矢量基础
§1.2 矢量运算
1.2.1 矢量加法
矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
C A B =+
(1.4)
矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图 1.2(b)所示，矢量A 的头和矢量B 的
尾相接，得矢量C 。同理矢量B 的头和矢量A 的尾相接，也得矢量C 。
可见，矢量加法和矢量排列次序无关，即服从交换律
A B B A C
+=+= (1.5) 矢量加法也服从结合律
D B C A D C B A D C B A
+++=+++=+++)()()( (1.6)
矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量。
例如把矢量A
放在直角坐标系中，可以
分解为x A ，y A 和z A ，A 为这三个矢量之和，如图1.3所示。
z
y x A
A A A
++= (1.7)
在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为x a ，y a 和z a 。矢量x A ，
y A 和z A 的模分别为矢量A 在x ，y 和z 轴方向上的投影，用x A ，y A 和z A 表示则
z z y y x x a A a A a A A ++=
可见，A
的模为
(a) (b)
2221/2||()x y z A A A A =++ (1.8) A 的单位矢量a
为
22
21/2
||()||||||x x y y z z
x y z y x z x y z A a A a A a A a A A A A A A A a a a A A A ++==++=++
(1.9)
由图1.3可知
cos ||x A A α= cos ||y
A A β= cos ||z A
A γ= (1.10) 其中α，β和γ分别为矢量A 的方向角，即矢量A
与三个坐标轴方向的夹角。
αcos ，βcos 和γcos 称为矢量A
的方向余弦。
设有三个矢量A ，B
和C ，在直角坐标系中分别表示为
z z y y x x a A a A a A A ++= z z y y x x a B a B a B B ++= z z y y x x a C a C a C C ++=
则三个矢量相加为
z z z z y y y y x x x x a C B A a C B A a C B A C B A
)()()(++++++++=++
(1.11)
在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性。例如，同一个矢量在不同的坐标系中，分解的情况是不同的。 1.2.2 矢量减法
矢量减法可以视为矢量加法的特例，即 )(B A B A
-+=- (1.12)
通常)(B
-称为矢量B 的逆矢量，它的大小和矢量B 一样，但方向相反，如图1.4
所示。由矢量加减法运算规则可知，如果三个矢量A ，B
和C 头尾相连组成封闭
三角形，其矢量和为零，如图1.5所示。
0=++C B A (1.13) 同理可推断，若多个矢量头尾相连组成封闭的多边形，其矢量和必为零。 1.2.3 标量和矢量的乘积
一个标量k 和矢量A 相乘，得矢量B
，即
||B kA k A a ==
(1.14) 显然：B 的大小等于的A 大小的||k 倍。若0>k ，B 与A 同方向；若0 与 A 反方向；若||>1k ， B 的模比A 大，||1k <，则B 比A 小。应记住一个有用的 事实，B 平行于A ，方向相同或相反。 1.2.4 两矢量的标量积 两矢量的标量积亦称点积，定义为：一个矢量在另一个矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，结果是一个标量。可表示为 ||||cos A B A B θ= (1.15) 式中θ为两矢量的夹角，如图1.6所示。 由式(1.15)可知，2πθ= 时，标量积 1.5 和矢量为零的几何表示 变为零，因此，两非零矢量A 和B 的正交条件为 0A B = (1.16) 点积的基本性质服从 交换律： A B B A = (1.17) 分配律： ()A B C A B A C +=+ (1.18) 在直角坐标系中，x a ，y a 和z a 三个单位矢量互相正交，根据标量积定义得 1x x a a = ， 1y y a a = ， 1z z a a = (1.19a) 0x y a a = ， 0y z a a = ， 0z x a a = (1.19b) 于是两矢量的标量积可表示为 ()() x x y y z z x x y y z z x x y y z z A B A a A a A a B a B a B a A B A B A B =++++=++ (1.20) 说明两矢量的标量积等于其对应的分量的乘积之和。 