极限计算方法总结

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极限计算方法总结

极限是《文科数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给大家的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《文科数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便大家更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《文科数学》教材,这里不一一叙述)。

说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的

极限严格定义证明,例如:)0,(0lim

≠=∞→a b a an

b

n 为常数且;

5)13(lim 2=-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,

当,1||1||0lim q q q n

n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需

再用极限严格定义证明。

2.极限运算法则

定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[

(2)B A x g x f ?=?)()(lim

(3))0(,)()(lim

成立此时需≠=B B

A

x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,

不能用。

3.两个重要极限 (1)

1sin lim

0=→x

x

x

(2)

e x x

x =+→1

)1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,

例如:

133sin lim 0=→x

x x ,e x x x =--→210)21(lim ,e x x

x =+∞→3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

x ~x sin ~x tan ~x arcsin

~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。

说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x

e ~ x 3 ;)1ln(2

x - ~ 2x -。

定理4 如果函数

)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~

)(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当)

()(lim 110

x g x f x

x →存在时,)()(l i m 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim

110

x g x f x x →,即)()

(lim 0x g x f x x →=)

()(lim 110x g x f x x →。

5.洛比达法则

定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(x f 和)(x g 满足:

(1))(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大;

(2))(x f 和)(x g 都可导,且)(x g 的导数不为0; (3))

()

(lim

x g x f ''存在(或是无穷大); 则极限)()(lim

x g x f 也一定存在,且等于)()(lim x g x f '',即)()(lim x g x f =)

()

(lim x g x f '' 。

说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不

满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“

00”型或“∞

”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。

6.连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数)(x f 的定义去间

内的一点,则有)()(lim

00

x f x f x x =→ 。

7.极限存在准则

定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

定理8(准则2) 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列,且满足:

(1)

),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n

(2)

a y n n =∞

→lim ,a z n n =∞

→lim

则极限∞

→n n x lim 一定存在,且极限值也是a ,即a x n n

=∞

→lim 。

二、求极限方法举例

1. 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1

1

2

13lim

1

--+→x x x

解:原式=4

3

)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim

1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2

)12(lim --+∞

→n n n n

解:原式=2

3

11213lim

12)]1()2[(lim =

-++

=-++--+∞

→∞→n

n n n n n n n n

n 分子分母同除以

。 例3 n

n n

n n 323)1(lim ++-∞→

解:原式

11)3

2(1)31

(lim 3

=++-=

∞→n

n n n

上下同除以 。 2. 利用函数的连续性(定理6)求极限

例4

x

x e

x 122

lim →

解:因为20

=x 是函数x

e x x

f 12)(=的一个连续点,

所以 原式=e e 422

12

= 。

3. 利用两个重要极限求极限 例5 2

3cos 1lim x x

x -→

解:原式=

61)

2

(122sin 2lim 32sin 2lim 22

02

2

0=?=→→x x

x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。

例6

x

x x 20

)sin 31(lim -→

解:原式=6sin 6sin 31

sin 6sin 310

]

)

sin 31[(lim )

sin 31(lim ---→-?

-→=-=-e x x x

x x

x x

x

x x 。

例7

n

n n n )1

2(

lim +-∞

→ 解:原式=31

331

1

331])1

31[(lim )1

31(lim -+--+∞→+-?

-+∞→=+-+=+-+

e n n n n

n n n n

n n 。 4. 利用定理2求极限

例8 x

x x 1

sin lim 2

→ 解:原式=0 (定理2的结果)。 5. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9

)

arctan()

31ln(lim

20

x x x x +→

解:)31ln(0x x +→时, ~x 3,)arctan(2

x ~2

x ,

∴ 原式=33lim

2

=?→x x

x x 。

解:原式=1sin )

sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x

x x x e x x e e x x x x x x 。 注:下面的解法是错误的:

原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x

x x

x x x e e x x x x 。 正如下面例题解法错误一样:

0l i m s i n t a n l i m 3030=-=-→→x

x x x x x x x 。 例11

x

x x x sin )

1

sin tan(lim 20→

解:等价与是无穷小,时,

当x

x x x x x x 1

sin )1sin tan(1sin 0222

∴→ , 所以, 原式=01sin lim 1

sin

lim

020

==→→x

x x x x x x 。

(最后一步用到定理2)

6. 利用洛比达法则求极限

说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。 例12

2

03cos 1lim

x x

x -→(例4)

解:原式=6

1

6sin lim 0=→x x x 。(最后一步用到了重要极限)

