线性代数、概率论与数理统计试题及答案

2010线性代数试题及答案

第一部分选择题(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式a a

a a

1112

2122

=m，

a a

1311

2321

=n，则行列式

a a a

111213

212223

等于（）

A. m+n

B. -(m+n)

C. n-m

D. m-n

2.设矩阵A=

100

020

003

，则A-1等于（）

001

100

010

001

3.设矩阵A=

312

101

214

，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

A. –6

B. 6

C. 2

D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A. A =0

B. B≠C时A=0

C. A≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+

λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.1

η1+

η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩(A)

B.秩(A)=n-1

C.A=0

D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必

有（）

A. k≤3

B. k<3

C. k=3

D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

B.|A|必为1

C.A-1=A T

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

? B.

100

023

035

111

120

102

第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每

小题的空格内。错填或不填均无分。

15.111

356

92536

16.设A=

?，B=

?.则A+2B= .

17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它

的通解为.

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

数为.

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.

23.设矩阵A =010********---?? ?????，已知α=212-?? ??

??是它的一个特征向量，则α所对应的特征值

为 .

24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A =120340121-?? ?

???

，B =223410--?? ???.求（1）AB T

；

（2）|4A |. 26.试计算行列式3112513420111

------.

27.设矩阵A =423110123-?? ??

??，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .

28.给定向量组α1=-?? ??

2103，α2=1324-?? ??????，α3=3021-?? ??????，α4

=0149-?? ?

?????. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵A =121

2242

6621023333

34-----??

????

?. 求：（1）秩（A ）；

（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=022234243----?? ??

??的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .

31.试用配方法化下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--??

17. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 1

24. z z z z 12223242++-

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.解（1）AB T =120340*********-?? ?????--?? ??

=861810310?? ??

???. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而

|A |=1

203

40121

2-=-.

所以|4A |=64·（-2）=-128

26.解 3112513420111

51111113100105

------=-----

=51111

11550---- =5

0550

301040---=

---=+=.

27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而

（A -2E ）-1=2231101211431531641

--?? ??

?=-----?? ??

???-. 所以 B =(A -2E )-1A =143153164423110123-----?? ?????-?? ??

386 296 2129

---

28.解一

?→

2130

1301

0224

3419

0532

1301

0112

013112

?→

1035

0112

0088

001414

1035

0112

0011

0000

?→

1002

0101

0011

0000

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

即

-++=

-=-

+-=

230

224

349

123

x x x

x x

x x x.

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解对矩阵A施行初等行变换

A?→

?12102 00062 03282 09632

?→?

?→

?12102

03283

00062

000217

12102

03283

00031

00000

=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一

个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.

经正交标准化，得η1=

255

，η2=

2515

4515

λ=-8的一个特征向量为

ξ3=

，经单位化得η3=

所求正交矩阵为T=

2552151513

55451523

05323

///

对角矩阵D=

100 010 008-?

（也可取T=

2552151513

05323

55451523

///

.）

31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

设

y x x x

y x x

y x

1123

223

=+-

，即

x y y

x y

112

223

，

因其系数矩阵C=

120

011

001

可逆，故此线性变换满秩。

经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，

所以E-A可逆，且

（E-A）-1= E+A+A2 .

33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。

（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以

l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。

2010期末考试试卷参考解答及评分标准

开/闭卷

闭卷

A/B 卷 A

课程编号 2219002801-

2219002811

课程名称

概率论与数理统计

学分 3

命题人(签字) 审题人(签字) 年月

日题号一二三四五六七八九十基本题总分

附加题

得分

评卷人

第一部分基本题

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）

1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生

答：选D ，根据A

B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布

答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)

答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( )

(A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计 (B) 123

X X X ++是μ的无偏估计

123

3X X X ++?? ???

是σ2的无偏估计

答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= __________

答：填0.18, 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6?0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________

答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____

答：填0.25或1

，由古典概型计算得所求概率为3

1053210.254C ??==。 4. 已知连续型随机变量,

01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤??

