数学建模(宿舍建设方案)

数学实验与数学模型

实验报告

20 11 ～2012学年度第一学期

对学生宿舍设计方案的评价

摘要:就“学生宿舍设计方案的综合评价问题”解决方案，运用线性加权综合法的评价模型和基于灰色关联分析的综合评价模型。线性加权综合法的评价模型，首先进行了数据处理，通过宿舍建设和运行的成本以及对学生的收费来衡量宿舍方案的经济性，以评分的模式来衡量宿舍方案的舒适性与安全性。经济性、舒适性和安全性三项评价指标都化为极大型来处理，对其进行无量纲化处理消除各自的度量单位及数量级的差别，用极差法确定三项评价指标的权重系数，得出方案的最终评价值，从而得出四最优结论。

关键字:线性加权综合类型一致化处理无量纲化处理灰色关联分析母序列子序列关联度

一、问题重述

学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。

经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。

舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。

安全性：人员疏散和防盗等。

通过建立适当的数学模型来综合考虑经济性，舒适性，安全性这三项指标，来找出一种最好的宿舍建设方案。

二、问题的分析

本题来源我们的实际，好的宿舍设计方案必然有较高的经济性、舒适性以及安全性，因此需要考虑如下问题：

1. 宿舍的建设和运行成本，以及对学生的收费能够尽量低；

2. 学生的人均面积能够尽量大；

3. 学生宿舍的设施能够尽量符合学生的日常需求，使其使用相对方便；

4. 学生在宿舍中的生活、学习和休息能够尽量互不干扰；

5. 学生宿舍的采光和通风尽量相对较好；

6. 学生宿舍在人员疏散时能够尽量相对较为安全；

7. 学生宿舍的防盗性尽量相对较好；

此问题评价四个宿舍设计方案的优劣，通过对三项指标经济性，舒适性，安全性的考虑来确定，而经济性通过对其建设成本和运行成本、对学生的收费加以分析，舒适性通过对人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等方面加以分析，而对安全性而言，主要是考虑人员疏散和防盗的问题。

三、模型假设与符号说明

1）模型假设

1. 假设题目所给的数据真实可靠；

2. 四种设计所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平相同；

3. 假设模型一优化之前，在经济上只考虑建设成本，4种方案价格均为1000元/2m ；

4. 有阳台，私人卫生间，客厅，活动室，自习室，简易餐厅、厨房、垃圾间、开水间等设施对学生的舒适程度产生一定影响；

5. 假设模型一优化之前，将各种方案中的电梯视为楼梯。

6.

2）符号说明

1. n 种方案的m 项指标的指标值为(1,2,;1,2,,)ij x i n j m == ，其中4,3;n m ==

2. *(1,2,;1,2,,)ij x i n j m == 为无量化后的指标值；

3. j M 为4种方案的第j 项指标值的最大值；(1,2,3)j =

4. j m 为4种方案的第j 项指标值的的最小值；(1,2,3)j =

5. j d 为4种方案的第j 项指标的极差的绝对值的最大值；(1,2,3)j =

6. j w 为3项指标各自所占的权重系数；

7. 人均建筑面积为i s ；

8. i y 为第i 种方案的综合评价值；其中1,2,3,4i =； 9. 每种方案的宿舍建设面积(1,2,3,4)i S i =

10. 每种方案中宿舍容纳学生的总人数为(1,2,3,4)i p i =；

11. ij h 表示第()1,2,3,4j j =种方案在第(1,2,3)i i =项指标上的评价值

四、模型的建立与求解

4.1模型一的建立与求解 4.1.1三大指标的数据准备 (1) 经济性

宿舍建筑面积的大小应该与此楼层学生人数相紧密联系，在面积固定的情况

下，人数越多，人均面积就越小，所投入的资金就相对较少，所以先计算出各种方案的人均建筑面积：

/;(1,2,3,4)i i i s S p i ==；

表一 2

（m /人）

为了简化模型，我们暂且不考虑成本与收费的平衡，仅以建设成本和运行成本来衡量经济性这一指标，假设宿舍的建设和运行成本总和为21000元/m

对表一进行进一步的处理，得到人均所需建设费用为：

1*1000;(1,2,3,4)

i i x s i ==，在此作为经济性的衡量值，具体数据如下表：

表二 （元/人）

(2) 舒适性

舒适性应与人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等紧密联系起来。而此时需要建立一种评判的标准，来对这四种宿舍建设方案的舒适性程度进行比较评价，我们主要通过打分的模式来为各种因素进行具体的数值量化。