例13

1

2cos

lim

1

-→x x

x π 解:原式=2

12sin

2

lim

1

πππ

-=-

→x

x 。

解:原式=203cos 1lim

x x x -→=61

6sin lim 0=→x x x 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)

例15 x

x x

x x x sin cos sin lim 20-→

解:

313sin lim 3)

sin (cos cos lim

cos sin lim

202

020==--=?-=→→→x

x x x x x x x x x x x x x x x 原式

例18

])

1ln(11[lim 0x x x +-→ 解:错误解法:原式=

0]1

1[lim 0=-→x

x x 。 正确解法:

。原式2

1

)1(2lim 21

11lim )1ln(lim

)1ln()1ln(lim

000

0=+=-+=?-+=+-+=→→→→x x x x x x x x

x x x x x x x x x

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例19 x

x x

x x cos 3sin 2lim +-∞

解:易见:该极限是“

”型,但用洛比达法则后得到:x x x sin 3cos 21lim --∞→,此极限

不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

原式=x

x

x

x

x cos 3sin 21lim +

-

∞→ (分子、分母同时除以x )

=

3

1

(利用定理1和定理2)

7. 利用极限存在准则求极限

例20 已知),2,1(,2,211

=+==+n x x x n n ,求n n x ∞

→lim 解:易证:数列}{n x 单调递增,且有界(0

→lim 存在,

设 a x n n =∞

→lim 。对已知的递推公式 n

n x x +=+21两边求极限,得:

a a +=2,解得:2=a 或1-=a (不合题意,舍去)

所以

2lim =∞

→n n x 。

例21 )12111(

lim 2

2

2

n

n n n n ++

+++

+∞

解: 易见:

1

12

1

1

1

2

2

2

2

2

+<

+++++

+<

+n n n

n n n n

n n

因为

1lim

2

=+∞

→n

n n n ,11

lim

2

=+∞

→n n n

所以由准则2得:1)12

1

1

1(

lim 2

2

2

=++

+++

+∞

→n

n n n n 。

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。

求极限方法总结全

极限求解总结 1、极限运算法则 设lim n →∞ a a =a ,lim n →∞ a a =a ,则 (1) lim n →∞ (a a ±a a )=lim n →∞ a a ±lim n →∞ a a =a ±a ; (2) lim n →∞ a a a a =lim n →∞ a a lim n →∞ a a =aa ; (3) lim n →∞a a a a = lim n →∞a a lim n →∞ a a = a a (a ≠0). 2、函数极限与数列极限的关系 如果极限lim x →a 0 a (a )存在,{a a }为函数a (a )的定义域内任一收敛于a 0的数列,且满 足:a a ≠a 0(a ∈a +),那么相应的函数值数列{a (a )}必收敛,且lim a →∞ a (a a )= lim a →a 0 a (a ) 3、定理 (1) 有限个无穷小的和也是无穷小; (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 4、推论 (1) 常数与无穷小的乘积是无穷小; (2) 有限个无穷小的乘积也是无穷小;

(3)如果lim a(a)存在,而c为常数,则lim[aa(a)]=a lim a(a) (4)如果lim a(a)存在,而n是正整数,则lim[a(a)]a=[lim a(a)]a 5、复合函数的极限运算法则 设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的,y=a[a(a)] 在点a0的某去心领域内有定义,若lim a→a0a(a)=a0,lim a→a0 a(a)=a,且存在a0> 0,当x∈U(a0,a0)时,有a(a)≠a0,则lim a→a0a[a(a)]=lim a→a0 a(a)=a 6、夹逼准则 如果 (1)当x∈U(a0,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x) (2)lim a→a0(a→∞)a(a)=a,lim a→a0(a→∞) a(a)=a 那么lim a→a0(a→∞) a(a)存在,且等于A 7、两个重要极限 (1)lim a→0sin a a =1 (2)lim x→∞(1+1 x )x=a 8、求解极限的方法(1)提取因式法

求极限的方法总结

学号:0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师(职称) 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,通过通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结,以供参考。 关键词:极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可 以用上面的极限严格定义证明,例如: )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5 )13(lim 2 =-→x x ; ???≥<=∞→时当不存在, 时 当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运 用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条 件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x

(2) e x x x =+→10 ) 1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的 等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且 )(x f ~)(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →,即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5.洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(x f 和)(x g 满 足:(1))(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大; (2))(x f 和)(x g 都可导,且)(x g 的导数不为0; (3)) () (lim x g x f ''存在(或是无穷大);

