ； 等比数列中，a n =a m q n-m ; 当m+n=p+q ，a m a n =a p a q ；

31. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……

仍为等差数列。

等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列。

如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列

32 求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 33求通项常法:

（1）已知数列的前n 项和n s ,求通项n a ，可利用公式:

??

?≥-==-2)(n S S 1)(n S a 1n n 1n （2）先猜后证

（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法) （4）构造法形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列

如①已知111,32n n a a a -==+，求n a

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运

用a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝

11

2

2n 1n 1n n a a a a a a a －－－? （6）倒数法形如1

1n n n a a ka b

--=

+的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知1

111,31

n n n a a a a --==

+，求n a （答：132n a n =-）；

②已知数列满足1a =1

，=n a （答：2

1

n a n =

）

34、（1）常见和：1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)6

n n n n +++=++ ，

33332

(1)123[]

2n n n +++++=

（2）应用问题：单利用等差，复利用等比

分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1n

n

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 35、终边相同(β=2k π+α); 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22

S lR R α==，

1弧度(1rad)57.3≈ .

36、函数y=++?)sin(

?ωx A b （0,0>>A ω）

①五点法作图;

②振幅?相位?初相?周期T=

ω

π2,频率?φ=k π时奇函数;φ=k π+2π

时偶函数.

③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0; 对称轴？对称中心？余弦、正切可类比. （正切图像的渐近线与轴交点也是对称中心） ④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;

)sin()sin(sin 1|

|Φ+=???????→?Φ+=????→?=Φx y x y x y ωω倍

横坐标伸缩到原来的

左或右平移

)sin(sin sin |

|

1

Φ+=?

???→?=???????→

?=Φ

x y x y x y ωωωω左或右平移倍

横坐标伸缩到原来的

b x A y x A y b A +Φ+=????→?Φ+=???????→?)sin()sin(|

|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的

37、正弦定理:2R=A a sin =B b sin =C c sin ;余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc

a c

b A 2cos 222-+=;

38、内切圆半径r=

c b a S ABC ++?2 111

sin sin sin 2

22S ab C bc A ca B ===

39、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角)

40、重要公式： 22cos 1sin 2

αα-=

；2

2cos 1cos 2

αα+=．；αααααααs i n c o s 1c o s 1s i n c o s 1c o s 12t

a n -=+=+-±=;2

sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θ

θθθθ±=±=±

（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2

x π

∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

.

41巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等）

42、辅助角公式中辅助角的确定：

()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b a

θ=由点(,)a b 的象限决定)

43

、+≤±≤-,

44、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ

＝

向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，

则a ∥b(b ≠0)a b λ?=

12210x y x y ?-= a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.

45、 →

1e 和→

2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→

→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)

特别：. ＝12OA OB λλ+

则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.

46、在ABC ?中， 1()3

PG PA PB PC =++

?G 为ABC ?的重心， 特别地0PA PB PC P ++=?

为ABC ?的重心；

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标

是1231

23

(,)33x x x y y y G ++++. 47、 PA PB PB PC PC PA P ?=?=??

为ABC ?的垂心；

48、 向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠

所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?

ABC ?的内心； 三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心（中垂线）222

OA OB OC ?== .

（2）O 为ABC ?的重心（中线）0OA OB OC ?++=

.

（3）O 为ABC ?的垂心（高）OA OB OB OC OC OA ??=?=?

.

（4）O 为ABC ?的内心（角平分线）0aOA bOB cOC ?++=

.

（5）动点p 满足(),0,,sin sin AB AC op OA AB B AC C λλ??

?=++∈+∞ ???

则p 过重心 （6）动点p 满足(),0,,cos cos AB AC

op OA AB B AC C λλ?? ?=++∈+∞ ???

则p 过垂心 （7）p 满足(),0,,2cos cos OB OC AB AC

op AB B AC C λλ??+ ?=++∈+∞ ???

则p 过外心 （8）动点p 满足(),0,,AB AC op OA AB AC λλ?? ?=++∈+∞ ???

则p 过内心 49、两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒” 即ａ＞ｂ＞ｏ11a b ?

<，ａ＜ｂ＜ｏ11

a b

?>． 50、分式不等式

()

,(0)()

f x a a

g x >?的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） 51、常用不等式：若0,>b a ，

（1

2211

a b +≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则

1b b m a m a

a a m

b m b

++<<<<++（糖水的浓度问题）。 （4）柯西不等式 ))(()(2

221222122211b b a a b a b a ++≤+，(当且仅当i i b a λ=时取“=”号)．

52、①一正二定三相等；

②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；

53、如：①函数

)21

(4294>--

=x x x y 的最小值 。（答：8）

②若若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：； ③正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______

（答：3+；

54、b a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；|a|≥a ；|a|≥－a 55、不等式证明之放缩法

Ⅰ、k

k

k k k 21111<

++=

-+；

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 11

1)1(112+-

=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、

)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；

已知122

22=+b

y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；

57、解绝对值不等式:

①几何法(图像法) ②定义法(零点分段法); ③两边平方 ④公式法：|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x) or f(x)<-g(x)

|f(x)|

58. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ?α) 、a ?α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 59. 位置和符号

①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ?α) 、a ?α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 60. 常用定理:

①线面平行ααα////a a b b a ???

