高等代数习题3
221
1.:()[]()().
2.(),()[],,,,0.:
(()(),()())((),()).3.(1,1).
2!!2!(1)!4.(),()[]((),()) 1.()n n f x P x f x P f x g x P x a b c d P ad bc af x bg x cf x dg x f x g x x x x x x x n n f x g x P x f x g x x αα?-∈+∈∈∈-≠++=++++++++-∈= 第一章习题
证明若不可约则也不可约设且试证求设且求
33222(1)()(1)()()(1)()()().
5.()0,()0.:
(1)()[]()()()()()((),()) 1.
(2)()[]()(),()()()()()((),()) 1.
x f x x x x g x x x f x x x g x f x g x h x P x f x g x h x f x h x f x g x h x P x f x h x g x h x f x g x h x f x g x φ=-+-+-=-+-≠≠∈=∈= 与的最大公因式设证明任意若由可得则任意若由可得则6.:((),()())1((),())((),()) 1.7.(,,,)(1)((),())1
(2)((),()())1(3)(()(),()())1
8.:(())0,(())0((),())1(),()[]m n s f x g x h x f x g x f x h x m n s t f x g x f x g x tf x f x g x f x g x f x g x f x g x u x v x P x =?===+=±=?>?>=∈ 证明证明下列条件等价均是自然数证明设若则
存在唯一12(())(()),(())(())()()()() 1.
9.:,()1.
p p u x g x v x f x u x f x v x g x p f x x x x --??+==++++ 使满足证明当是素数时在有理
数域上不可约
12311
1111111111..
111111
11
112.:
0001
000100(1)0000001
(2)3.:
01
1111
011111011(1)111.
.n n n n
D n n
n D x y y y z
x y y D z
z x y z
z
z
x
n D αβ
αβαβ
αβαβαβ
αβαβ
---=
--+++=
++==
计算计算阶行列式计算阶行列式第二章 习题
.
0111
1
1
00
12131021
232(2).0313230
123
0.12
a a a a a a n a a a a a a n D a a
a a a a n a a a a
a a n n n a a a n ++++++=++++++≠
其中
4.
12112111212222(1):.1212
11121111212122221222(2):1212
.11
5.a x
a x n a x
n a x
a x n a x
n D a x a x n a x n n n n
a x a x a x a a a n n a x a x a x a a a n n a x a x a x a a a nn nn n n n n n n
x A A a ij ij ij i j ++++++=
+++++++++=++++∑∑==
计算证明其中是的代数余子式计111
111111
112
111113(1).
11111
1
11
1
1111(2).
211
a a a
D n a n a
n
a
b n
n
a b D n
c d c d n
n +++=
+-+=
算行列式
6.
22
1111122
1
2
222(1):.22
1
3333221
(2),0,1,2,,2 2.1201112:.122
(3),,,,(),(),,
1212
()n n a a a a n n a a a a D n n n a a a a n n a a a a n
n n n k k k s x x x k n n
k s s s n s s s n D s s s n n n n a a a n f x f x n f x n n --=
--=+++=--=--
计算设计算设为一正整数是个实数
是2.
()()()11121()()()
21
222:.()()()1
2
n f a f a f a n
f a f a f a n D f a f a f a n n n n
-=
个次数不大于的实系数多项式计算
123234123412121
2
1
1212121.,,,,.:,,.
2.,,,,,,(1,2,,).()0.:,,,,,,.,,,,,,.
3.n n j n
ij
i
ij
n
i n n n n a j n A a αααααααααααααββββααααβββαααβββ==
==≠∑ 第三章 习题
设向量组线性无关向量组线性相关试证不能由线性表出设与是两个维向量组且若证明可
由线性表出且若线性无关则
也线性无关设11212121212121212,,,,,,,,.:,,,,,,,,,,,,.
4.:,,,:,,,.
:(1)(1),,m m m m m n m s i R A A B B i s ααααααβγαααβαααγβγααααααββββα≤≤ 线性无关而向量组线性相关证明若向量组与向量组不等价则
与中有且仅有一个可由向量组线性表出在中向量组线性无关且中每个向量可由向量组线性表出证明向量组中存在向量使向量组1
232321
1
1234512345,.
(2),,,,,,,,
,.
5.(2,1,2,2,4),(1,2,1,1,1),(1,1,1,1,1),(1,1,1,0,2)
(0,1,2,1,1).
,,,,m i i i i m i i s m i
s m B m s B s m αββββααβββαααααααααα-+-+<-=-==----=-=- 线性无关若向量组也线性无关且则可在向量组中找到个向量使向量组线性无关设求的秩和.
216.,(21)31
(3)21.
ax by z a b ax b y z ax by b z b ++=?
?
+-+=??+++=-?
一个极大线性无关组并求其余向量的极大线性无关组的表达式问取何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解在有解情况下求其解
12121212''
'12127.(,,,)(1,2,,),0(,,,)(1,
2,,),0,,,.8.(,,,i i i in j j j jn s n s s i i i in n a a i s A AX b b b j n s B BX n a a αααα
βαβββααααα-==?? ? ?==== ? ? ????? ?
?-= ? ? ???
