2010-2011学年度第一学期高碑店一中高二年级第一次考试数学试题(理科)

2010-2011学年度第一学期高碑店一中高二年级第一次考试数学试题（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某校高一年级有13名排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么，完成上述2项调查宜采用的抽样方法是（ ）

A 、①用简单随机抽样，②用系统抽样

B 、①用分层抽样，②用简单随机抽样

C 、①用系统抽样，②用分层抽样

D 、①用分层抽样，②用系统抽样 2、下列各数中最小的数是 ( )

A 、)9(85

B 、)6(210

C 、)4(1000

D 、 )2(111111

3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则 其侧面积．．．

等于（ ） A

B 、2 C

、 D 、6 4、右边的框图的功能是计算表达式

210111

222

+++

则在①、②两处应填入 A 、0 10n n =≤和 B 、 1 10n n =≤和C 、0 10n n =<和 D 、 1 10n n =<和5、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） A 、45 B 、35 C 、25 D 、15

6、在5件产品中，有3件一等品2件二等品，从中任取2件，那么以

10

7

为概率的是（ ） A 、都不是一等品 B 、恰有一件一等品 C 、至少有一件一等品 D 、至多有一件一等品 7、若数列满足

是首项为1，公比为2的等

比数列，则等于（ ）。 A 、

B 、

C 、

D 、

8、计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）

1a =

3b = a a b =+ b a b =-

PRINT a ，b

A 、 1,3

B 、 4,1

C 、 0,0

D 、6,0 9、在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）

A 、 92 , 2

B 、 92 , 2.8

C 、 93 , 2

D 、 93 , 2.8 10、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A 、

512 B 、 12 C 、 712 D 、 34

11、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80

mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2009年8月15日至

8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如右图是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A 、2160

B 、2880

C 、4320

D 、8640 12、调查某市出租车使用年限x 和该年支出维修费用y （万元），得到数据如下：

A 、 2.48.1y x =+

B 、 1.230.08y x =+

C 、 1.230.82y x =+

D 、 1.78 1.02y x =+

数学答题纸

图1

乙甲

7

5

1

8

73

624

79

54368534321

二、填空题：

13、右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

14、228与1995的最大公约数是

15、已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．

则乘客到达站台需要等车概率为 ；

16、李明所在的高一（4）班有51名学生，学校要从该班 抽出5人开座谈会，若采用系统抽样法，需先剔除一人，再 将留下的50人平均分成5个组，每组各抽一人，则李明参 加座谈会的概率为 三、解答题

17、已知1tan 3α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．

18、已知集合Q P M n n n y y Q x x x x P =∈≤≤-===++=*},,21,12|{},0)2410(|{2N ，

在平面直角坐标系中，点),(y x ''的坐标M y M x ∈'∈',，试计算： (1) 点A 正好在第三象限的概率； （2）点A 不在y 轴上的概率；

（3）点A 正好落在区域1022≤+y x 上的概率.

19、如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平

面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。 （1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；

（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

20、已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有33

22

n n S a =

-. A

C

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设331

1

log log n n n b a a +=

?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

21、若点(),p q ，在3,3p q ≤≤中按均匀分布出现.

（1）点(,)M x y 横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点(,)M x y 落在上述区域的概率？

（2）试求方程2

2

210x px q +-+=有两个实数根的概率.

22、（本小题满分12分）某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？

数学试题答案

一、BDDAD DBBBC CB

二、13、64 14、57 15、 0.9 16、

51

5

18、解析：由集合}0)2410(|{2=++=x x x x P 可得}0,4,6{--=P ，

由*},21,12|{N ∈≤≤-==n n n y y Q 可得}3,1,0,4,6{},3,1{--===Q P M Q ， 因为点),(y x A ''的坐标，M y M x ∈'∈',，所以满足条件的A 点共有2555=?个， （1） 正好在第三象限点有)4,4(),4,6(),6,4(),6,6(--------，

故点A 正好在第三象限的概率.25

4

1=

P （2） 在y 轴上的点有)3,0(),1,0(),0,0(),4,0(),6,0(--，

故点A 不在y 轴上的概率.5

425512=-

=P （3） 正好落在1022≤+y x 上的点有)3,0(),0,3(),3,1(),1,3(),1,0(),0,1(),0,0(

故A 落在1022≤+y x 上的概率为.25

73=

P 19、解∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，

∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。 在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又C BC PC =?，PBC BC PC 面?,，

∴ DE ⊥PBC 面。 又?DE 面EDB ，

∴ 平面EDB ⊥平面PBC 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的平面角。 ∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，

又平面ABCD 内的直线CB ⊥ DC 。 ∴ CB ⊥面PDC 。 又?PC 面PDC ， ∴ CB ⊥PC 。

在Rt ECB ?中，2tan ==

∠CE

BC

BEC 。 20解：（1）由已知得3322n n S a =

-，∴当2n ≥时，113322

n n S a --=-； ∴113322n n n n S S a a ---=-，即133

22

n n n a a a -=-，∴当2n ≥时，13n n a a -=；

∴数列{}n a 为等比数列，且公比3q =； （…………4分） 又当1n =时，113322S a =

-，即1133

22

a a =-，∴13a =； ∴3n

n a =. （…………6分） （2）∵33log log 3n

n a n ==，∴3311111

log log (1)1

n n n b a a n n n n +=

==-?++；

（…………9分）

{}n b 的前n 项和11111111(1)()()()122334111

n n

T n n n n =-

+-+-++-=-=

+++ . （…………12分）

21、（１）点(,)M x y 横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点(,)M x y 落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）九点，

所以点(,)M x y 落在上述区域的概率

P 1=

91

664

=?; .................5分 （１） 解：如图所示 方程22

210x px q +-+=有两个

实数根 ，则 22

p 3q 3(2p)4(q 1)0?≤?

≤???=--+≥?

得221p q +≥， 即方程22

210x px q +-+=有两个实数根的概率.

P 2=3636π- .................12分

22、解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人, …………… 1分 第3组的频率为

30

0.300100

=, ………2分 频率分布直方图如右:

……………………………… 5分

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:

30

6360?=人, ………… 6分 第4组:20

6260?=人, ………… 7分

第5组:10

6160

?=人, ………… 8分

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。 （3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，

11(,)A C ，23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C …………………………………………………………………………10分

其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B

21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能, …………11分

所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93

155

=…………12分