???

??;αββα////a a ?????;

ααββα//a a a ???????⊥⊥

②线线平行:b a b a a ////??????=??βαβα;b a b a //????⊥⊥αα;b a b a ////???

???

=?=?γβγαβα;b c c a b a //////???? ③面面平行:βαββαα////,//,???

?

??

=???b a O b a b a ;βαβα//????⊥⊥a a ;γαβγβα//////????

④线线垂直:b a b a ⊥??

??

?⊥αα;所成角90

；PA a AO a a PO ⊥???

???

⊥?⊥αα(三垂线);逆定理? ⑤线面垂直:ααα⊥??????⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥???

???

⊥?=?⊥a l a a l ,;βαβα⊥????⊥a a //;αα⊥????⊥b a b a // ⑥面面垂直：二面角900;

βααβ⊥??

??

⊥?a a ;

βααβ⊥??

??

⊥a a //

61. 求空间角之异面直线所成角θ的求法：

（1）范围：(0,]2

π

θ∈；

（2）求法：平移以及补形法、向量法。

（3）直线a 、b 的方向向量为,a b

,直线a 、b 所成的角为θ,则sin sin ,a b θ= 63、求空间角之直线和平面所成的角：

（1）范围[0,90]

；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）

（4）直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面所成的角为θ,平面的法向量为u ，直线l 与平面法

向量的夹角为φ,则 cos sin ,a u θ=

64求空间角之二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：

cos S S θ?射原＝、转化为法向量的夹角。

平面,αβ的法向量为,a b

，平面,αβ成角为φ,则 sin sin ,a b φ= ，在借助图像求角

65. 空间距离:

①异面直线间距离:找公垂线;

②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、

向量法

PA n h n

?= . ③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

66. 从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上； 三余弦定理：cos cos cos θαβ= 67. 常用转化思想:

①构造四边形、三角形把问题化为平面问题 ②将空间图展开为平面图 ③割补法 ④等体积转化

⑤线线平行?线面平行?面面平行 ⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直

⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.

常用结论：棱长为a

的正四面体的高为3a

，体积为3

12

a ，对棱成角为2π、其距离

为2a 。内切球的半径为

r=12,外接球的半径为

R=4a .:3:1R r h R r +=??

=? 69.类比结论：长方体:

对角线长l 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱成

角分别为α,β,γ,则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;

三角形的面积公式s ()1

2

p a b c =

++

，圆内接四边形面积s 你还知道一些什么类比结论？ 70、求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解。 71，直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)或（1，k ） 72.两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=， 两不重合直线平行的充要条件是 12210A B A B -=

73.点线距d=

2

200|

|B A C By Ax +++;点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点(,)P m n '的坐标

为00022000

22

2()2()

A Ax By C m x A

B B Ax By

C n y A B ++?

=-??+?++?=-??+ 特别地当1k =±时，直接代入直线方程 74.圆一般方程:22220,(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->

参数方程:??

?+=+=θ

θ

sin r b y cos r a x ;直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0

75.把两圆221110x y D x E y F ++++=与222220x y D x E y F ++++=方程相减即得相交弦所在

直线方程:()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=;（必须是相交的）

推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0

76.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)

77，过圆x 2+y 2=r 2上点P(x 0,y 0)的切线为:x 0x+y 0y=r 2;过圆x 2+y 2=r 2外点P(x 0,y 0)作切线后切

点弦方程x 0x+y 0y=r 2:;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴. 过圆22220,(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->外点P(x 0,y 0)

作切线，则切线长为

PT =78.椭圆①方程

1b y a x 22

2

2=+(a>b>0);参数方程???==θ

θsin b y cos a x ②定义:

相应

d |

P F |=e<1;|PF 1|+|PF 2|=2a>2c

③e=

22

a b 1a c -=,a 2=b 2+c 2④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左

焦点弦)x x (e a 2AB B A ++=,右焦点弦)x x (e a 2AB B A +-=⑥准线x=c

a 2±、通径(最短焦点弦)

a

b 22

,

焦准距

p=c

b 2⑦

2

1F PF S ?=

2

tan

b 2θ

,当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大,近地a-c 远地a+c;