1.2.5 两矢量的矢量积 两矢量A 和B 的矢量积亦称叉积，其结果仍是一个矢量，用矢量C 表示，矢 量C 的大小为A 和B 组成的平行四边形的面积，方向垂直于矢量A 和B 构成的平 面，并且A 、B 和C 三者符合右手螺旋法 则，其数学表达式为 ||||sin C C A B A B a θ=?= πθ≤ ≤0 (1.21) 式中θ为矢量A 和B 的夹角，如图1.7所 示。 由式(1.21)可以得到非零矢量A 和 B 平行的条件为 0=?B A (1.22) 根据式(1.21)的矢量积定义和右手螺旋法则可以看出 B A A B ?-=? (1.23) 说明矢量积不服从交换律，但服从分配律，即 C A B A C B A ?+?=+?)( (1.24) 显而易见，矢量积不服从结合律，即 C B A C B A ??≠??)()( (1.25) 式(1.25)的形式称为矢量三重积，等号左边三重积的矢量和矢量A 垂直，并且位 于矢量B 和C 构成的平面；而右边三重积的矢量和矢量C 垂直，且位于矢量A 和 B 构成的平面内，可见左右两边的结果不一样，式中括号不是可有可无的，括号代表优先进行矢量运算的部分。 对于直角坐标系来说，由矢量积定义可得到单位矢量之间的关系 0=?x x a a ， 0=?y y a a ， 0=?z z a a (1.26a) z y x a a a =?， x z y a a a =?， y x z a a a =? (1.26b) 于是矢量积在直角坐标系中可表示为 z x y y x y z x x z x y z z y z z y y x x z z y y x x a B A B A a B A B A a B A B A a B a B a B a A a A a A B A )()()() ()(-+-+-=++?++=? (1.27) 若用行列式表示，也许更便于记忆 z y x z y x z y x B B B A A A a a a B A =? (1.28) 【例1-1】确定垂直于z y x a a a A 362--=和z y x a a a B -+=34所在平面的单位矢量。 解法1 B A ?是垂直于A 和B 所在平面的矢量。故有 z y x z y x a a a a a a B A 3010151 34 362 +-=---=? 于是垂直于A 和B 所在平面的单位矢量为 151030326||777n x y z a a a A B a a a a A B -+?===-+? 另一个方向相反的单位矢量是 7/)623(z y x a a a -+-。 解法2 令矢量 z y x a c a c a c C 321++=垂直于A 和B 所在平面，那么C 既与A 垂直，也与B 垂直，因此 1232630C A c c c =--= 123430C B c c c =+-= 即 321362c c c =- ① 32134c c c =+ ② 联立式①和②解得 1323 11,2 3c c c c = =- 故 311() 23x y z C c a a a =-+ 则C 的单位矢量为 311()326||7x y z x y z c c a a a a a a C a C -+-+=== 另一个单位矢量是 1(326) 7c x y z a a a a -=--+ 1.2.6 三矢量的乘积 三个矢量A 、B 和C 相乘可以分两种情况：()C A B ? 结果是一个标量，称为标量三重积；)(C B A ??结果是一个矢量，称为矢量三重积。在矢量运算中，规定先进行叉积运算，后进行点积运算。 根据矢量运算，由图1.8可见，标量三重积可表示为 ()||||||sin cos C A B A B C θφ?= (1.29) 从图1.8可以看出，矢量A ，B 和C 构成 一个平行六面体，B A ?的大小为该平行六面体的底面积，||cos C φ 为该平行六面体的高，所示标量三重积的大小为该平行六面体的体积。 不难看出，平行六面体体积也可由()B C A ? 或()A B C ? 表示，即 ()()()A B C B C A C A B ?=?=? (1.30) 也就是说，若按 )(C B A →→的次序循环改变时，标量三重积的值不变，这种代换称为轮换法。在直角坐标系中，标量三重积也可以用行列式表示为 ()x y z x y z x y z A A A A B C B B B C C C ?= (1.31) 根据行列式的规则，用轮换法变换行的位置，行列式的值不变，式(1.31)和式 (1.30)是一致的。若A 、B 和C 三矢量位于同一平面上，意味着平行六面体的体积为零，即 ()0A B C ?= (1.32a) 或 0=z y x z y x z y x C C C B B B A A A (1.32b) 式(1.32)为三个线性无关的非零矢量共面（或共线）的条件。 对于矢量三重积，记作)(C B A D ??=，根据矢量叉积定义，矢量D 垂直于 矢量A 和矢量)(C B ?