=-<≤???其它则P {X ≤1.5}=_______

答：填0.875，因P {X ≤1.5} 1.50

()d 0.875f x x ==?

。

5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )=__________

答：填4.5，因E (X )=5?0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5

6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝________ 答：填0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）

解：设从甲袋取到白球的事件为A ，从乙袋取到白球的事件为B ，则根据全概率公式有

()()(|)()(|)

21115

0.417323412

P B P A P B A P A P B A =+=?+?==

四、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。（10分）

解：已知X 的概率密度函数为1,01,

()0,.X x f x <

其它

Y 的分布函数F Y (y )为

11(){}{21}{}22Y X y y F y P Y y P X y P X F --??

=≤=+≤=≤

= ???

因此Y 的概率密度函数为

,13,

11()()2

220,

.Y Y X y y f y F y f ?<

?其它五、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y

-1 1 2 -1

0.1 0.2 0.3 2 0.2 0.1 0.1 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率

(2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数ρXY (满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X 的边缘分布率如下表：

X -1 2 p 0.6 0.4

将联合分布表每列相加得Y 的边缘分布率如下表： Y -1 1 2 p 0.3 0.3 0.4

(2) E (X )=-1?0.6+2?0.4=0.2, E (X 2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=2.2-0.04=2.16

E (Y )=-1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E (Y 2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D (Y )= E (Y 2)-[E (Y )]2=2.2-0.64=1.56

E (XY )=(-1)?(-1)?0.1+(-1)?1?0.2+(-1)?2?0.3+2?(-1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5

cov(X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=-0.5-0.16=-0.66

cov(,)0.660.66

0.36 1.836()() 2.16 1.56

XY X Y D X D Y ρ-===-=-?

六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)

解：已知样本均值1950x =, 样本标准差s =300, 自由度为15-1=14, 查t 分布表得

t 0.025(14)=2.1448, 算出0.025 2.1448300(14)

166.13.87315

s t ?==, 因此平均使用寿命的置信区间为166.1x ±，即(1784, 2116)。

附：标准正态分布函数表22

1()e

d 2u x

x u π

-∞

Φ=

Φ(x )

0.9 0.95 0.975 0.99 x 1.281551 1.644853 1.959961 2.326342

t 分布表P {t (n )>t α(n )}=α α N

0.1 0.05 0.025 14 1.3450 1.7613 2.1448 15 1.3406 1.7531 2.1315 16

1.3368

1.7459

2.1199

第二部分附加题

附加题1 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0,,x x f x θθθ?+<<=?

?其它其中θ>-1为未知参数，又设x 1,x 2,

,x n 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似

然估计值。（满分15分）解：似然函数

1(1)n

n i i L x θ

θ=??=+ ???

∏

1ln ln(1)ln d ln ln d (1)n

i n

i L n x L n

x θθθθ===++=++∑∑ 令d ln 0d L θ

=，解出θ的最大似然估计值为

?1ln n

i n x θ==--∑

附加题2 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分） Y

y 1 y 2 y 3 P {X =x i }=i p ? x 1 18 x 2 18 P {Y =y j }=j p ? 1

解：已知X 与Y 独立，则 p ij =P (X =x i ,Y =y j )=P (X =x i )P (Y =y j ), 经简单四则运算，可得

Y X

y 1

y 2

y 3

P {X =x i }=i p ?

x 1 124 18 112 14 x 2 18 38 14 34

P {Y =y j }=j p ? 16

《线性代数、概率论》期末考试试卷答案

一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D 的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：

1．行列式G 的某一行中所有元素都乘以同一个数k 得行列式H ，则------------C -------------; (A) G=H ； (B) G= 0 ； (C) H=kG ； (D) G=kH 。

