【数学】2014版《6年高考4年模拟》：第8章 立体几何 第3节 空间向量在立体几何中的应用
掌门1对1教育 高中数学 【数学】2014版《6年高考4年模拟》 第三节 空间向量在立体几何中的应用
第一部分 六年高考荟萃
2013年高考题
一、选择题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正
四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于
（ ）
A ．
23
B ．
33
C ．
23
D ．
13
答案：A
设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建
立空间直角坐标系， 如下图所示：
则D （0，0，2），C 1（0，1，0），B （1，1，2），C （0，1，2），
=（1，1，0），
=（0，1，﹣2），
=（0，1，0），
设=（x ，y ，z ）为平面BDC 1的一个法向量，则，即，取=（﹣2，
2，1），
设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ=|
|=，
故选A ．
2．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱
111
ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为9
4,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C
的中
心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为
（ ）
A ．512π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
答案：B
取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。因为底面边长
为
3，所以33322AD =?
=,223
1332
AO AD ==?=.三棱柱的体积为21139
(3)224
AA ??=,解得13AA =，即1
3O
P A A ==,所以
t a n 3OP
PAO OA
∠=
=，即3
PAO π
∠=
，选B.
3．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111
ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ）
A ．317
2 B ．210
C ．
132
D ．310
答案：C
由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。计算AM=
5
2
，由垂径定理，OM=6，所以半径R=22
513
()62
2
+=
,选C. 4．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且
AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那
么m n +=
（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 答案：A
本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断。由图象可知4m =，其中上底面与CE 平行，下底面过直线CE 。在正四面体题中，取CD 的中点H,则CD EFH ⊥,又AB//CD ，所以平面EFH 平行于正方体的左右两个侧面，所以直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数4n =。所以8m n +=，选A.
5．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四
面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 答案：A
因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为： 故选A ．
二、填空题
6．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧2
2
(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影
部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2
418y ππ-+,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________
答案：2
216ππ+.
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为2
2
1228216πππππ??+?=+．
7．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,
点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.
答案：
25
5
如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1， 因为
，CC 1⊥底面ABCD ，所以四边形EFC 1C 是矩形．
所以CC 1∥EF ，
又EF ?平面D 1EF ，CC 1?平面D 1EF ，所以CC 1∥平面D 1EF ．
所以直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离． 过点C 1作C 1M ⊥D 1F ，
因为平面D 1EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1． 所以C 1M ⊥平面D 1EF ．
过点M 作MP ∥EF 交D 1E 于点P ，则MP ∥C 1C ． 取C 1N=MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形． 可得NP ⊥平面D 1EF ，
在Rt △D 1C 1F 中，C 1M ?D 1F=D 1C 1?C 1F ，得
=
．
所以点P 到直线CC 1的距离的最小值为
．
8．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则
=21:V V ____________.
1D
1B
P
D
1C
C
E
B
A
1A
答案：1:24 112211111334224
ADE ABC V S h S h V ==??=
所以121
:24
V V =
三、解答题
9．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直
径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
A B
C
A
D
E
F B
C
10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=,F 为PC 的中
点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点
为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.
(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 解:
(Ⅰ)
PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面
//AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? .
所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面
与面面C . (Ⅱ)
r
PO
OPF F CD r =
??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ?
-?
=
?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )
223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.
法二:
1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体
BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P
是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.
解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以
//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ;
A
B
C
D
P
Q
M
（第20题图）
方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1
//
2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11
////42
QH AD MD ,所以
////P O Q H P Q O H ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以
CG BMD
⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到813BM =
+=,设BDC α∠=,所以
cos ,sin 22cos ,22cos sin ,22sin ,CD CG CB
CD CG BC BD CD BD
αααααα===?===,
在RT BCG ?中,2sin 22sin BG
BCG BG BC
ααα∠=∴=
∴=,所以在RT BHG ?中, 22
122sin 3
322sin HG
HG α
α=∴=,所以在RT CHG ?中
2
22cos sin tan tan 60322sin 3
CG CHG HG αα
α
∠===
= tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=;
2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,
异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6
π
,求该三棱柱的体积.
