行列式典型例题

第二讲行列式综合训练

第一部分

例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．

n D =

a a

解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

n D 11c n

c a

-?=

101a a

a a

1()n a a

--=n a -2

n a

方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．

n D n 1

r r -=

111

a -- 1n

c c +=1

a a a +-

a -2

n a

方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．

n D 1c 展开

n a a

a -

0010

(1)

0n n a

a +--

而 1

001

0(1)

0n n a

a +--

最后列展开=21

(1)n +-2

n a

a - =2

n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a -

方法4 利用公式

A O O

=A B ．

将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2)

(1)n --11a a

11a a

n a a -

a -2

n a

方法5 利用公式

A O O

=A B ．

例2.2 计算n 阶行列式：

21221

n n n n n

a b a a a a b a D a a a b ++=

(120n b b b ≠ )

解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．

1211212212

n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++

升阶

213111

n r r r r r r +---=

12121

1001001

a a a

b b b ---

12,,1

j c c b j n -+

=+=

111211

1210000000

0n n

a a a a a

b b b b b +

=1121(1)n n n

a a

b b b b b +

++ 这个题的特殊情形是

12121

n n n n a x a a a a x a D a a a x

++=

()n

n i i x

x a -=+∑

可作为公式记下来．

例2.3 计算n 阶行列式：

21111111

1n n

a a D a ++=

其中120n a a a ≠ ．

解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式

D 12,,i r r i n

-==

111

a a a a a +--

112,,j j

a c c a j n

1100n

b a a

其中11211n

i i b a a a ==++∑

1111n i i a a =??=+ ???∑，于是n D 12111n

n i i a a a a =??=+ ??

?∑ ．方法2 升阶（或加边）法

12111101110

1110

1n n a D a a +=++

升阶

12,3,,1

i r r i n -=+=

1211111001001

a a a ---

111

121,2,,1

11111

11j j

i j

c c a n

n j n i i n

a a a a a a a a +=+=-=+??

=+ ??

?∑

∑

方法3 递推法．将n D 改写为

2111011101

1n n

a a D a ++++=

n =

按c 拆开

12111111111

a a ++

211011011n a a a ++

由于

12111111

111

a a ++ 1,,1

i n r r i n -=-=

a a 121n a a a -=

121101101

a a a ++

n =

按c 展开

1n n a D -

因此n D =1n n a D -121n a a a -+ 为递推公式，而111D a =+，于是

n D =1n n a D -121n a a a -+ =12n a a a 11211n n n D a a a a --??+ ???

=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---?

???

=12n a a a 11211n D a a a ??+++

??? =12n a a a 12

1111n a a a ??

++++ ???

例２.4 设3

4312321

211

)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf .

证因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且

31221111)0(=------=f ,101

(1)1110121f =-=-

由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .

例2.5 计算D =2

2224444

111a

b c d a b c d a b c d ．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．

方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．

D 2433221

r a r r ar r ar ---=

222222222111100()()()0()()()

b a

c a

d a

b b a

c c a

d d a b b a c c a d d a ---------

1c 展开

=()()()

b a

c a

d a ---2221

()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开

=()()()b a c a d a ---（3

111

c d b c d +222

11a b

c d b c d ）

其中

11b c d b c d 23221

r b r r br --=22

2211

100()()

c b

d b c c b d d b ---- =()()

c b

d b --11

()()

c c b

d d b ++

=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+

由于2

11b

c d b c d 是范德蒙行列式，故2

111

b c d b c d =()()()c b d b d c ---

D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 2131

41c c c c c c ---=

222222

4444

1000a

b a

c a

d a

a b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开

=()()()

b a

c a

d a ---2222221

()()()()()()

b a

c a

d a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131

c c c c --=()()()

b a

c a

d a ---221

()()b a c b d b b a b a x y

+--++ 1c 展开

=()()()

b a

c a

d a ---c b d b x

其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++

D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---

=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---

方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：

5D =2222

2333334444

11111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为

4545(1)A D D +=-=-

又利用计算范得蒙行列式的公式得

5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---

=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----

=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43

[()]x a b c d x -++++ 其中3

x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++

由3

x 的系数相等得：

D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 例2.6 设4

232114

131

51||-=

A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.

解直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为

414243

1111A A A

A ?+?+?+?，故

A 41 + A 42 + A 43 + A 44 11113211431

13151-=

1602102310121000-=

=41

602

(1)

0230

12+--=62

03202

61=-- 例2.7 求解方程:

111111()01

1211

11(1)x f x x n x -==---

解方法1

()f x 1

2,,i r r i n

-==

111100

000100

(2)x x n x

-=---

=)2()1()1(1+----n x x x n

由题设知

0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n

所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.

方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成

)2()1()(+--=n x x Ax x f

于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:

2,,1,0121-===-n x x x n

例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.