，因此D 位于由B 和C 组成的平面内，于是矢量D 一定可 以分解为矢量B 和C 的组合。即 ()()()D A B C B A C C A B =??=- (1.33) 式(1.33)被称为“back-cab ”法则，这是一个很有用的矢量恒等式。 向量的线性运算基础测试题含答案解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝， G I S矢量数据分析与栅格 数据分析实验 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 本科学生实验报告姓名尹永义学号 专业地理科学班级 2014B ＿ 实验课程名称地理信息系统概论（实验） 实验名称矢量数据分析与栅格数据分析 指导教师及职称速绍华（讲师） 开课学期 2014 ＿至＿ 2015＿学年＿下学期云南师范大学旅游与地理科学学院编印 3、实验理论依据或知识背景： 矢量数据分析矢量数据以点、线和面空间要素为输入数据。 分析结果的准确性取决于空间特征的位置及形状的准确性。 拓扑关系是一些矢量数据分析（如建立缓冲区和叠置分析）的一个因素。 基于邻近（Proximity）概念，建立缓冲区可把地图分为两个区域：一个区域位于所选地图要素的指定距离之内，另一个区域在指定距离之外。 在指定距离之内的区域称为缓冲区。 围绕点建立缓冲区产生圆形缓冲区。围绕线建立缓冲区形成一系列围绕每条线段的长条形缓冲带。围绕多边形建立缓冲区则生成由该多边形边 界向外延伸的缓冲区。 对线要素建立缓冲区未必在线两侧都有缓冲区，可以只在线的左侧或右 侧建立缓冲区。 缓冲距离（又叫缓冲大小）未必为常数，可以根据给定字段取值而变 化。 缓冲区边界也可以被融合掉，使得缓冲区之间没有叠置区。 地图叠置操作是将两个要素图层的几何形状和属性组合在一起，生成新 的输出图层。 输出图层的几何形状代表来自各输入图层的要素的几何交集。 输出图层的每个要素包含所有输入图层的属性组合，而这种组合不同于 其邻域。 所有叠置方法都是基于布尔连接符的运算，即AND、OR 和 XOR。 若使用 AND 连接符，则此叠置操作为求交（Intersect）。 若使用 OR 连接符，则此叠置操作称为联合（Union）。 若使用 XOR 连接符，则此叠置操作称为对称差异（Symmetrical Difference）或差异（Difference）。 若使用以下表达式 [（Input Layer）AND（Identity Layer）] OR （Input Layer），则该叠置操作称为识别（Identity）或减去 （Minus）。 模式分析是关于二维空间点要素空间分配的研究。 在整体水平上，模式分析可以揭示某分布模式是随机、离散还是集聚 的。 在局部水平上，模式分析可以检测出分布模式中是否含有高值或低值的局部集聚。 模式分析包括点模式分析、量测空间自相关的莫兰指数（Moran’s I）和量测高/低聚集度的G 统计量。 栅格数据分析 栅格数据分析是基于栅格像元和栅格的。 栅格数据分析能在独立像元、像元组或整个栅格全部像元的不同层次上进行。 一些栅格数据运算使用单一栅格，而另一些则使用两个或更多栅格数 据。 栅格数据分析也应考虑像元数值类型（数字型数值，类别型数值）。 常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3] 一、实验内容 利用实验数据进行缓冲区分析及叠加分析。 二、实验过程 4.1、缓冲区分析。 （1）打开数据。打开SuperMap iDesktop 8C，打开数据源，加载实验数据中的“叠加分析.udb和陕西.udb”，并将陕西数据源下的银行、市界_R和省界_R数据集依次添加到同一图层上，并依据“点线面，由小及大”的原则叠放，如下图所示； （2）建立缓冲区-单重缓冲区-多重缓冲区。 1)单重缓冲区-点数据。选择分析->矢量分析->缓冲区->缓冲区，如下图所 示； 在弹出的面板中选择缓冲数据“陕西数据源-银行数据集”，缓冲半径设置为字段型，设置为缓冲区距离，设置一下结果数据，具体如下图所示，点击确定； 得到结果，如下图所示，生成的缓冲区半径都是不一样的； 2)线数据。将陕西数据源中的水系数据集加载到同一个图层中，点击分析-> 矢量分析->缓冲区->缓冲区，在弹出的面板中，数据类型变为线数据，缓冲类型设置为圆头缓冲，数值型半径设置为5000，将结果数据设置一下，具体如下图所示，点击确定； 调整一下图层顺序，可以看到其结果，如下图所示； 在进行一下分析，将缓冲类型改为平头缓冲，将数值型中的左半径设置为10000，右半径设置为5000，设置一下结果数据，如下图所示，点击确定； 其结果如下图所示，可以看到其缓冲类型与上一个结果的明显不同，左半径明显大于右半径； 3)多重缓冲区。