对于人均面积，在相对较小的情况下它的增大对个人的影响比较大，而在后来大到一定的程度时随着人均面积的继续增大对个人的影响程度逐渐变小，所以据此建立一种人均面积评分标准：

对于舒适性中使用方便标准的评价，主要是看各种宿舍设计方案是否有独立卫生间，有无开水间，垃圾间，餐厅，阳台，活动室等设施。对此我们在人均面

积的基础得分上建立了如下的加分模式：

所以衡量舒适性程度最后的评分为：人均面积得分+加分项总分；从而可以统计出这四种宿舍设计方案的舒适性程度评分，具体数据如下：

(3) 安全性

在这四种宿舍设计方案中对安全性而言，我们在这里主要是考虑每个楼梯（为了简化模型，在此处暂把电梯也视为楼梯）能够疏散的学生数，每个楼梯承载的人数越少就说明疏散的就越快，安全性就相对较高，以此来作为衡量安全性的标准。

对于每种方案，宿舍的楼梯承载人数计算公式如下：

宿舍的楼梯承载人数 = 楼层的总人数/楼层的楼梯总数。 具体计算数据如下表：

表六 (/)楼梯人

4.1.2关于线性加权综合法的评价模型 (1) 评价指标类型的一致化处理

经济性的指标是极小型（成本越低，经济性越好）； 舒适性的指标是极大型（指标越高，舒适性越好）；

安全性的指标是极小型（平均每个楼梯承载的人数越少，疏散性就越好，安全性就越高）。

下面对这三项指标都运用极大型处理

a) 对极小型指标经济性的指标作极大化变化，即令平移变换：

'111,1,2,3,4;i i i x M x i =-= 其中

{}1114

m ax i i i M x ≤≤= b) 对极小型指标安全性的指标作极大化变化，即令平移变换：

'333,1,2,3,4;i i i x M x i =-= 其中{}3314

max i i i M x ≤≤=

通过统一运用极大型处理，从而得到如下数据：

(2) 评价指标的无量纲化处理

经济性、舒适性、安全性这3项评价指标由于各自的度量单位及数量级之间的差别，而存在着不可公度性，这就为确定综合评价指标带来了困难和问题。为此，为了尽可能的反映实际情况，消除各指标之间的单位不同，以及数量级之间

差别的影响，我们需要对各项评价指标做无量纲化处理。

在此处我们使用极差化的方法来对4种方案的3项指标的指标值

(1,2,3,4;1,2,3)