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

归纳函数极限的计算方法 摘 要 :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract :The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words :Function Limit ;Computing method ;L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法,对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活,本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的0ε>,存在正数'()δδ<,使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<,则称函数当趋于0x 时以A 为极限,记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法 一、 约去零因子求极限 例如求极限limx→1x4-1x-1,本例中当x→1时,x-1→0,表明x 与1无限接近,但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。 二、 分子分母同除求极限 求极限limx→∞x3-x23x3+1 ∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13 三、 分子(母)有理化求极限 例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1) 分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 ()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x 例:求极限limx→01+tanx -1+sinxx3 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=() x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→= 41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。 四、 应用两个重要极限求极限

(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e 在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例:求极限limx→∞(x+1x-1)x 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑1+1x,最后凑指数部分。 limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2 五、利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质:无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界,和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例:求limx→∞sinxx 因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0 六、用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有: 当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1, 1-cosx~12x2,(1+ax)b-1~abx 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例:limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2

极限计算方法总结

极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5)13(lim 2=-→x x ;??? ≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真! 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先,对极限的总结如下: 极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限,数列极限(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种) 2.解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???) 1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2 LHopital 法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!必须是X趋近而不是N 趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!!)必须是0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!! 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!!!!)E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母!!!!!!!!!!!看上去复杂处理很简单!!!!!!!!!!5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候, 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!6夹逼定理(主要对付的是数列极限!) 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要!!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!x的x次方快于x!快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换

高数求极限方法总结

第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义: 数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:0)1(1 lim 2=+-∞→n n ;5)13(lim 2=-→x x ;1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来,缺一不可!(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限 作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在, 且(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[(2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 0)1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立的条件。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210)21(lim ,e x x x =+∞→3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~)(1x f , )(x g ~)(1x g ,则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5.连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下: 定理:如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B ()() (1)[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B (2)[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B ()()( (3)若B ≠0 (4)0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A (5)[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????(n 为自然数) 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式,直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?,求lim n n x →∞ 解: 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义:函数f(x)在0x 附近有定义,χ??,则 如果 存在, 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中,首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

论文二重极限计算方法

包头师范学院 本科毕业论文 题目:二重极限的计算方法 学生姓名:王伟 学院:数学科学学院 专业:数学与应用数学 班级:应数一班 指导教师:李国明老师 二〇一四年四月

摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法,各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数,变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法,并给出相关例题及解题步骤,及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词:二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

考研数学极限计算方法:利用单侧极限

https://www.360docs.net/doc/984512345.html, 版权所有翻印必究 考研数学极限计算方法:利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢,我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在,那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢? 第一,当分段函数的分段点两侧表达式不同时,求分段点处的极限利用单侧极限。例如,讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析:在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的,所以计算0=x 处的极限要分左右来求解,也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ,1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ,左右两侧的极限同时存在且相等,所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数,如,[],max{},min{},sgn x x x ,当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二,如果出现(),arctan e a ∞∞∞,求极限是要分左右的,例如,???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析:这道题让我们求解0=x 处的极限,我们发现它有x ,在脱绝对值时

版权所有翻印必究 https://www.360docs.net/doc/984512345.html, 2会出现负号,同时出现了e ∞,故分单侧计算极限, 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????,11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ,所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单,但是需要同学们在做题目中多去总结,掌握其具体的解题思路,也要将知识点和不同类型的题目建立联系,提高自己的解题能力。

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结(简洁版) 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2=-→x x ;???≥<=∞→时当不存在, 时当,1||1||0lim q q q n n ; 等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1) B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+ →1 )1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0)21(lim ,e x x x =+∞→3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价

求极限的方法总结__小论文

求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学08级汉班 ** 指导教师 **** 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题,本文通过归纳和总结,从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义,也要注意运用两个重要极限,其中,可以利用等量代换,展开、约分,三角代换等方法化成比较好求的数列,也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理,在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法,在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ,当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0 ! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0 ! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 2 211lim ,其中1,1<

极限计算方法总结

极限计算方法总结 靳一东 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2 =-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim =→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim =→x x x ,e x x x =--→21 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

求极限方法总结

求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限,还有个数列极限,区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种 2解决极限的方法如下:我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化,只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的

求极限的方法总结

求极限的方法总结 1.约去零因子求极限 例1:求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题:2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2.分子分母同除求极限 例2:求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除........x .的最高次方;......且一般...x .是趋于无穷的...... ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++(-5)(-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→

3.分子(母)有理化求极限 例1:求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2:求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 习题:2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限(当函数连续时,它的函数值就是它的极限值................... ) 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉,就是:当取极限时,分子不为 0而分母为0时 就取倒数!】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