[解]因为1CC 1AA .
所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6
π. 在Rt 1BC C ?中,113
tan 6233
BC CC BC C =?∠=?
=, 从而23
334
ABC S BC ?=
=, 因此该三棱柱的体积为1336183ABC V S AA ?=?=?=.
3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
本小题满分14分.
如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点
∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB
又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ?平面SAB
A
B C
S
G
F
E
B 1
A 1
C 1
A
C
B
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC
又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA
4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线
BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.
D 1
C 1
B 1
A 1
D C B
A
因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,
故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C;
直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h
考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323
V =????= 而1AD C ?中,11
5,2AC DC AD ===,故13
2
AD C S ?= 所以,13123233
V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2
3.
5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直
线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加
以证明;
(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足1
2
DQ CP =
.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,
异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.
第19题图
解:(I)
EF AC ,AC ABC ?平面,EF ABC ?平面
EF ABC ∴平面
又EF BEF ?平面
EF l ∴ l PAC ∴平面
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直
角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中
3A O '=.
C D
O
x E
'A
向量法图
y
z B
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD ===
连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得
222cos455OD OC CD OC CD =+-??=
由翻折不变性可知22A D '=,
所以222
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥, 又OD
OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.
结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =
,从而22
302
A H OH OA ''=+= 所以15
cos 5
OH A HO A H '∠=
=',所以二面角 A CD B '--的平面角的余弦值为155
. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,
C D O
B
E
'A
H
.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
则()
0,0,3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以()0,3,3CA '=,()
1,2,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ?'?=??
'?=??,即330230
y z x y z ?+=??-++=??,解得3y x z x =-???=??,令1x =,得()
1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,()
0,0,3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以315
cos ,535n OA n OA n OA '?'=
==?'
,即二面角A CD B '--的平面角的余弦
值为
15
5
. 7．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A
1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A 1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A
1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.
(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,
∵AB=1AA ,
1BAA ∠=0
60,∴1BAA ?是正三角形,
∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ?=E,∴AB⊥面1CEA ,
∴AB⊥1AC ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,
又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA , ∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知
A(1,0,0),
1A (0,
3
,0),C(0,0,
3
),B(-1,0,0),则
BC =(1,0,3),1BB =1AA =(-1,0,3),1AC =(0,-3,3),
设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,
则100BC BB ??=???=??n n ,即3030
x z x y ?+=??+=??,可取n =(3,1,-1), ∴1cos ,A C n =
11|
A C A C ?n |n ||10
5, ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
10
5
8．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底
面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==. (Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;
(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.
O
D 1
B 1
C 1
D A
C
B
A 1
解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴?⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD 中
,
BD
C A AC A C A AC A B
D A AC O A BD AC ⊥?⊥=?⊥11111,，故面且面所以；且.
在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=?O A OA A RT 中，在
O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.
，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =???111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则
)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=?C A B A C B ，，，，）（.
由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OC OB C A n 设
平
面
OCB 1的法向量为
，
则0,0,2122=?=?OC n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个2
1
2
21|
||||||,cos |cos 212111=?=
??=
><=n n n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为
3
π 9．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面
ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线
段AD 的中点.
(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线
l ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.
D 1
D C
B A 1
B 1
C 1
A P
解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,
BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .
O
D 1
B 1
C 1
D
A
C
B
A 1
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
(完整版)高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)
高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
中职数学试卷：立体几何
江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分）
沪教版六年级数学(上)
六年级数学（上）目录 第一章数的整除 第一周 1.1 整数与整除的意义-1.3 能被2，5整除的数 (1) 第二周 1.4 素数、合数与分解素因数 (5) 第三周 1.5 公因数与最大公因数（1）-1.6 公倍数与最小公倍数 (9) 一月一考第一章数的整除 (13) 第二章分数 第四周 2.1 分数与除法（1）-2.2 分数的基本性质（2） (17) 第五周 2.2 分数的基本性质（3）-2.3 分数的大小比较 (21) 第六周 2.4 分数的加减法（1）-（3） (25) 第七周 2.4 分数的加减法（4）-（5） (29) 一月一考第二章分数（2.1 分数与除法-2.4 分数的加减法） (33) 第八周 2.5 分数的乘法-2.6 分数的除法 (37) 第九周 2.7 分数与小数的互化-2.8 分数、小数的四则运算（2） (41) 第十周 2.8 分数、小数的四则运算（3）-2.9 分数运算的应用 (45) 一月一考第二章分数（2.5分数的乘法-2.9分数运算的应用） (49) 第三章比和比例 第十一周 3.1 比的意义-3.2 比的基本性质 (53) 第十二周 3.3 比例-3.4 百分比的意义 (57) 第十三周 3.5 百分比的应用（1）-3.5 百分比的应用（3） (61) 第十四周 3.5 百分比的应用（4）-3.6 等可能事件 (65) 一月一考第三章比和比例 (69) 第四章圆和扇形 第十五周 4.1 圆的周长-4.3 圆的面积（1） (73) 第十六周 4.3 圆的面积（2）-4.4 扇形的面积 (77) 一月一考第四章圆和扇形 (81) 期中测试 (85) 期末测试 (89) 参考答案 (93)
离散数学第五版 模拟试题 及答案
《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ，22R，R1·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝ 写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式，并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0
立体几何三视图[高考题精选]
三视图强化练习 （13）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 （12）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B．62C．10 D．82 （11文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．16+162C．48 D．16+322
（13）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、5603 B 、5803 C 、200 D 、240 （13）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<
（13全国新课标1）8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ （A）8π 8+ （B）8π 16+ （C）π61 8+ （D）16π -中的坐标分别是(1,0,1)，（13全国新课标2）7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) （12天津）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积3 m. （11东城二模）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为
职高数学——立体几何
平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符 号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地 说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; ; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ . 3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P $ ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内.
沪教版 数学 六年级 上册复习 (绝对经典)
未来教育学科教师辅导讲义 学员姓名 年 级 科 目 授课时间段 学科教师 课时数 2H 课 题 教学目标及重难点 教学内容 专题一：整除（数的整除、分解质因数、最大公约数、最小公倍数） （1）分解质因数：（分解彻底） （2）最大公约数、最小公倍数以及如何求约数，约数和 A 、求法：（短除法、分解质因数法） B 、A ×B=（A 、B ）×[A 、B] C 、求约数个数：指数加1在相乘 求约数和：从每个因数的零次方开始加，一直加到这个因数本身，然后再把所有的这些和相乘。 例如：18=2×23 约数个数为：（1+1）×（2+1）=6个 约数和为：（1022+）×（210333++）=39 【备注】有时,整除出的题咋一看貌似有些小难，但是只要稍微经过分析，就会发现所谓的难题都是”纸老虎”。 专题二：分数(分数、繁分数计算化简；裂项，分数与小数互化) （1） 分数计算技巧： 加减法：能凑整则先凑整、分母相同的放在一起先算（死算时通分） 乘除法：带分数化为假分数、小数化为分数、能约分则尽量约分 （2） 繁分数化简计算 【备注】繁分数更多的是一个工具，通常它会出现在分数的混合计算当中来考查学生的化简能力、细心程度。 解题技巧：在计算中碰到小数，尽快转化成分数、做到步步为营，细心决定成败。 （3）分数的裂项：（分母为乘积、分子为和差） )1(1+n n =n 1-)1(1+n ) 1(+n n a )k (1+n n =k 1 [n 1-)(1k n +] ) k (+n n a )2)(1(1++n n n = 21 [)1(1+n n -)2)(1(1++n n ] ) 2)(1(++n n n a
六年级数学上册知识汇总(沪教版)
六年级数学教材目录（沪教版）六年级上册 第一章数的整除 第一节整数和整除 1.1整数和整除的意义 1.2因数和倍数 1.3能被2、5整除的数 第二节分解质因数 1.4素数、合数与分解质因数 1.5公因数与最大公因数 1.6公倍数与最小公倍数 第二章分数 第一节分数的意义和性质 2.1分数与除法 2.2分数的基本性质 2.3分数的大小比较 第二节分数的运算 2.4分数的加减法 2.5分数的乘法 2.6分数的除法 2.7分数与小数的互化 第三章比和比例 第一节比和比例 3.1比的意义 3.2比的基本性质 3.3比例 第二节百分比 3.4百分比的意义 3.5百分比的应用 3.6等可能事件 第四章圆和扇形 第一节圆的周长和弧长 4.1圆的周长 4.2弧长 第二节圆和扇形的面积 4.3圆的面积 4.4扇形的面积 第一章整数 1.1 整数和整除的意义 1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数