解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故

01110212

n n n D n n --=

1,1,,2

i i r r i n n --=-=

1111

111

n ----

1,,1

j n c c j n +=-=

121

021

(1)2(1)020

n n n n n n ------=----

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．

方法2 01110

212

0n n n D n n --=

1,2,,111

1111

120

i i r r i n n n +-=----=--

2,,100120

123

j c c j n

n n n +=---=

---

=12(1)2(1)

n n n ----

例2.9 计算行列式22

111122

0000000b d b d c a c a D =

．解方法1 按第一列展开：

21120

000a c D a d b b =-0

000

2b d c a c d =1

22b d c a

b a -1

112

2b d c a c d

=（22b a -1

122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d

方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：

112323

11(1)a c D d b +++=-22

a c d

b =（11b a 11d

c -）（22b a 22

d c -）

例2.10 计算2n D =

111

a b a b c d c d

，其中未写出的元素都是0．

解方法1 利用公式

A O O

=A B ．

采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到

2n D =2(22)

(1)n --1

111

00000

n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----

=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -

= =()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c ----- 1111()a d b c -=1()n

i i i i i a d b c =-∏

方法2 利用行列式展开定理进行求解．

2n D 1r 展开

111

n n n

a b a b a c d c d d ----

+12(1)n

n b +-1

n n n n n

a b a b c d c d c ----

上面第1个行列式是

A O O

的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以

2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+----

=()n n n n a d b c -2(1)n D - = =1()n

i i i i i a d b c =-∏

例2.11 计算510001100011000110

001

1a a a

a D a a a a a ---=

------．解方法１采用递推的方法进行求解．

D 125

c c c ++=

10000100011000110

1a a a

a a a a

-------- 1c 展开=

1001100110011a a a a a a a -------+51000

0()(1)110011a a a a a a a

+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，

31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+

故 2

51D a a a a a =-+-+-

方法2 采用降阶的方法进行求解．

D 12

(1)r a r +-=

1001100011000110001

1a a a a a a a a a a a -+---------

213

(1)r a a r +-+=

0101100011000110

001

1a a a a a a a a a a a a a

-+--+--------

2314

(1)r a a a r +-+-=

234

0011100011000110

001

1a a a a a a a a a a a a a a a

-+-+-+---------

23415

(1)r a a a a r +-+-+=

2345

00011100011000110

1a a a a a a a a a

a a a

-+-+---------

1r 展开

=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-?--=23451a a a a a -+-+-

例2.12 证明

D n =

121

100010n

n n x

x a a a x a ----+

=111n n n n x a x a x a --++++

证方法1 递推法按第1列展开，有

D n = x D 1-n +（－1）

+n a n

1111n x

-----

= x D 1-n + a n

由于D 1= x + a 1，221

x D a x a -=

+，于是 D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2

D 2-n + a 1-n x + a n

= = x

-n D 1+ a 2x

-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++

方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2

倍，，第n 列的x 1

-n 倍分别加到第1列上

c xc n D +=

21121

10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

213

c x c +=

3212

12310

1000010001

0n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++

= =

x f

--- n r =

按展开

1(1)n f

+-1

11n x

----

其中111n n n n f a a x a x x --=++++

或 D n

21123n n

c xc x c x c -++++=

122

1000010000

1n n x x

a a a x a -----+

1=按c 展开

1(1)n f +-1

11n x x

----

1(1)

(1)n n f +---=f

其中1

11n n n n f a a x a x

x --=++++

方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

D n

111n n c c x c c x c c x

-+++=

1122

000000000n n n

n n n

x x x

a a a a a a k x

x x ---+

n =

按c 展开

-n k n = x

-n (

-n n x a + 21--n n x a + +x a 2

+a 1+x)

=111n n n n a a x a x x --++++

方法4 n r n D =按展开

1(1)n n a +-1000

100

001x x --- +

1(1)n n a +--

0000100001x x -- + +212(1)n a --100000

0001

x x --

+21(1)()n a x -+100000

000x x x

=（－1）

+n （－1）

-n a n +（－1）

+n （－1）

-n a 1-n x

+ +（－1）

2-n （－1）a 2x

-n +（－1）

2( a 1+x) x

-n

= 111n n n n a a x a x x --++++ 例2.13 计算n 阶“三对角”行列式

D n =

001

00010

1αβ

αβαβ

αβ

αβαβ

+++

＋

解方法1 递推法．

D n

按c 展开

()αβ+D 1-n —

(1)

000

010

1n αβ

αβαβαβ

-++

按r 展开

()αβ+D 1-n －αβD 2-n

即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---

递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---

＝＝221()n D D βα--

而1()D αβ=+，2D ＝

+α1αβ

β+α＝22ααββ++，代入上式得

1n n n D D αβ--=

1n n n D D αβ-=+ （2.1）

由递推公式得

1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++

＝α

-n ＋1

n n αβ

β-+＝

＝n α＋1n αβ-＋＋1n n

αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ11

1≠??