ij x i j ==进行无量纲化处理，令

{}1234max ,,,j

j j j j M

x x x x = {}1234min ,,,j j j j j m x x x x =

则新的指标为

*[0,1](1,2,3,4;1,2,3)ij j ij

j j

x m x

i j M m -=

∈==-，即把*

(1,2,3,4;1,2,3)ij x i j ==作为无量

化的指标值，通过计算，从而统计出无量化后的指标值为：

表八

(3) 运用极差法计算j 项评价指标j x 所占的权重系数

1

,1,2,3j

j m

k

k d w j d

==

=∑，其中{}m ax

(1,2,3)j ij

kj

d x

x j =-=，由此我们可以计算出三

项评价指标各自所占的权重系数为：12313

w w w ===

。

(4) 求综合评价值

为了能使各评价指标间的作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性，我们运用线性模型：

1

(3,1,2,3,4)m

i j

ij j y w

x m i ==

==∑，

来计算4种方案的综合评价值，综合评价值越高，就表明宿舍的设计方案越合理。 通过计算得到的综合评价值如下表：

通过表九可以显然看出来方案二最好。

4.1.3模型一的优化与求解 (1) 经济方面

在实际情况中，不可能仅由建设成本来衡量经济性的优劣，更应该考虑到宿舍建设和运行的成本与对学生的收费两者之间的平衡。

在建设和运行成本方面，由于方案二的建筑结构最复杂，公共区功能最多，因此成本为四个方案中最高；而方案一建筑结构和设施最为简单，因此成本为四个方案中最低；方案三、四建设和运行成本适中。

对此，我们制定如下建设和运行成本标准：

假设学生在宿舍居住九个月，即270天。

因此有收费标准为：人均建设成本*8%+人均日运行费用*270。 通过计算，得出下表数据：

最终通过学生人均收费费用来衡量经济性的优劣。

(2) 舒适性方面

在这里，我们需要在原有基础上对互不干扰、采光和通风方面进行进一步细化。

a)方案一，宿舍为8人间，人均宿舍面积仅为3.1875平米，且学习，休息都

在宿舍内，容易互相干扰；L型的建筑结构，靠北侧的房间冬天采光差，七个朝西的房间夏天受西晒影响严重。加上走道为内走道，空气流动性差，不利于通风。

b)方案二，宿舍为4人间，人均面积为6.25平米，设置了夜间自习室与活动

室，达到了互不干扰的效果；

c)方案三，宿舍为6人间，人均面积为4.48平米；公共卫生间进深太长，约8

米，宽度又太窄，2.1米，只有一侧有窗，非常不利通风，并且不清洁。d)方案四，宿舍为6人间，两人一卧室，人均面积为8.75平米，舒适性较高，

相互干扰因素也很少。但套间中每个小间均无阳台和窗，通风和采光差。且卫生间没有任何采光和通风。

因此，依据以上因素，我们需要在舒适性这一块各个方案原有的评分下增加以下更为细化的加减分评定标准。

首先在互不干扰方面，有下表：

其次在采光通风方面，有下表：

结合各个方案原有评分，以及表十二、十三，在舒适性方面有如下新的评分：

(3) 安全性方面

在安全方面需要对人员的疏散考虑，这时需要考虑的因素有如下

a)平均每人离楼梯的最近距离；

在此定义为：每人离楼梯最近距离的总和/学生总人数

b)平均每人所占的走廊面积；

在此定义为：走廊面积的总和/学生总人数

c)平均每个楼梯要疏散的学生数；

考虑到在危急情况下，进行人员疏散时，不走电梯，故在此处定义为：学生总人数/楼梯总数；

d)楼梯的宽度；

e)楼梯的门数：疏散楼梯设置两道门，不利于消防和紧急疏散。

f)防盗问题；

为此我们制定了相应的评判标准

2

表十七（人/楼梯）

我们将6项因素的得分求和作为最后衡量安全性的标准。具体数据如下表：

(4) 具体处理

经过以上三方面的数据处理，我们得到了初始数据，如下表：

其中经济型的指标是极小型（指标越低，经济性越好）而舒适性与安全性均为极大型指标，故将经济型指标作极大化处理，具体步骤同2.1.从而有：

接着同样通过极差化方法进行无量化纲化处理，具体步骤同2.2有：

各项指标所占的权重系数仍为：12313

w w w ===；

同样运用2.4综合评价值的求法，得到最终结果如下表：

显然通过优化，发现方案四相对原先得出的方案二更为合理。

因为在优化过程中，结合了实际，取消了电梯视为楼梯的假设，且考虑到了房间的朝向、更加细化的分析了宿舍的采光与通风问题、同时添加了防盗等新的因素，因而得出了与模型优化前所不同的结果，且优化后更为合理。

