反证法与放缩法知识点梳理
课题：反证法与放缩法
备课教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清
1、教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程.
2、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
3、学生必须掌握的内容：
1．反证法
证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．我们把它称之为反证法．
2．放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
3．换元法
将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法．
注意：
1．关于反证法
(1)反证法的原理是否定之否定等于肯定． 即第一次否定—在假设中，否定了结论
↓ 第二次否定—通过推理论证，又否定了假设
(2)反证法的使用范围
一般以下几种情况适宜使用反证法：
①结论本身是以否定形式出现的一类命题；
②有关结论是以“至多…”或“至少…”的形式出现的一类命题；
③关于唯一性、存在性的命题； ④结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
(3)使用反证法的主要步骤
(4)准确地作出反设是反证法证题的前提，下面是常用词语的反设
原结论 反设 原结论 反设
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 至少有一个不是 至多有一个 至少有两个
反证法导学案
反证法导学案 编写：王长德审核：朱效利日期2012.3.2 一、学习目标 知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。 过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。 情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。 二、学习重、难点 重点：反证法的证明步骤。 难点：运用反证法证题。 三、学习过程 （一）、课前思考 问题1 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动… 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 问题2 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的? 1 知识改变命运学习成就未来
（二）、课内探究 各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题： 1、反证法的定义： __________。 2、反证法的步骤：（1）先假设。 （2）然后通过，推出与、、 或，说明假设不成立，从而得到原结论正确。（三）、典型例题 例1 说出下面的反面的假设 （1）直线与圆只有一个交点。 （2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 （3）一个三角形中不能有两个钝角。 例2 试使用反证法证明下列结论 （1）证明线面平行的判断定理。 （2）证明2不是有理数。 2 知识改变命运学习成就未来
（四）、课堂检测 1、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行。 2、设p是质数，证明：p是无理数 四、课堂小结：过这节课的学习你有哪些收获与体会？ 五、课后练习 试用反证法证明下列结论 1、求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也 不等。 3 知识改变命运学习成就未来
高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法
2.2.2 反证法 [学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 知识点一间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明. 常见的间接证明的方法是________. 知识点二反证法 1.反证法定义 假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下： (2)反证法主要适用于什么情形？
题型一用反证法证明结论否定的问题 例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分. 反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明. 跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数. 题型二用反证法证明唯一性问题 例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.
反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P . 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条. 题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成 立.
人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法
自我小测 1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B 3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A ．3a ＝3b B ．3a ＜3b C ．3a ＝3b 且3a ＜3b D ．3a ＝3b 或3a ＜3b 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)， 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12 .那么它的假设应该是__________． 7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件． 8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 ，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ????1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13 log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
反证法导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间： 3反证法 【教学目标】 1. 结合已学过的实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法。 2.了解反证法的思考过程与特点，能正确运用反证法进行数学证明。 3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。 【重点、难点】 重点：反证法。 难点：反证法的应用。 【学法指导】 1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3预习p13-p15 【自主探究】不看不讲 1.在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一。我们可 先假设---------------， 在这个前提下，若推出的结果与------、------、------相矛盾，或与命题中的----------相矛盾，或与假设相------、从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定--------------成立，这种证明方法叫作反证法。 2.反证法的整体步骤是： （1）作出-------------的假设；（2）进行推理，导出------------；（3）否定-----，肯定--------。 3.若证明命题“质数有无限多个”，适宜的证法是（） （A）综合法（B）分析法（C）反证法（D）逼近法 4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 （A）假设至少有一个钝角（B）假设至少有两个钝角（C）假设没有一个钝角（D）假设没有一个钝角或至少有两个钝角。 5、已知 1 , 0< §3.2反证法和放缩法
§3.2反证法和放缩法 ☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ??? ?? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 . 例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有： 10．已知2 22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12 2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） .A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞ 例4 已知22 1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(， ②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-
华师大版八年级数学上册导学案含答案-14.1 3.反证法
3.反证法 学习目标： 1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤（重点）； 2.学会运用反证法证明有关命题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________法. 2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？ 答：第一步：____________________；第二步：_______________；第三步：_________________. 二、新知预习 1.除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法. 2.在证明一个命题时,有时先假设______的反面是正确的；然后通过_________，推出与基本 事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设___________，进而得出原结论 正确.这种证明方法叫做_______法. 合作探究 一、探究过程 探究点：反证法 操作画出如下三角形，计算较短两边的长的平方的和，与较长边的平方，它们是否相等？ （1）1，1.5，2.4；（2）1.5，2，2.5；（3）1.5，2.5，3. 猜想当一个三角形的三边a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角 三角形. 问题你会如何证明这个猜想？ 【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事 实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. . 已知： . 求证： . 证明：假设，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有条直线与直 线c平行，这与“过直线外一点”矛盾. ∴假设不成立. ∴ . 【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出 与已知公理或定理之间的矛盾.