???++++n n n

方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式

D n =0

001000

1α

αβαβ

αβ

αβαβ

＋＋

00010001000000

1β

αβαβ

αβαβαβ

αβαβ

+++

上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式

00010001000000

1β

αβαβ

αβαβαβ

αβαβ

+++

12,,i i c ac i n

--==

0001000010000

01β

ββ

=βn

于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．

方法3 在方法1中得递推公式

D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n

又因为当αβ+时 D 1=αβ+=β

αβα--2

21D αβ

αβαβ+=

+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=β

αβα--3

3 D 3=

ααββ

α+++1

=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+2

()αβ+=β

αβα--4

于是猜想11

n n n D αβαβ

++-=-，下面用数学归纳法证明．

当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得

D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k

=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =β

αβα--++2

2k k

所以对于n ∈N +

，等式都成立．

第二部分

这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到

相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．

例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ?? ?

= ? ???

, 其中(1,2,3)i A i =是

A 的第i 行, 则行列式

22A A A A -=______.

解

22A A A A -=31

A A A A -=321

2A A A =123

22||4A A A A -=-=

例2.15 判断题

(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ．（） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-．（）

解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．

(2) 错误，例如取3003A ??= ???，2002B ??

= ???

，15A B A B -=≠-=．

例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.

证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.

例2.17 （数四，01，3分）设矩阵1111

11111111

k A k k ?? ?

?= ? ???

，且秩()R A =3，则k = 解由于1111

111111

11k k A k k =

124

r r r ++=

3333111

111111k k k k k k k

++++

1111

11(3)

11111

k k k k +=11110100(3)00100001

k k k k -+-- =3

(3)(1)k k +-

由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．

例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 2

11)(2--．

解 C B A C T 211)(2--=2

311

2T C A B

C -- =2

C A B

-=2

2A B

例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2

，试求矩阵B 以及行列式B ，

其中101020201A ??

?= ? ?-??

．解由E B A B A =--2

，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+

由于 201030202A E ??

?+= ? ?-??，180A E +=≠ 001010200A E ?? ?-= ? ?-??

，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-

001001/2010010200100--????

? ?== ? ?

? ?-????

所以2/1||=B ．

例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1

*1(

)32

A A --的值．解方法1 化为关于*

A 的形式进行计算．

利用公式1

()A A λλ--=，*1

A A A

-=，1n A A -*

=有

1()32

A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -

2A -=3*(2)A -=2

3(2)A -=32-

方法2 化为关于1

A -的形式计算．利用公式1

()

A A λλ

--=

，*1A A A -=，1A -=

，有 1*1

()32A A --=1123A A A ---=14A --=3

(4)-1A

=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1

*2-B A 的值．

解 1

*2-B

A =1

*2-B

A n =n

-n A

1?=n 212

-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，

m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．

解如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有

=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα

=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -

例2.23 计算行列式O

B A

O B A ，

，||||，其中

2(1)1

21121n n x n x n A x n n x n n -+??

?-+ ? ?=

?+- ? ?+-?

， 1

2000

010000B n n ??

? ?=

- ? ???

解 ||A =1

12(1)121121

n n x n x

n x n n x n n

-+-++-+-

12,,121000000

i r r i n

n n x

x x x x x x

-=-+-=

1,,1

n j c c j n +=-=

(1)

121

2000

00000

n n n x x x x +-+

这是逆对角的上三角行列式，所以

(1)12

(1)

(

n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2

)1(()1(2

-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．

注这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则

O A

B O

=(1)mn -A B ．

例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足T

AA E =，0A <，求 A E +．解方法1 由T

AA E =有

A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +

=A ()T

E A +=A E A +=A A E +

即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．

方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=T

E A +=A E +

即 A E +A =A E +

有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．

方法 3 由T

AA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2

A =1，又因为0A <，所

以有1A =-，故

A E +=A 1E A -+=T

E A -+=E A -+

即2A E +=0，A E +=0．

例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1．证方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为

1,1,2,,i i n λ== ，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为

1,1,2,,i i n λ+= ，于是1(1)(1)1n λλ++> ．

方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有

11n P AP λλ-??

?= ? ???

（

0,1,2,,i i n λ>= ）

即 11n A P P λλ-?? ?= ? ???

111n A E P P PP λλ--?? ?+=+ ? ??? =1111n P P λλ-+??

? ?

?+??

A E +=111

n P

P λλ-++

=1(1)(1)1n λλ++>

例2.26 设11112222a a A n

n n n a +?? ?+ ?= ? ?