4.2 模型二的建立与求解

根据4种方案的3个指标的指标值，给出了这4种方案的综合评价指标值。从而分析各种方案的好坏。

灰色关联分析方法综合评价模型的建立：

灰色关联分析方法的基本思想是：将评价问题转化为求关联度，即按照一定的准则定义出母序列，计算出各个子序列与母序列的关联度，再加以比较得到综合评价结果。

4.2.1选定母序列和比较序列

定义评价值矩阵H ，其中的元素ij h 表示第()1,2,3,4j j =种方案在(1,2,3)

i i =项指标上的评价值，如下表：

母序列 令{}0max (14)i ij h h j =≤≤，由0(1,2,3)i h i =构成母序列，则有0(1,1,1)i h =。

子序列（比较序列） :由1234,,,i i i i h h h h 分别构成4个比较序列。即

1324(1,0,0.2500);(0.5788,0.5439,0);

(0.0454,1,0.2500);(0,0.6491,1)i i i i h h h h ====。

4.2.2 计算关联度

在子序列中，每个数值与母序列中相应数值的关联系数可以由以下公式算出：().(),1,2,3,4.j a b v i j j i b

ρρ+=

=?+，其中

(){}1413

m in m in j i a j i ≤≤≤

≤=?；

(){}1413

m ax m ax j i b j i ≤≤≤≤=?；

()0||ij i j i h h ?=-；

ρ为分辨系数，其值越高，分辨率越高；其值越低，分辨率越低，在这里我

们定义ρ=0.5；对关联系数取均值能得到相应的关联度3

1

1(),1,2,3,4

3

j j

i v v

i j ===∑。

从而有关联系数：

从而就能够把综合评判值能够算出来，见下表：

显然方案四最佳。（排名结果与模型一相一致）

方案四虽然收费较高，但在舒适性和安全性方面做得较好，综合性价比较高，故在此处为最优方案；而方案一、二、三分别在舒适性、经济性和安全性上有所欠缺，故综合评定下来，不如方案四。

五、模型的评价

优点：

1）本文模型充分考虑了影响宿舍经济性、舒适性与安全性的各个因素，并以评分的模式来量化了舒适性与安全性，大大简化了数据处理的复杂程度。

2）分析处理数据的时候，暂时先从大的方面开始处理，然后再一步步细化，直到分的很详细为止，这种讨论问题的方法简洁易懂，具有较高的可读性。3）建立的第一个模型（线性加权综合法的评价模型），在理论上使得各项指标的作用得到线性补偿，保证了综合评价指标的公平性，在实际操作中计算简便，可操作性强，便于推广使用。

4）建立的第二个模型（灰色关联分析方法），通过关联度的概念对问题进行因素分析，具有一定的科学性。

缺点：

由于缺乏某些现实统计数据的支持，使得人为主观因素在模型的建立计算过程中的影响显得较为关键,很多因素的量化标准都需要我们自己来制定，但是我们通过查阅资料，有效的减少了人为主观因素所产生的影响。

六、参考文献

【1】姜启源等，《数学实验》，高等教育出版社，2000

【2】韩中庚，《数学建模方法及其应用》，高等教育出版社，2008

【3】梅长林，王宁，周家良，《概率论和数理统计》，西安，西安交通大学出版社，2001 【4】谭千蓉，林宗兵，《数学实验与数学模型》，西南交通大学出版社，2009

【5】母丽华，周永芳，《数学建模》，复旦大学出版社，2006

【6】杨桂元，黄已立．数学建模[M]．合肥：中国科学技术

【7】陈义华，数学建模[M] 重庆，重庆大学出版社，1995

【8】姜启源．数学建模[M] 北京，高等教育出版社，1987

【9】王莲芳，许树柏．《层次分析法引论[M]》北京，中国人民大学出版社，

1990

【10】苏炜，汪菁．《建筑设计方案模糊层次评价模型与方法》 2002

【11】苏炜，汪菁．《建筑设计方案的属性综合评价》2005

【12】韩传峰，张青河．《单体住宅性能的多属性分类综合评价方法[J]》 2003

【13】刘立钧，杨文斌，旁彦军．《建筑设计方案选优的定量分析[J]》 2000