2．在行列式G 中，A ij 是元素a ij 的代数余子式，则a 1j A 1k + a 2j A 2k +…+a nj A nk--------D ------; (A) ≠G (j=k=1,2,…,n 时) ； (B) =G （j, k=1,2,…,n; j ≠k 时) ； (C) =0 (j=k=1,2,…,n 时) ； (D) =0（j, k=1,2,…,n ;j ≠k 时) 。 3．若G ，H 都是n ? n 可逆矩阵，则----------B ------------； (A) (G+H)-1=H -1+G -1 ； (B) (GH)-1=H -1G -1 ； (C) (G+H)-1=G -1+H -1 ； (D) (GH)-1=G -1H -1 。 4．若A 是n ? n 可逆矩阵，A*是A 的伴随矩阵, 则--------A ----------；

(A) |A*|=|A |n-1 ； (B) |A*|=|A |n ； (C) |A*|=|A |n+1 ； (D) |A*|=|A | 。 5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C ----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关； (B) α1, α2,…,αr-1 线性无关； (C) α1, α2,…,αr ,β线性相关； (D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。

6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是---------D ---------- (A) η1, η2, η3线性无关； (B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量； (C) A 的秩R(A)=2； (D) η1, η2, η3是正交向量组。

7．设λ1, λ2是实对称阵A 的特征值，η1, η2,分别是对应λ1, λ2特征向量，则----A -------- (A) 当λ1≠λ2时，η1与η2正交； (B) 当λ1=λ2时，η1与η2不正交； (C) η1, η2线性无关； (D) η1, η2线性相关。

8．设A 与B 相似，则在下列中错误的是----B --------

(A) A 与B 有相同的特征值； (B) A 与B 有相同的特征向量； (C) A 与B 有相同的谱半径； (D) ∣A ∣=∣B ∣。 9．设A 为n 级方阵，X 为n 维列向量, 则--------B ----------- (A) 二次型?(X)=X T AX 的矩阵是A ； (B) 二次型?(X)=X T AX 的矩阵是

()

T A A 2

+； (C) 二次型?(X)=X T BX 的矩阵不是A ； (D) 二次型?(X)=X T BX 的矩阵可逆；

10．实对称阵A 为正定的必要但不充分的条件是--------------D -------------------- (A) A 的特征值全为正； (B) A 与单位阵E 合同； (C) A 的各阶顺序主子式都大于零； (D) A 可逆。

11. 设A, B 为随机事件, 若--------C-------------- , 则A,B 相互独立。

(A) AB=Φ; (B) P(AB)=0; (C) P(āB)=P(ā)P(B); (D) A ∪B=Ω,AB=Φ。 12. 设A,B 为随机事件, 若P(A)=P(B)>0.5, 则------B------------ 。 (A) A,B 互不相容; (B) A,B 非互不相容; (C) A,B 相互独立; (D) A,B 相互不独立.

13. 盒中有5个球, 其中2个是红球, 3个是白球, 从中任取2球, 则取到1个红球的概率是---------------B-------- 。

(A) 0.4 ; (B) 0.6 ; (C) 0.3; (D) 0.48。 14. 设A,B 为随机事件, P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A-B)=0.1. 则------B-------- . (A) P(A ∪B)=0.6; (B) P(B-A)=0.3; (C) P(ā-B)=0.4; (D) P(AB)=0.2;

15. 设随机变量X 只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则 P(0

(A)14/15; (B) 7/15; (C) 2/15; (D) 4/15.

16. 己知函数? (x), 当x ?[0.1] 时? (x)=0;当x ∈[0,1] 时, ? (x)= --------D-------,则? (x)可看作某一随机变量X 的概率分布密度函数;

(A) x 2 ; (B) sinx; (C) e -x ; (D) 3x 2; 17. 己知随机变量X 服从区间[5.10] 上的均匀分布, 则----------C------------ . (A)P(X 2<9)=0.3 ; (B) P(X 2<9)=0.15 ;

18. 己知随机变量X 服从二项分布B(n, p), 则 D(X)/E(X)=---------B---------. (A) n ; (B) 1-p; (C) p ; (D) 1/(1-p).