选择分析->矢量分析->缓冲区->多重缓冲区，在弹出的面板 中，数据集选择之前以水系数据集生成的结果数据，在缓冲半径列表部分 选择->批量添加，在弹出的面板中 设置其起始值为500，结束值为5000，步长为500，如下图所示，点击确定； 05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | (2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b | ，所以向量a 与 向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b | 成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0 平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 突破点(二) 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算：加法、减法、数乘 2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC 中，u u u r AB ＝c ，u u u r AC ＝b .若点D 满足u u u r BD ＝2u u u r DC ，则u u u r AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13 c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且u u u u r AN ＝12u u u r NC ，P 是BN 上一点，若u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ，则实 数m 的值是________． [解析] (1)由题可知u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝b －c ，∵u u u r BD ＝2u u u r DC ，∴u u u r BD ＝23u u u r BC ＝23(b －c )，则u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1 3 c ，故选D. (2)如图，因为u u u u r AN ＝12u u u r NC ，所以u u u u r AN ＝13u u u r AC ，所以u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ＝ m u u u r AB ＋23u u u u r AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13 . [答案] (1)D (2)1 3 [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若u u u r AB ＝a ＋b ，u u u r BC ＝2a ＋8b ，uuu r CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． 一、Excel文件转成矢量数据文件步骤： 首先通过添加按钮，添加Excel表格文件 然后点击sheet文件，右键Data，出现Export，输出成为.dbf格式的表格文件。 然后保存。输出后，添加到arcmap 中，点击EXCEL 文件，右键，出现Display XY Data ，进入界面后进行X 坐标和Y 坐标，以及投影坐标的设置。X 坐标代表东坐标，也就是经度坐标，Y 坐标代表北坐标，也就是纬度。在本EXCEL 文件中横坐标是东坐标，纵坐标是北坐标，如 下图。 且横坐标有19的带号，加之文件中说明是北京54坐标系，高斯克吕格投影，6度分带，所以我们通过上图的Edit添加投影信息，选择Projected Coordinate Systems，中的Gauss Kruger 中的Beijing 1954坐标系，如下图： 设置好后，点击确定，则会生成一个EXCEL EVENT文件，如图所示： 然后点击此文件右键，Data ，Export Data，输出成为.Shp文件 则生成了矢量点数据。 二、矢量数据变换投影步骤 点击Arctoolbox中的Data Management Tools中的Projections and Transformations，选择Feature下的project，设置投影 Output Coordinate System，中选择Geographic Coordiante Systems下的World中的WGS 1984投影，这个Google Earth和遥感影像，DEM数据的通用投影。然后在Geographic Transformation 中选择Beijing_1954_To_WGS_1984_1，重庆地区选择这个转换参数。点击确定则生成了WGS1984投影的文件，excelpoint_project文件。 §1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为 §2.2 矢量数据结构 三、矢量数据表示 在GIS中，矢量数据表示时应考虑以下问题： 1)矢量数据自身的存贮和处理。 2)与属性数据的联系。 3)矢量数据之间的空间关系(拓扑关系)。 矢量数据的表示方法多种多样，但基本上类似，可触类旁通。下面分别介绍矢量数据的简单数据结构和拓扑数据结构。 (一)简单数据结构 矢量数据的简单数据结构分别按点、线、面三种基本形式来描述(图2-2-2)。 图中有关说明如下： 1、标识码：按一定的原则编码，简单情况下可顺序编号。标识码具有唯一性，是联系矢量数据和与其对应的属性数据的关键字。属性数据单独存放在数据库中。 2、点结构中的X，Y坐标：是点实体的定位点，如果是有向点，则可以有两个坐标对。 3、线结构中的坐标对数n：是构成该线(链)的坐标对的个数。X,Y坐标串是构成线(链)的矢量坐标，共有n对。也可把所有线(链)的X,Y坐标串单独存放，这时只要给出指向该链坐标串的首地址指针即可。 4、面结构是链索引编码的面(多边形)的矢量数据结构，链数n指构成该面(多边形)的链的数目。链标识码集指所有构成该面(多边形)的链的标识码的集合，共有n个。 这种结构具有结构简单、直观、易实现以实体为单位的运算和显示的优点。由于面结构建立了链索引，一个面(多边形)就可由多条链构成，每条链的坐标可由线(链)的矢量数据结构获取。这种方法可保证多边形公共边的唯一性；但多边形的分解和合并不易进行；邻域处理比较复杂，需追踪出公共边；在处理“洞”或“岛”之类的多边形嵌套问题时较麻烦，需计算多边形的包含等。 由于拓扑关系简单,这种数据结构主要用于矢量数据的显示、输出，以及一般的查询和检索。 (二)拓扑数据结构 具有拓扑关系的矢量数据结构就是拓扑数据结构，拓扑数据结构是GIS的分析和应用功能所必需的。拓扑数据结构的表示方式没有固定的格式，还没有形成标准，但基本原理是相同的。 1、拓扑元素 矢量数据可抽象为点(结点)、线(链、弧段、边)、面(多边形)三种要素，即称为拓扑元素。 点(结点)：孤立点、线的端点、面的首尾点、链的连接点等。 线(链、弧段、边)：两结点间的有序弧段。 矢量数据与栅格数据 1.矢量数据 矢量数据主要是指城市大比例尺地形图。此系统中图层主要分为底图层、道路层、单位 层，合理的分层便于进行叠加分析、图形的无逢拼接以实现系统图形的大范围漫游。矢量数据一般通过记录坐标的方式来尽可能将地理实体的空间位置表现的准确无误，显示的图形一般分为矢量图和位图。 矢量数据是计算机中以矢量结构存贮的内部数据。是跟踪式数字化仪的直接产物。在矢量数据结构中，点数据可直接用坐标值描述；线数据可用均匀或不均匀间隔的顺序坐标链来描述；面状数据（或多边形数据）可用边界线来描述。矢量数据的组织形式较为复杂，以弧段为基本逻辑单元，而每一弧段以两个或两个以上相交结点所限制，并为两个相邻多边形属性所描述。在计算机中，使用矢量数据具有存储量小，数据项之间拓扑关系可从点坐标链中提取某些特征而获得的优点。主要缺点是数据编辑、更新和处理软件较复杂。 2..栅格数据 栅格数据是按网格单元的行与列排列、具有不同灰度或颜色的阵列数据。每一个单元（象素）的位置由它的行列号定义，所表示的实体位置隐含在栅格行列位置中，数据组织中的每个数据表示地物或现象的非几何属性或指向其属性的指针。一个优秀的压缩数据编码方案 是：在最大限度减少计算机运算时间的基点上进行最大幅度的压缩。 栅格数据是按网格单元的行与列排列、具有不同灰度或颜色的阵列数据。栅格结构是大小相等分布均匀、紧密相连的像元（网格单元）阵列来表示空间地物或现象分布的数据组织。是最简单、最直观的空间数据结构，它将地球表面划分为大小、均匀、紧密相邻的网格阵列。每一个单元（象素）的位置由它的行列号定义，所表示的实体位置隐含在栅格行列位置中，数据组织中的每个数据表示地物或现象的非几何属性或指向其属性的指针。对于栅格结构：点实体由一个栅格像元来表示；线实体由一定方向上连接成串的相邻栅格像元表示；面实体（区域）由具有相同属性的相邻栅格像元的块集合来表示。 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 . 信息工程学院资源环境学院《GIS原理》实验报告 实验名称矢量及栅格数据分析 实验时间2015.4.22 实验地点资环楼229 姓名 学号 班级遥感科学与技术131 《GIS原理》实验报告 一、实验目的及要求 1）掌握矢量数据插值分析、栅格数据重分类、叠加分析的基本原理； 2）熟悉ArcGis 中离散点数据插值分析的基本方法； 3）熟悉ArcGis 中栅格数据重分类、栅格计算器的基本操作； 4）熟悉ArcGis 中栅格数据分区统计的基本方法； 5）了解ArcGis 中缓冲区分析、按掩膜提取的基本方法。 二、实验设备及软件平台 ArcCatalog 10、ArcMap 10.2 三、实验原理 1）数据插值分析 2）栅格数据重分类原理 3）叠加分析的基本原理 四、实验容与步骤 1 空间插值分析 1）打开ArcMap中，将数据框更名为“任务1”，加入省边界图层。 