79.双曲线 ①方程1b y a x 2

2

22=-(a,b>0) ②定义:相应

d |P F |=e>1;||PF 1|-|PF 2||=2a<2c

③e=2

2

a b 1a

c +=,c 2=a 2+b 2 ④四顶点坐标？x,y 范围? 实虚轴、渐近线交点为中心

⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离 ⑥准线x=c

a 2±

、通径(最短焦点弦)

a

b 22,焦准距p=

c

b 2 ⑦

2

1F PF S ?=

2cot

b 2θ

⑧渐近线

0b y a x 22

2

2=-或

x a b y ±=;焦点到渐进线距离为b;

80.抛物线①方程y 2=2px ②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴？焦点F(2

p ,0),准线x=-2

p ,④焦半径2

p

x AF A +

=;

焦点弦AB ＝x 1+x 2+p=

22sin p α

;y 1y 2=－p2,x 1x 2=42

p ⑤通径2p,焦准距p;

81，求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.

82.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分

别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解

83、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.

84.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦

长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式

|a |)k 1(x x k 1AB x x

2

122

?+=-?+=1

22y y k 11-?+=|a |)k 11(y y 2?+=

②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.

85.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点

P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化,Q(x 1,y 1)在已知曲线上,用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.

86，运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为

Ax 2+Bx 2＝1;共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程可设为λ

λ(b y a x 22

22=-为参数,λ

≠0);抛物线

y 2=2px 上点可设为(p

2y 2

,y 0);直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理

及圆锥曲线定义.

87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;

（3）给出0

=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()

+=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=

使；③若存在实数

,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+

且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出

λλ++=

1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ=

（7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于

已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,

（8

）给出MP =?? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-

，等于已知ABCD 是矩形; （11）在A B C ?中，给出2

2

2

OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的

圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC ?中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心

是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC ?中，给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出

+=()||||AB AC AB AC λ+ )(+

∈R λ等于已知通过ABC ?的内心；

（15）在ABC ?中，给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内

切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16） 在ABC ?中，给出()

12AD AB AC

=+

,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;

88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合

89、排列数公式:m

n A =n(n-1)(n-2)…(n-m ＋1)=

)!

m n (!n -(m ≤n,m 、n ∈N*),

0!=1; n n A =n!; n.n!=(n+1)!-n!;11--=m n m n nA A ;11-++=m n m n m n mA A A

90、组合数公式：

123)2()1()

1()1(!?????-?-?--???-?=

=m m m m n n n m A C m n m

n

=!n （m ≤n ）, 10=n C ;r n r n

r n m n n

m n C

C

C C

C 11;+--=+=;;C C C C 1r 1n r n r 1r r r

+++=+???++11--=m n m

n

C m n C ;

91、主要解题方法：①优先法②捆绑法③插空法④间接扣除法⑤隔板法⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题)

92、二项式定理n n n r r n r n n n n n n n

n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( 特别地：(1+x)n =1+C n 1x+C n 2x 2+…+C n r x r +…+C n n x n

93、二项展开式通项: T r+1= C n r a n －r b r ;

作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数

与项的系数；

94、二项式系数性质:

①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.C n m =C n n －m

②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若n 为奇数,中间两项(哪项?)

③二项式系数和;2;21

3120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

95、f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为f(1);

奇次项系数和为)]1()1([2

1--f f ; 偶次项系数和为)]1()1([2

1-+f f ;

n by ax )(+展开各项系数和,令1==y x 可得.

96、随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，必然事件()1P A =；不可能事件P(A)=0；反之不成

立 。等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n 互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 独立事件(事件A 、B 的发生互不影响):P(A ?B)＝P(A)·P(B) 独立事件重复试验：:P n (K)=C n k p k (1-p)n-k 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率。 97、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时，又叫按比例抽样)(3)系统抽样（又叫等距离抽样）. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等

n

N

。 98、总体分布的估计样本平均数：∑==+?+++=n

i i n x n x x x x n x 1

3211)(1

样本方差：2

222

121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 21

1()n i i x x n ==-∑；

＝

n

1

(x 12+x 22+ x 32+…+x n 2－n 2x ) 方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。 提醒：若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均数为ax b +，方差为22a s 。

99、离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）0(1,2,)i P i ≥= ;（2）121n P P P +++= . 数学期望 1122n n E x P x P x P ξ=+++ 数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+.

（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.若ξ～(,,)H n M N ，则M E n

N

ξ= 方差()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+ =22()()E x E x +

标准差 σξ=ξD .方差的性质 (1)()2D a b a D ξξ+=；

(2）若ξ～两点分布，则()(1)V x p p =-、若ξ～(,)B n p ，则()(1)V x np p =-、

若ξ～(,,)H n M N ，则()()

()(1)

M N M N n V x n

N N N --=??- 100、 复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +

几何意义？