一元二次不等式恒成立问题

高校长组织写教育教学论文，对教师特别是我们青年教师，有很大的帮助.但说实在的，初上讲坛，理论与经验皆不足.说写学术论文，实则愧不敢当.“学术”二字，是经验丰富的特级高级教师、能力超群的青年骨干教师才担当得起的.如我刚步入教育行业之新手，实是不敢当.思忖良久，终觉胸内无文，只得将自己讲的一堂自我感觉还算良好的课，照搬了上来.文虽浅薄，但出自己手，虽不如他人，也算无愧了.

一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）

大而化之，步步紧逼

（化，分解讨论的意思）

【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的

学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：

似曾相识燕归来

无可奈何花落去

【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！

【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对

于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）

那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）

它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.

好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.

（师板书）

一、典例

例：关于x 的不等式()()042222

<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.

【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？

大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）

【生】是！（大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气不足）

【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？

【生】（大部分反应过来）不一定！

【师】为什么不一定啊？

【生】因为)2(-m 的值不定！

【师】（及时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？

【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）

【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这

个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.

（一）（准备工作）：讨论系数

（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）

?1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式

?2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.

【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我

们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这一步你写出来了，高考时两分就拿到手了.

（二）（具体步骤）：分类讨论

1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：

04002<-?+?x x

【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立

成立啊？

【生】是！

∴ 2=m 时，不等式恒成立

【师】那么我们来讨论第二步.

2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.

【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系

数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？

【生】分类讨论和数形结合的思想！

【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，

我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0

x 的取值是什么就可以了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m

或()02<-m .

那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.

那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与

x 轴交点是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如下图：

【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程

()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>?、0=?或0

()1 0)2>-m （的图像

）（102>-m 0>? )2( 02>-m 0=? )3( 02=-m 0

【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.

)2( 0)2(<-m 的图像

）（402<-m 0>? )5( 02<-m 0=? )6( 02<-m 0

【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一下图像，再看一下题

目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式

()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.

（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）

（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比如说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）

【生】第6个图像满足！

【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程

()()042222=--+-x m x m

应满足什么条件啊？

【生】（能迅速回答出来）02<-m 且0

【师】对！所以立马我们就能得出两个联立的不等式

[]???<----=?<-0)4)(24)2(2022m m m （

解之得：

22<<-m

综上所述，当22≤<-m 时，关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.（师强调：我们第一步做的等于2的那个值一定不要忘记）

【师】好了这道题我们基本上做完了.那么我把原不等式变为()()042222≤--+-x m x m

（≤<变为）那么哪一个图像满足条件啊？对应方程()()042222=--+-x m x m 要满足什么条件啊？

【生】（基本上所有的同学都能回出来）第5个！对应方程要满足02<-m 且0=?.

【师】对！那么我这样变，变为()()042222>--+-x m x m ，哪一个图像满足条件？对

应方程()()042222=--+-x m x m 应满足什么条件啊？

【生】（争先恐后的回答）第三个！对应方程要满足02=-m 且0

【师】那么变为()()042222≥--+-x m x m 呢？

【生】第2个！对应方程要满足02>-m 且0=?.

【师】非常好！那么大家在学习的时候要学会总结，学会举一反三.今天的课就讲到这里，

谢谢大家！

【注：这一节课在高一七班的效果比高一八班好，但基本上都达到了预期的效果.】作者简介

姓名：孟凡洲职业：数学教师

单位：鹤壁市淇滨育才学校高中部高一（8）班班主任：孟凡洲

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题一、教学目标 1、知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、情感目标；优化学生的思维品质二、教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择三、教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结四、教学过程 1、引人高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法解法一；分离参数由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ，又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式

（x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象

函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本

不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1）当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2）当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。

导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)

学习过程一、复习预习考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。

5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走）（1）求函数()f x 的导函数()f x '；（2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）；（3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性：（1）求函数()f x 的导函数()f x '；（2）()0f x '>，求单调递增区间；（3）()0f x '<，求单调递减区间；（4）()0f x '=，是极值点。考点一函数的在区间上的最值【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值。【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ，取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.

不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)(+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需???<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 例2、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。（1）当22a - <-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7 3 a ∴≤又4a >所以a 不存在；（2）当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ?? =-=--≥ ??? 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ （3）当22 a -> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又 4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤

一元二次不等式恒成立问题专项练习

一元二次不等式恒成立问题专项练习例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－40时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴00，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6 x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ????x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67 ，∴只需 m <67即可.

不等式恒成立问题的大全

不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)(+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 11>-x F 显然成立；当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 1．已知两个函数2()816f x x x k =+-， 32()254g x x x x =++，其中k 为实数. O x y x -1