2）将2011 年02 月27 日08 时观测资料.xls、2011 年02 月27日14 时.xls 通过Add Xy Data 功能，生成点图层。导出数据，分别命名为Obs2708.shp 和Obs2714.shp。 3）对Obs2708.shp 中的属性“温度”在四川围进行插值分析。可以通过“Arctoolbox->Spatial Analyst（空间分析）工具中的Interpolate to Raster（插值）工具选择。（本实验采用反距离权重法IDW），点插值成栅格表面。 4）通过属性中的符号系统，修改显示样式。 2 多栅格局域运算 1）启动ArcMap，添加数据框，并更名为“任务2”，将温度栅格数据IDW2708、IDW2714 加入。 2）确认是否选择扩展模块的许可。“自定义菜单(Customize)”中的“扩展模块Extensions”功能对话框中的Spatial Analyst 均已打钩。 平面向量的线性运算（基础训练） 1. 下列各式正确的是（ ） A ．若a r ，b r 同向，则|a +b |=|a |+|b | B ．a b +r r 与|a |+|b |表示的意义是相同的 C ．若a r ，b r 不共线，则|a +b |＞|a |+|b | D ．a a b <+r r r 永远成立 2．AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r 等于（ ） A ． B ． 0r C ． D ． 3．下列命题 ①如果a r ，b r 的方向相同或相反，那么a b +r r 的方向必与a r ，b r 之一 的方向相同。 ②△ABC 中，必有 0r ③若0r ，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。 ④若a r ，b r 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ，b r ，c r ，则向量等于（ ） A ．a b c ++r r r B ．a b c -+r r r C ．a b c +-r r r D ．a b c --r r r 5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===uu u r r uuu r r uu u r r ，则 等于（ ） A ． a b c -+r r r B ．()b a c -+r r r C ．a b c ++r r r D ．b a c -+r r r 6．设b r 是a r 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ．a r 与b r 的长度必相等 B ．a r ∥b r C ．a r 与b r 一定不相等 D ．a r 是b r 的相反向量 7．AC uuu r 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 8.如图所示，在 ABCD 中，已知,AB a DB b ==uu u r r uu u r r ，用a r 与b r 表示向量AD uuu r 、 。 测绘工程学院 GIS软件应用 实验报告书 实验名称：实验四、矢量数据与栅格数据分析2专业班级： 姓名： 学号： 实验地点： 实验时间： 实验成绩： 地理信息系 一、实验目的与要求 通过练习，熟悉ArcGIS栅格数据距离制图、成本距离加权、数据重分类、多层面合并等空间分析功能，熟练掌握利用ArcGIS上述空间分析功能分析和结果类似学校选址的实际应用问题的基本流程和操作过程。 练习一 1、新学校选址需注意如下几点： 1）新学校应位于地势较平坦处； 2）新学校的建立应结合现有土地利用类型综合考虑，选择成本不高的区域； 3）新学校应该与现有娱乐设施相配套，学校距离这些设施愈近愈好； 4）新学校应避开现有学校，合理分布。 2、各数据层权重比为：距离娱乐设施占0.5，距离学校占0.25，土地利用类型和地势位置因素各占0.125。 3、实现过程运用ArcGIS的扩展模块（Extension）中的空间分析（Spatial Analyst）部分功能，具体包括：坡度计算、直线距离制图功能、重分类及栅格计算器等功能完成。 4、最后必须给出适合新建学校的适宜地区图，并对其简要进行分析。 练习二 1、新建路径成本较少； 2、新建路径为较短路径； 3、新建路径的选择应该避开主干河流，以减少成本； 4、新建路径的成本数据计算时，考虑到河流成本（Reclass_river）是路径成本中较关键因素，先将坡度数据（reclass_slope）和起伏度数据（reclass_QFD）按照0.6：0.4权重合并，然后与河流成本作等权重的加和合并，公式描述如下： cost = Reclass_river + ( reclass_slope*0.6+reclass_QFD*0.4) 5、寻找最短路径的实现需要运用ArcGIS的空间分析（Spatial Analyst）中距离制图中的成本路径及最短路径、表面分析中的坡度计算及起伏度计算、重分类及栅格计算器等功能完成； 6、最后提交寻找到的最短路径路线图。 