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．
常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
人教版数学高二选修4-5导学案三反证法与放缩法
学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式． 知识点一反证法 思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 梳理反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行________________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明________不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明____________________，从而断定原命题成立． 知识点二放缩法 思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？ 梳理放缩法 (1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值______或________，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． (2)放缩法的理论依据 ①不等式的传递性． ②等量加(减)不等量为____________． ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论 例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， 求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能同时大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；
高中数学人教B版选修1-2学案：2.2.2 反证法
2.2.2 反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.(重点、难点) [基础·初探] 教材整理反证法 阅读教材P39～P40的内容，完成下列问题. 1.反证法 一般地，由证明p?q转向证明﹁q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾主要是指： (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.() (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.() (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.() 【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法. (2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理. (3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数 列. 【精彩点拨】 第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求 解.第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明. 【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ???a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2). (2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝ b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
2014秋冀教版数学八上17.5《反证法》word学案
17.5反证法导学案 【学习目标】 知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】 学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。 学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 【学习过程】 一、学前准备 1、复习回顾 两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只 有条直线与已知直线垂直。 2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。他运用了怎样的推理方法? 答：。 3、自学课本162页内容： （1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法. 反证法证题的基本步骤： 1．假设；（反设） 2．从这个假设和出发，经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果；（归缪）3．由，判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论） 二、自学、合作探究 1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，则（） 这与矛盾．假设不成立． ∴． 例2、用反证法证明平行线的性质定理一：。
2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法
[课时作业] [A组基础巩固] 1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数． 答案：C 2．设x>0，y>0，A＝ x＋y 1＋x＋y ，B＝ x 1＋x ＋ y 1＋y ，则A与B的大小关系为() A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A1 D．M与1大小关系不定 解析：M是210项求和，M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 < 1 210＋ 1 210＋ 1 210＋…＋ 1 210＝
1，故选B. 答案：B 5．若f (x )＝? ????12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A 解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2 ＝2ab a ＋b ， 又∵f (x )＝? ?? ??12x 为单调减函数， ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ?? ??2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________． 答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12 7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b | ，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b | ＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b | ＝1. 答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2 ，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2 ＝M . ∴M 新冀教版八年级数学上册17.5反证法导学案 【学习目标】 知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】 学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。 学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。 【学习过程】 一、学前准备 1、复习回顾 两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只 有条直线与已知直线垂直。 2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。他运用了怎样的推理方法? 答：。 3、自学课本162页内容： （1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法. 反证法证题的基本步骤： 1．假设；（反设） 2．从这个假设和出发，经过，得出与、，已证明的、或等相矛盾的结果；（归缪）3．由，判定假设不成立，从而说明是正确的.（结论） 二、自学、合作探究 1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC中，AB≠AC 求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，则（） 这与矛盾．假设不成立． ∴． 例2、用反证法证明平行线的性质定理一：。 八年级数学下册 4.4《反证法》学案浙教版 4、4 反证法 【学习目标】 1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤； 2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题； 3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。 【学习过程】 1、阅读书中故事路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。 2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？ 3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。 这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。４、请你写出下列结论的反面 1、a⊥b； 2、d是正数； 3、a≥0； 4、a∥b。答： ______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。 ①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法? ８、当堂练习：书作业题 9、甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠 《反证法》导学案 学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法； 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材，找出疑惑之处） 复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学 学习探究 探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装? 新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 . 试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列. 反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题 例1 已知0 =有且只有一个根. a≠,证明x的方程ax b 变式：证明在ABC ∠一定是锐角. ∠是直角,那么B ?中,若C 小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、 公理、定理、事实矛盾等）. 例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60?. 小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 动手试试 练1. 如果 1 2 x>,那么2210 x x +-≠. 