2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数 3. 零和正整数统称为自然数 4．正整数、负整数和零统称为整数 5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。1.2 因数和倍数 1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数 2．倍数和因数是相互依存的 3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身 4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除 2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除 6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数 1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数 2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数 3. 1既不是素数也不是合数 4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数 5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。 7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法1.5 公因数与最大公因数
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们 都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→ｑ为假命题。 （7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。
职高数学——立体几何
平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、
(精校版)沪教版六年级上册数学知识点
(完整word版)沪教版六年级上册数学知识点 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)沪教版六年级上册数学知识点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)沪教版六年级上册数学知识点的全部内容。
1。1 整数和整除的意义 1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1，2，3,4,5，……,叫做整数 2．在正整数1，2，3,4，5,……,的前面添上“-”号，得到的数-1,-2，—3，—4,—5，……,叫做负整数 3. 零和正整数统称为自然数 4．正整数、负整数和零统称为整数 5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。 1.2 因数和倍数 1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数 2．倍数和因数是相互依存的 3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身 4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3能被2，5整除的数 1．个位数字是0，2,4,6,8的数都能被2整除 2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数 3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4．在正整数中,与偶数相邻的两个数是奇数 5．个位数字是0，5的数都能被5整除 6。 0是偶数 1。4 素数、合数与分解素因数 1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数 2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数 3. 1既不是素数也不是合数
立体几何三视图(高考题精选)
三视图强化练习 （13北京）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 （12北京）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11北京理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B．C．10 D． （11北京文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．C．48 D．
（13辽宁）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13重庆）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、 5603 B 、580 3 C 、200 D 、 240 （13湖北）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<
（13全国新课标1）8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ （A）8π 8+ （B）8π 16+ （C）π61 8+ （D）16π -中的坐标分别是(1,0,1)，（13全国新课标2）7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) （12天津）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积3 m. （11东城二模）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为
(2020年整理)中职升高职数学历年真题回编—立体几何.doc
中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理 一．选择题 1.XXXX08、若平面α∥平面β，直线 ?平面α，直线 ?平面β，那么直线，的位置关系是（ ） 平行 异面 平行或异面 相交 2.XXXX10、下列命题中正确的是（ ） ∥平面，直线∥平面则∥ ⊥直线，直线⊥直线则∥ ⊥平面，直线⊥平面则∥ ⊥平面，平面⊥平面则∥ 3.XXXX10在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，则P 到直线BD 的距离是（ ） A B 2 C D 3 4.XXXX08 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A ο90 B ο60 C ο45 D ο30 5.XXXX08、下列说法： ①γβαγβγα⊥?=?⊥⊥l l ,, ②b a b b ⊥?αα,//,// ③b a b a ⊥?⊥αα,//, ④b a b a ⊥?⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ?⊥⊥ 说法正确的有（ ） A 、①②③ B 、③④⑤ C 、②③④ D 、①③⑤ 二．填空题 6.XXXX19．若直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，则直线m 与n 的位置关系是 7.XXXX18、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离分别为5和4，则S 到 l 的距离为 .