+?? ，求A 解利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ= ．

11112222a

a A n

n n n a +?? ?+ ?= ? ?

+?? =1

000000

00a ?? ? ? ? ??? +1

1112222a n

n n n a ?? ?+

? ? ?

+??

= =11112222aE n n n n ?? ?

?+ ?

???

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算（四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算（二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

行列式习题答案

2 线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13， 5 -）（D ）（5,13--） 3 ．方程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =力（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转宜行列式D = D r ） ② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行推论：行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行行列式依行（列）展开：余子式M”、代数余子式州=（-1）砒定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则： 0 非齐次线性方程组：当系数行列式￡＞工0时，有唯一解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性方程组：当系数行列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法：用?“22把"21化为零，。。化为三角形行列式 0 "33 （列）（列）成比例，则行列式值为零；元素全为零，行列式为零。可加性的k 倍加到另一行（列）上，值不变

⑤上（下）三角形行列式:

行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义一般AB*BA,不满足消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕：A kl A kz =A k ^kl 对角短阵：若 AB 都是N 阶对角阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方制是0 数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 仔加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：

行列式-矩阵练习题

行列式矩阵练习题一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)k B. 秩(A)≥k C. 秩(A)=k D. 秩(A)≤k 6. 设A 、B 为同阶方阵，则下面各项正确的是( A ). A. 若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0 B. 若AB=0, 则A=0或B=0 C. A 2-B 2=(A-B)(A+B) D. 若A 、B 均可逆，则(AB)-1=A -1B -1 7. 当k 满足( A )时，?????=+=++=++0 z 2y -kx 0z ky 2x 0z ky kx 只有零解. A. k=2或k=-2 B. k ≠2 C. k ≠－2 D. k ≠2且k ≠－2 8. 设A 为n 阶可逆阵，则下列( B )恒成立. A.(2A)-1=2A -1 B. (2A -1)T =(2A T )-1 C. ［(A -1)-1］T =［(A T )-1］-1 D. ［(A T )T ］-1=［(A -1)-1］T 二、填空题

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算22 1 12312231315 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ? 3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A

4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ???? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+ 2.设00021000531 23004580034600A ?? ??? ? ??=?? ?????? ，求1.A - 二、讨论抽象矩阵的可逆性 1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -

矩阵典型习题解析

2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等设mn ij mn ij b B a A )(; )(==

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置

线性代数行列式经典编辑例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1 ,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，22 1 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =， 1,1, n a n =-，故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----

1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．

方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----

例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解：方法1 递推法按第1列展开，有

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号．答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i

行列式经典例题

大学——行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1 由题设知， an =0, a 〔2 1 , L ,a 1n n 1 丄故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 1 L n 2 r i r 1 1 1 L 1 D n M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 2 L L 1 C j C n M O O L ( 1)n 12* 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行?第二步用的每列加第 n 列. 证明：考察范德蒙行列式： =(a 一②o -打)3 -刃3 一 (匚 -y) 1 L n 1 1 1 L 1 1 0 L n 2 r i r i 1 1 1 L 1 M O i 1,2,L ,n 1 M O n 1 n 2 L n 1 n 2 L 方法2 D n Cj q j 2,L ,n 例2. 1 1 M n 1 设a , 0 L 2 L O 2n 3 L b , c 是互异的实数 =0 =(1)n 12n 2(n 1) 的充要条件是a + c =0.

=-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I . 1 1 1 a b c 行列式云即为y2前的系数?于是 1 1 1 a b c 口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c) =0 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D a n 1 a n 2 a i 解：方法1递推法按第列展开, D n = x D n 1 + (-1) a n 由于D1 = x + a 1，D2 2 1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1 n 1 a n 必+ a n = L = x D 1+ a n 2X n + a n 1x + a n =x n a〔x L a n 1x a n 方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上 q XC2 D n a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1

行列式练习题答案

一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （）. （A ）! n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1．各项以行标为标准顺序排列； 2．各项以列标为标准顺序排列； 3．各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.

一、填空题 1．若D=._____324324324,1333231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 1 4 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =

线性代数重要知识点及典型例题问题详解

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数典型例题

证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

前言：一、线代的特点： 1、内容抽象 2、概念多 3、符号多 4、计算原理简单但计算量大 5、证明简洁但技巧性强 6、应用广泛二、学习中要注意的问题 1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习 2、熟练掌握基本内容。基本概念（定义、符号）基本结论（定理、公式）基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）基本证明和推理方法 3、自己动手推证书中的每个结果尽量体会结论、证明的思想方法用自己喜欢的方式写出简要总结 4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）问题相互转化 5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理一、行列式等于零的证明方法例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35) 由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二在这里有一种常见的错误解法由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0 其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。例如 [1 1][ 1 1] [1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0 （KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）二、矩阵等于零的证明方法例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0