== 设维向量组线性无关令若的基础解系为令则当且仅当形如齐次线性方程组的基础解系为设维向量组121''''112123123)(1,2,,),,,0(1)0,,,.
9.(1,1,1,0),(1,1,0,1),(2,0,1,1)(,,).t t t t t T T T i t BX B n t n BX B W L W αααααααααααααααα-=---=-+?-==-=== 线性无关且以为基础解系的齐次线性方程组为其中为矩阵则当且仅当形如线性
方程组的基础解系为设向量令试构造一个齐次线性方程组使它的解空间为112.10..
:()00()().11.:00.
12.()0.
13.(1,2,,),,,.
: 1.
T n n n
ij j i j n A n s B s n AB X BX R AB R B AX A AX R A r n r n B C AB CA a x b i n b b b ?=??==?====-====∑ 设是矩阵是矩阵证明方程组与同解证明与同解设则存在秩为的阶矩阵和使
设整系数线性方程组对任意
均有整数解证明系数矩阵的行列式的绝对值为
1002221*
11..
31062.143.
1543.:.4.,:(1).(2).
5.,.:0.
6.01(1).(2)(n
a b b a A A n A B AB BA E A B AB BA AB BA A B C A B C A B C A A A A
A --?? ???
--??
?
=-- ? ?-??
-≠+-+====≠=
第四章 习题求已知求证明对任意阶矩阵恒有设为对称矩阵试证为对称矩阵为反对称矩阵设为实对称矩阵为实反对称矩阵且证明设则**12***1*2)().(3)().
1
7.3(3)2.
21308.210,.
0029.60,:3,2.
n A A A
A A A A A A A X X A XA A A E A E A E ---===--?? ?
=+= ? ???
--=+- 设阶方阵的伴随矩阵为且求设求矩阵使设证明可逆并求其逆矩阵
32111***321210.2,22,.11.()().12.0.:0.
13.:()().14.()31,().
15.T T A E B A A E B A B n E AB E BA E BA E B E AB A A B n A B A B A A A A A f A A E A n A λλλλ----==--+++=-++=+===----= 设求若是阶矩阵且可逆则
亦可逆且设均是阶正交矩阵且证明设为的伴随矩阵证明设方阵的特征多项式为用的多项式表示设为阶方阵1232()().16.,:.
17.,,,:
.
18.(),(),().19.(),,()().20.:()()2().
ij nn A r A r A E A B n A B A B A B B A A B C D n AC CA A B AD CB C
D
r A E p r B E q r AB E p q A a A E r A E r A E n r A r A r A -=++-?? ???==--=-=-≤+==++-=+≥ 求设为阶方阵若和可逆证明可逆并求其逆矩阵设都是阶方阵且证明设则设若则证明
1.,,12
'''.
12.()',2 (')(')('). (),21 (')(')(').
3.,12A n X X X X AX X X n f X X AX X AY X AX Y AY f X X Y X AX Y A Y A A λλλλλ≤≤≤≤≤=≤-≤ 第五章 习题
设是实对称矩阵其特征根为则
对任意的实向量有设是半正定二次型则若是正定二次型则设2
,0.
1
:1,0.
4.,1
,. .,1
[,].
15., m A A m i i i m A i A A n A aI a n a A n A B λλλλλλ=∑=≤≤=->< 是实对称方称且证明对设是实对称矩阵和分别是的最小
和最大特征根则当时是负定的当时是正定的反之若后面的条件成立则
的特征根在之间设和为实对称矩阵它们的最大最小 .:
,1,1
,1
,.
111
6.,0. ,,,12
:max .
a b a b n n A B n a b a b n n n A A a ij A n n i λλ
λλλλλλλ≤+≥+≥= 特征根分别为和证明和的最大和最小特征根满足设是实对称矩阵的任意元素设是的个特征根
证明存在特征根
7..:,,12112 ,0,1.
12
8.,,'0
,., .
9.,A T T T AT
i n i n B Gn m n n
A B n G m n G m n m n m A n m A C n λ
λ
λλ?? ? ? ? ? ? ? ??
?
??
? ??
?
-=≥≤≤??=??≥
设为可逆实矩阵证明存在正交矩阵使
设其中为阶正定矩阵是秩的矩阵求证有个正的特征根个负的特征根设是阶实对称矩阵,. ', :.
10..: ''.11.(,,,)12
2C AX XA C B A B A n c n X X AX cX X f x x x n f +=-≤ 其中正定若有唯一解且是负定证明是正定矩阵设是阶实对称矩阵证明存在实数使对任一维向量都有试证实二次型能够分解为
两个实一次齐次式乘积的充要条件是的秩是,0 1.
12.(,,)0,
1,2
120,0,2,
:2.
13.(),,1,2,,.
',f f x x x A A n x x x f k n n k k
f t t n k A a a a i n n n ij ij ij j i
f X AX ≠+=+====≤≤-==∑?≠= 符号差是或的秩为若二次型的矩阵的行列式当时证明的符号号差满足设是实对称矩阵且若二次型的正负惯性指数分别为,** ',.
p q X A X A A 和试求的符号差其中是的伴随矩阵