8.XXXX19 正方体1111D C B A ABCD 中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。 9.XXXX18、在长方体 － 中， ＝3， ＝４， ，则对角线 所成的角是 10.XXXX18、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题 11.XXXX26证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与 的 交点， 底面 ，为中点，为中点。 ⑴ 求证：直线∥平面 ； ⑵ 若正方形 边长为4， ，求：直线 与平面 的所成角的大 小. 12.XXXX26证明（10分） 如题26图，是二面角 内一点， 是垂足。 求证：。 O E P D C B A F L B C A 题26图
高三数学立体几何专题复习课程
高三数学立体几何专 题
专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
中职数学立体几何教案设计
x x 职业技术教育中心 教案
复习引入： 新授： 1． 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来 表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示 竖直的平面．请注意它们画法之间的区别． 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步 骤进行． 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面 α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分． 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ?α； ③直线l 在平面α内，记作l ?α； ④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?． 在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？ 2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面． 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面． 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ； (3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ； (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？ (1)点A 在平面α内，记作A ?α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?． 2. 平面的基本性质 基本性质： 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) β D A B C D 图5-27(1) A D B C α
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本 题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
2014届高三数学北京各区模拟分类汇编-立体几何(文科)
2013年模拟训练题---立体几何(文) (一 )三视图 1.(2013西城期末2-5)．某四棱锥的三视图如图所示， 该四棱锥的体积是（ ） （A ）53 （B ）23 （B ）（C ）533 （D ）23 3 2.（2013西城一模10-5）．某正三棱柱的三视图如图所示，其 中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是（ ） （A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 3.（2013丰台期末5-2）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等 腰直角三角形， 则该三棱锥的体积是（ ） (A) 43 (B) 8 3 (C) 4 (D) 8 4.（2013通州期末5）一个几何体的三视图如图所示， 该几何体的体积是（ ） （A ）1642+ （B ）1242+ （C ）8 （D ）4 2 2 2 正（主）视 侧（左）视 俯视
5.（2013东城期末3-11）一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 ． 6.（2013海淀一模8-11）.某几何体的三视图如图所示， 则它的体积为______. 7.（2013东城一模12-5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧． 面积是( ) （A ）2 (1+2)cm （B ）2 (3+2)cm （C ）2 (4+2)cm （D ）2 (5+2)cm 8.（2013东城二模13-4）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三 个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的 个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9.（2013昌平期末5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图 中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（ ） A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 B. 10.（2013海淀二模9-4）.某空间几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的表面积为( ) 俯视图 2 4 侧视图 主视图222 4 46 6 6 左视图 5 俯视图 主视图 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图
沪教版六年级数学知识点汇总
沪教版六年级数学 第一章数的整除 1.1整数和整除的意义 零和正整数统称为自然数。 正整数、零、负整数统称为整数。 整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。 注意整除的条件： 1、除数、被除数都是整数 2、被除数除以除数，商是整数而余数为零。 1.2因数和倍数 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫a的因数（也称为约数） 倍数和因数是相互依存的 注意： 1、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身 2、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3能被2,3,5整除的数 个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除。 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 个位上是0或5的整数都能被5整除。 将一个整数的各位数字相加，如果得到的和能被3整除，那么这个数就能被3整除。 注意： 1、在正整数中（除 1 外），与奇数相邻的两个数是偶数 2、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 3、0 是偶数 1.4素数、合数与分解素因数 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1、素数、合数三类。（依据：因数的个数） 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 用短除法分解素因数的步骤如下： 1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除 2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，知道得出的商是素数为止。 3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 1.5公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。如果两个整数只有公因数1，那么称为这两个数互素。 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。 1.6公倍数和最小公倍数
离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答 6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③ 分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对 给定运算的封闭性,具体方法已在 5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法. 1°给定集合S和二元运算°,判定