三 反证法与放缩法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ????? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知. 21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0)(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a 高二数学必修五导学案 编号： 课题：§2.2综合法、分析法和反证法 课型：新授课 课时：1 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 3了解反证法是间接证明的一种基本方法.4.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问 8591 ，找出疑惑之处） 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务二：反证法 1．反证法 一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论不成立)．经过正确的________，最后得出________，因此说明______________，从而证明了原命题________．这样的证明方法叫做反证法． 2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与________、________、________、________矛盾等． ※ 典型例题 例1 例2 ※ 动手试试 1.已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） A ．2212a b ab +<< B ．22 12a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．22 12 a b ab +<< 2. 在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 3. 观察式子：213122+ < 221151233++< 222111712344 +++<…则可归纳出式子为（ ） A ．22211111(2)2321n n n ++++<- ≥ B ．2221111 1(2)2321 n n n ++++<+ ≥ C ．222111211(2)23n n n n -+ +++< ≥ D ．222 11121(2)2321 n n n n ++++<+ ≥ 4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设a b c ，，都是偶数 B ．假设a b c ，，都不是偶数 C ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 D ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 5. 已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数． ※归纳反思 三反证法与放缩法 1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点) 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点) [基础·初探] 教材整理1反证法 阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题． 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法． 如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数． 【答案】 C 教材整理2放缩法 阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题． 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式， 从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是() 【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D.|a－b|＞h 【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] 利用反证法证“至 多”“至少”型命题 (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． 【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－2f(2) 1.1 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 一、学习准备： 1、等腰三角形的两底角 。 2、等腰三角形 、 及 互相重合。 3、等腰三角形两底角的平分线 。 4、等边三角形的三个内角都 ，并且每个内角 。 二、学习目标： 1、掌握等腰三角形的判别方法。 2、结合实例体会反证法的含义。 三、学习提示： 1、自主学习：看书P8完成填空： 等腰三角形的 相等。反过来，有两个角相等的三角形是 。 定理： 是等腰三角形。 简称： 。 2、合作探究：例2 已知：如图，AB=DC ，BD=CA 。 求证：△AED 是等腰三角形。 讨论：①证明一个三角形是等腰三角形，可以利用的方法是什么？ ②怎样证明AE=DE ？ ③怎样证明∠ADB=∠DAC? 3、自主学习P8的想一想。 小明在证明时，先假设 ，然后推导出 A B C D E 、基本事实、 相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 4、自主学习P9例3，并完成证明。 练习：P9 随堂练习 四、学习小结：这节课你有哪些收获和体会？ 五、夯实基础： 1．在△ABC 中，AB=AC,∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=EB ，则∠A 等于（ ） （A ）30° （B ）36° （C ）45 ° （D ）54° 3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ） （A ）35° （B ）20° （C ）35 °或 20°（D ）无法确定 4．等腰三角形的顶角等于一个底角的3倍，则顶角的度数为 ，底角的度数为 5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于260°，则它的底角度数为 6．等腰△ABC 中，AB=AC ，BC=6cm ，则△ABC 的周长的取值范围是 7．已知如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ， BD ＝CE ，M 是AC 的中点，求证：△DEM 是等腰三角形 六、能力提升： 1．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且BC ＝10，求△DCE 的周长。 全国名校学案，高二数学，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 高二数学选修 2-2 §2.2.2-反证法 一、学习任务 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法； 2.使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题. 二、新课探究 复习旧知 1.直接证明的两种基本证法：________________________ 2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？ 3.在实际解题时，两种方法如何运用？ 预习新知 4.反正法是_____________的一种基本方法。 5.课本P89页思考，你能解释这种现象吗？ 6.一般地，假设原命题________（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________________，这样的证明方法叫反证法。 7.用反证法证明命题“如果b a <，那么33b a >”时，假设的内容应为____________ 8.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______ 矛盾，或与___________________________________矛盾等。 问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？ 采用反证法证明： 假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，（假设） 所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次． （延着假设进行推理） 但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．（与已知相矛盾） 这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上.（由矛盾说明原结论正确） 1.变式：（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？ 2.课本例2、求证：2是无理数 （1）___________________________是有理数，________________________是无理数。 （2）有理数可写成形如_______________________________________的形式。 （3）两个正整数m n ,互质可理解为____________________ （4）奇数通常表示为12+k 或)(z k k ∈-12，则偶数可表示为____________ (5)奇数的平方是________（奇数还是偶数？），而偶数的平方是_________（奇数还是偶数？） （6）本题如何证明呢？写出证明过程 【展示提升】 1． 已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。 2.532，，不可能成等差数列 3.已知a ≠0，证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。 4.已知x>0,y>0，x+y>2，求证：x y y x ++1, 1 中至少有一个小于2。 ※ 学习小结 1. 反证法的步骤_________________________________________， _________________________________________， _________________________________________. 2. 哪些命题适宜用反证法加以证明？_____________________________________________ 3.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_________________________________________矛盾，或者_________________矛盾等。 【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60?”时，反设正确的是（ ）. A ．假设三内角都不大于60? B ．假设三内角都大于60? C ．假设三内角至多有一个大于60? D ．假设三内角至多有两个大于60? 2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）. A ．,,a b c 均不为0 B ．,,a b c 中至多有一个为0 C ．,,a b c 中至少有一个为0 D ．,,a b c 中至少有一个不为0 3.设,,a b c 都是正数，则三个数111 ,,a b c b c a +++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 三、本节课收获：反思总结：新冀教版八年级数学上册17.5反证法导学案
八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版
高中数学选修2-2探究式导学案2：2.2.2反证法
2014年人教A版选修4-5教案 三 反证法与放缩法
2.2 综合法、分析法和反证法
人教版数学高二选修4-5讲义第2讲3反证法与放缩法
《等腰三角形的判定与反证法》导学案 北师大版
反证法 学案