练习三 1、熊猫活动具有一定的槽域范围，一个槽域范围只有一个或一对熊猫，在此练习中，假设熊猫槽域半径为5km。 2、虽然一个采样点代表一个熊猫，但由于熊猫的生存具有确定槽域特征，不同的采样点具有不同的空间控制面积。假定熊猫活动范围分布满足以采样点为中心的泰森多边形，如何将这一信息加入密度分布图是本练习的重点。 3、在野外实采的熊猫活动足迹数据的基础上，以每个熊猫槽域范围为权重，运用ArcGIS 中的区域分配功能制作该地区熊猫分布密度图。 练习四 1、经济的发展具有一定的连带效应和辐射作用。以该地区各区域年GDP数据为依据， 采用IDW和Spline内插方法创建该地区GDP空间分异栅格图。 2、分析每种插值方法中主要参数的变化对内插结果的影响。 3、分析两种内插方法生成的GDP空间分布图的差异性，简单说明形成差异的主要原因。 4、通过该练习，熟练掌握两种插值方法的适用条件。 练习五 1、应用栅格数据空间分析模块中的等高线提取功能，分别提取等高距为15米和75米的等高线图，并按标准地形图绘制等高线方法绘制等高线,作为山顶点、凹陷点空间分布的 (一) 矢量基本概念 定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。 表示法 定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），a 。 特殊的向量 零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。 单位矢量：长度为1的矢量。 向量之间的关系 两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。 反矢量：长度相同，方向相反的矢量。 共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。 共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。 关于向量之间的关系，有下面结论： 零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面； 三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。 (二) 矢量的運算 （一）矢量的加法 矢量的和（三角形法则） 设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA =，b AB =得一折线OAB ，从折线的端 点O 到另一端点B 的矢量c OB =，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。 矢量的和（平行四边形法则） 如图示，有b a c +=。 一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++= 运算规律： 1） 1） 交换律：a b b a +=+； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a ++=++。 矢量的差 若a c b =+，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b a c -=。 由定义，得矢量减法的几何作图法： 矢量加法的性质 （1）)(b a b a -+=- （2）||||||b a b a +≤+ （3）||||||+≤- （4）?++≤+???++||||||2121a a a a a n ||n a ?+? （二）矢量的数乘 定义（数量乘矢量） 实数λ与矢量的乘积a λ是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ?=λλ； （2） （2） 其方向由下列规则决定：当0>λ时，λ与方向相同；当0<λ时，λ与方向相反；当0=λ或0=时，是零向量，方向不定。 定义 如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0 a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。 由定义，0 ||a a a ?