19. 己知随机变量X 服从区间[a, b]上的均匀分布, 则D(X)= -----------D---------- . (A) 1/(b-a) ; (B) (a+b)/2; (C) (a-b)/2; (D) (b-a)2/12; 20.己知随机变量X 服从正态分布N( μ, σ2), 则E(X 2)= D . (A) μ2 ; (B) σ2 ; (C) σ2-μ2; (D) σ2+μ2; 二、解答题(每小题8分，共48分)

1．解矩阵方程：?

???

??=???? ??2011212111X

解：?

??-- ??=?

??? ??--?????- ??=???? ???????- ??=-122043111220112121112011211

X (8分) 另解：?

???

- ??=?

???

??=201121,2111B A ??????=??????

????????--??→?????????????????--??→????????????

?????-=??????---11024231001112221110121021121112

112BA E B A c c c c (6分) ∴???

-- ??==-1220431BA X (8分)

2. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1,η2,η3是它的三个解向量，且

η1=??????? ??5432 , η2+η3=????

??4321 ,求该方程组的通解。

解：设四元非齐次线性方程组XA=B, R(A)=3, η1,η2,η3是它的三个解向量, 则

η=2η1-η2-η3=????

??? ??6543是齐次线性方程组XA=0的一个基础解系。 (4分)

∴方程组XA=B 的通解为 X=k η+η1=????

? ??+??????? ??54326543k (8分)

3．求矩阵????

??????=100110011A 的特征值和特征向量：解：由

3)1(1

-=-----=

-λλλλλA E （3分）

得A 的特征值 λ1=λ2=λ3=1。（4分）

以λ=1，代入0)(=-X A E λ，得

?=-=-0

32x x （6分）其基础解系是????

??????=001X ，所以属于λ=1的全部特征向量是0,001≠????

?????k k 是任意常数。（8分） 4. 设)(),(),(,7.0)(,4.0)(,5.0)(B A A P B A P AB P B A P B P A P 求=== 解：;2.07.04.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P (3分)

3.04.07.0)()()(=-=-=B P B A P B A P (6分)

47.04.0)()()())(()(====

B A P A P B A P B A A P B A A P (8分)

5．设连续随机变量X 的分布函数为

???<≥+=-

x ,00x ,be

a )x (F 2

x 2

(1) 求常数a 、和b; (2) 求概率P{X 2<1};

(3) 求随机变量X 的概率密度函数。解：(1) a=F(+∞)=1, , a+b=F(0)=F(0-0)=0,

∴ a=1, b= -1, (3分)

即 ?????<≥-=-

0,1)(2

x x e

x F x (2) P{X 2<1}=F(1)-F(-1)=1-e -0.5; (5分) (3) X 的概率密度函数：

?????<≥='=-0

0,)()(2

x x xe

x F x f x

(8分) 6．设随机变量X 的概率密度为：

?≤>=-0

,)(x x e x f x

试求（1）X 的数学期望E(X)。（2）Y=e -2X 的数学期望E(Y)。

解：（1）E(X)=

?+∞

-+∞

∞

-+∞--==0

)()(x x e xd dx xe dx x xf

==--=??+∞

-+∞

-∞

+-0

][dx e dx e xe

x x

x 10

=-+∞-x

e (4分)

（2）E(Y)=3

31)(0

32=-==∞+-∞

+∞-∞+--??x x

x e dx e dx x f e (8分)

三、证明题(每小题6分，共12分)

1．若A 、B 均为数域P 上的n 级矩阵，A 与B 在数域P 上相似，且A 与B 都可逆，证明：A -1与B -1也在数域P 上相似，

证：A 与B 在数域P 上相似，则存在数域P 上可逆矩阵C ，使C -1AC=B, (2分) B -1

=(C -1

AC)-1

=C -1A -1

(C -1)-1

=C -1A -1

C. (5分) ∴ A -1与B -1也在数域P 上相似，(6分)

2．设随机变量X 服从正态分布N( μ, σ2), dt e

21)x (x

t 2?

∞

Φπ

, 常数a

证明：P{a

??-Φ-???

??-Φσμσμa b

证：随机变量X 服从正态分布N( μ, σ2)，其密度函数为

+∞<<-∞=

x e

x f x ,21)(2

22)(σμσ

π (1分) dx e b X a P x b

22)(21}{σμσ

π--?

=<< (3分)

令

,t x =-σ

则 dt e b X a P t b a 2

21}{---?=<

(5分)

=??

? ??-Φ-???

??-Φσμσμa b (6分)

07年A

1). 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,.αααααα--- (B) 122331,,.αααααα+++

(A) A 的行向量线性相关; (B) B 的行向量线性无关;

(3).设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000?? ?

= ? ???

B , 则与A B

(A),合同相似. (B),合同不相似. (C),不合同相似. (D),不合同不相似. 【】

二、填空题(每小题5分,共15分) (1). 在=Ax b 中,

3331

3,6,====∑∑n

j i i j i a

A b A 则3x = .

(2). 若n 阶矩阵A 的特征值为0,1,2,,1-n , 且B A , 则||+B E = .

(3). 1

-??

???

n n O A B O

三、(12分) 求以2

:=?Γ?=?y z x

为准线,母线平行于向量(2,1,1)的柱面方程. 四、 (12分) 设线性方程组1231232

12302040

?++=?

++=??++=?x x x x x ax x x a x 与方程12321++=-x x x a 有公共解,求a 的值

及所有公共解.

五、(12分). 设二次型()=T

f x x Ax ，其中022202220?? ?= ? ???

A .

(1) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1-成对角矩阵; (2) 若()1=-f x ,指出方程所表示的图形名称. 六、(12分) 设231210043-?? ?

= ? ???

A 且知3-=AX A X ，求矩阵X .

七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)

(1) 2

1,,1++-x x x x 是否可作为2

span{1,,1}++-x x x x 的一个基？求

22span{1,,1}++-x x x x 维数.

(2) 求→V W 的线性变换(,,)0

22+++??= ?++??a b c

a c T a

c a b c 的值域的基和零度空间的基

八、(10分) 设12,,,αααk 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，向量β满足0β≠A ，证明：向量组12,,

,αβαβαβ+++k 线性无关.

1).【 A 】(2).【 D 】(3).【 B 】

二、填空题(每小题5分,共15分) (1). 3x = 2 .(2). n! .(3). 1

1 n n

O B A O --??

???.

三、(12分).解(,,),(,,),设柱面上的点为准线上的点为则ΓΓΓΓΓp x y z p x y z

(2,1,1)Γ-=p p t

2即 ΓΓΓ-=??-=??-=?x x t y y t z z t , 或 2ΓΓΓ

=+??

=+??=+?x x t y y t z z t

代入20:=?Γ?=?y z x , 2

(2)

得 +=??+=+?y t z t x t 2,(2)消去即得所求柱面方程 -=-t z y x y ,

或 2

440.+-+-=x y xy y z

四、 (12分) 解:因为方程组①与②的公共解,即为联立方程组

1231232

1231

230204021

++=??++=??++=??++=-?x x x x x ax x x a x x x x a (*)的解.对方程组(*)的增广矩阵A 施以行初等变换: 2111010111200101 14000111211000(1)(2)???-?????-????=→=????--????---????????

a a a A B a a a a a a 因为方程组(*)有解, 所以12或==a a , 当1时,=a 10100100 00000000??????=??

????B , ①与②的公共解为101-????=??????x k ;

当2时,=a 10000101 00110000??????=??

-?????

?B , ①与②的公共解为011x ????=????-??