= | |0 a a =∴ 数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ= 2）第一分配律：μλμλ+=+)( 3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)( 由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111μλνμλν+-+ 22221111μνλνμνλν--+= )()(22112211μνμνλνλν-+-= （三）两矢量的数性积 一、 一、数性积的定义与性质 RealMap中矢量与栅格两类背景图层的叠加时常用到，矢量图层与栅格图层坐标系不统一的情况是难易避免的。这种情况下，如果用户没有指定统一坐标系，我们首选将栅格图层重新配准成与矢量图层统一的坐标系，快捷易懂。若用户指定栅格图层坐标系为统一坐标系，我们只能去修改矢量图层的坐标系。 要实现这一目的我们需要借助ArcMap的矢量数据输出功能，输出的时候为矢量数据重新定义坐标系即可。我们以某一Shp格式的违法图斑层为例，源数据为三度分带带有带号的，我们的目的是去除带号。 打开ArcMap，进入【ArcToolbox】，依次打开【Data Management Tools】--【Pojections and Transformations】--【Feature】--【Project】 一栏浏览并打开目标文件， 栏中将会自动识别到目标文件坐标系， 栏中进行输出文件的自定义命名， 是重点，在此进行输出坐标系的自定义及应用，点击右边的 图标，进入坐标系设置界面，找到按钮并选中其下的projected选项，进入新建坐标系界面 第一个栏中输入自定义坐标系的名称，第二个栏中选择投影方式为 ，其他参数设置对照如下： --东平移 --北平移 --中心经度 --尺度比 --中心纬度 最后，在栏里，定义大地坐标，点击可在【Asia】目录下直接找到beijing54坐标和xian80坐标，此处需用到xian80 到此新建坐标设置完成，总体界面如下： 点击退出坐标系设置界面，回到导出界面，如下 Ok即可完成新数据的导出，上面我们对东平移设置为500000，因此坐标系修改后的新数据将不再带有带号。 注：用此方法重新输出数据除实现坐标系统一的目的外，还可在输出文件的同时重新定义图层名称，因为RealMap中数据源的名称必须由英文字母为首字母，而大多数矢量数据的原图层名都不是英文。 《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则 全球常用各种矢量数据汇总ASPRSLIDARLAS ASPRSLIDARLAS是一种用于储存由LIDAR搜集到的3D点数据的二进制格式。GlobalMapper9及以上版本可以导出和导入该格式的数据，GlobalMapper10.02及以上版本支持LIDAR分类查找命名，如创建lidar_classes.txt文件。 Arc/InfoExportFormat(E00) E00用于大量矢量数据覆盖的Arc/Info互换的格式。 AutoCADDWG(DraWinG) DWG格式是一种AutoCAD和其他程序的矢量数据格式。GlobalMapper11及以上版本可以导入和导出该格式的DWG格式文件，GlobalMapper11.01及以上版本可下载DWG格式的文件。 AutoCADDXF(DrawingInterchangeFile) DXF格式是一种代表所有包含在AutoCAD绘图文件的标记数据。 BAG(BathymetryAttributedGrid) BAG格式是一种非私有（（non-proprietaryfileformat））的用于储存、互换文件Bathymetry数据的格式（non-proprietaryfileformat），GlobleMapper11及以上 版本支持这种格式。 CDF(GESCartographicDataFormat) GeographixCDF格式通常用于石油工业方面的软件如Geographix和Petra。GlobalMapper8.00及以上版本支持该种格式的。 CML,CXF,TAF(ItalianCadastralExchangeFormats) CML(CadastralMarkupLanguage)、CXF(CadastralExchangeFormat)和TAF在意大利用于互换Cadastral数据。GlobalMapper11及以上版本可以导入该格式的数据。 CompeGPSRTE、TRK和WPT CompeGPSRTE、TRK和WPT三种格式用于CompeGPS软件储存路径、跟踪和路点。 DBF(DBaseIII+)Files DBF格式用于储存信息表。通常与ESRIShapefile提供属性信息。 DMDF(DigitalMapDataFormat) DMDF格式是一种用于传输地形数据（包括网格地形、等高线和独立高程点）的ASCII格式。GlobalMapper9.0及以上版本可读取这种数据。 DeLormeTextFiles向量的线性运算基础测试题含答案解析
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