五、(12分).解: (1)222111

||2

2(4)22(4)(2)02

λλλλ

λλλ

--=-=--=-+=--A E , 解得 1234, 2.λλλ===- 当14λ=时, 142

2121101124

2033011122

40000001α---????????

????????-→-→-?=????????

????????-????????

; 当232λλ==-时, 232

22111112

220001,02

2200001αα--????????

????????→?==????????

????????????????

正交化, 32112233222,11

,,(,,1),22

αββαβαβαβββ<>===-

=--<>T , 单位化,

1123111111112(,,),(,,0),(,,)||||66333322

βεεεβ=

==-=--T T T

令123[,,]εεε=P , 则1422-??

??=-??

??-??P AP (2)做变换=x Py , 则222

123()4221===Λ=--=-T T T T f x x Ax y P APy y y y y y

整理得 222

312

1111422

-++=y y y ,为单叶双曲面. 六、(12分) 设解：由3-=AX A X ，得3-=AX X A ，

即1

131231(3)220210040043-----???? ? ?=-=- ? ? ? ?????

X A E A .

042231812

61100221008688844043241220------?????? ??? ?

=-=-- ??? ?-- ??? ?--?????

?33124301

.435322?

? ? ?=

? ? ?--

七、(12分) 解：(1) 2221

01[1,,1][1,,]1100

11-????++-=?

?????

x x x x x x ，而 101101110011011000--????

????→????????????

，故21,++x x x 可作为22span{1,,1}+++x x x x 的一个基，维数是2.

(2) 111222111(,,)()101022212????

+++?? ???

== ? ???++?? ???

????a a b c a c T a b c E E E b a b c c ,

而 111111101101010010212010000??????

? ? ?

→-→ ? ? ?

? ? ???????

, 故 1110()0201的基为,,???? ? ?????R T 10ker().01的基为-??

???

八、(10分)证：设1122()()()0αβαβαβ++++

++=k k t t t ，则

112212()0αααβ++

+++++=k k k t t t t t t （*）（*）式左乘A ，得112212()0αααβ++++++

+=k k k t A t A t A t t t

因为12,,,αααk 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系

因而，0α=j A ，所以 12()0β++

+=k t t t A , 但0β≠

从而120+++=k t t t ，继而11220ααα++

+=k k t t t ，

又 12,,

,αααk 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系。

推得120====k t t t ，证毕.

09年A

1). 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,.αααααα--- (B) 122331,,.αααααα+++

(A) A 的行向量线性相关; (B) B 的行向量线性无关;

(3).设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000?? ?

= ? ???

B , 则与A B

(A),合同相似. (B),合同不相似. (C),不合同相似. (D),不合同不相似. 【】

二、填空题(每小题5分,共15分) (1). 在=Ax b 中,

3331

3,6,====∑∑n

j i i j i a

A b A 则3x = .

(2). 若n 阶矩阵A 的特征值为0,1,2,,1-n , 且B A , 则||+B E = .

(3). 1

-??

???

n n

O A B O 三、(12分) 求以2

:=?Γ?=?y z x

为准线,母线平行于向量(2,1,1)的柱面方程. 四、 (12分) 设线性方程组1231232

12302040

?++=?

++=??++=?x x x x x ax x x a x 与方程12321++=-x x x a 有公共解,求a 的值

及所有公共解.

五、(12分). 设二次型()=T

f x x Ax ，其中022202220?? ?= ? ???

A .

(1) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1

-成对角矩阵; (2) 若()1=-f x ,指出方程所表示的图形名称. 六、(12分) 设231210043-?? ?

= ? ???

A 且知3-=AX A X ，求矩阵X .

七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)

(1) 2

1,,1++-x x x x 是否可作为2

span{1,,1}++-x x x x 的一个基？求

22span{1,,1}++-x x x x 维数.

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题您的答案:B 题目分数：0.５此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题您的答案:A 题目分数:０.５此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。第６题您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。第８题您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。第10题您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。第12题您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。（5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp 令mp = X ，解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<