2016大学物理期末试卷

上海师范大学标准试卷—答案

科目：大学物理 (上册4课时) （A 卷）

专业 本、专科 年级 班 姓名 学号

我认真遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。 签名：_____________ 1、已知某质点的运动方程)(23)(

3m j t i t t r

+=，则该质点在1s 末时的速度为

)/(63s m j i +

2、一质点沿x 轴正方向直线运动，其加速度大小kt a =，式中k 为常数，当0=t 时，0υυ=,0x x =;则该质点的运动方程为 6/300kt t x x ++=υ

3、一个质点质量为m ，从离地面高为h 的地方以速率v 0抛出，若不考虑空气的阻力，则该物体落地时的速

4、如右图所示，质量为m 1和m 2的木块由弹簧相连接， 并静止于光滑水平桌面上。现将两木块相向压紧弹簧， 然后由静止释放；当弹簧恢复到原始长度时，m 1的速率 为v 1，若弹簧的质量可忽略不计，则弹簧原来压 缩状态时所具有的弹性势能为 2/)/1(21211m m m +υ

5、如右图所示，一圆盘的半径为R ，质量为m;该圆盘绕通过圆盘 边缘一点P 且垂直于圆盘的轴的转动惯量J P = 2/32mR __

6、真空中有一半径为R 的细圆环均匀带电，其线电荷密度为λ，则其环心的 电势V= 0002/4/24/ελπελππε==R R R Q 。（设无限远处电势为零）

7、有一平行板电容器，其间充满相对电容率为3的均匀介质，极板上的电荷面密度分别为±σ；则极板间的电场强度大小为E= σ/(3ε0)

8、真空中有一实心带电导体处于静电平衡状态，设其表面电荷密度为σ，则导体表面内侧处的电场强度大小为 0 ；表面外侧处电场强度的大小为 σ/ε0

9、接地空腔导体的静电屏蔽作用是 屏蔽空腔内部的电场对空腔外面的影响。

10、在稳恒磁场中,高斯定理的数学表达式为 ??=?S d B 0

二、单项选择题(共20分, 每小题2分)

一、填空题(共20分, 每小题2分)

1. 如图所示，物体质量为m ，水平面的滑动摩擦因数为μ，今在力F 作用下物体向右方运动，欲使物体

具有最大的加速度值，则力F 与水平方向的夹角θ的应满足（ C ）. (A) cos θ =1; (B) sin θ =1 (C) tg θ =μ; (D) ctg =μ

2．假设卫星环绕地球中心作椭圆运动, 则在运动过程中,卫星对地球中心的( B )

(A) 角动量守恒, 动能守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒,机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 动量也不守恒.

3. 某物体只受到一个逐渐减小的力的作用，且力的方向始终与物体的运动方向相同，那么该物体（ B ）. (A)加速度逐渐减小，速度逐渐减小; (B)加速度逐渐减小，速度逐渐增大;

(C)加速度不变，速度逐渐减小; (D)加速度不变，速度逐渐增大. 4、在非弹性碰撞的过程中有（ D ）

（A ）动量守恒，动能守恒； (B) 动量不守恒，动能守恒； (C) 动量不守恒，动能不守恒； (D) 动量守恒，动能不守恒.

5、长为L 的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴,平衡时杆竖直下垂,一子弹水平地射入杆并留在杆中．则在此过程中子弹和杆组成的系统( C ) . (A). 动量守恒; (B). 动能守恒; (C). 角动量守恒; (D). 机械能守恒.

6、关于静电场中的电场强度E 和电势V,下列说法中正确的是 ( C )

(A) 电场强度为零的地方,电势一定为零； (B) 电场强度为零的地方,电势一定不为零; (C) 电场强度的大小取决于电势的变化率； (D) 电场强度的大小与电势的变化无关只与电势有关. 7、如果通过闭合曲面S 的电场强度通量Фe 为零, 则( C ).

（A ）S 面上每一点的电场强度都等于零; （B ）S 面内一定没有电荷; （C ）S 面内的净电荷为零; （D ）S 面的外面一定没有电荷.

8. 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 上的电势将( A )

(A)升高; (B)降低; (C) 不会发生变化; (D)无法确定。

9、 两根长度相同的细导线分别均匀绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个细螺线管,两个螺线管的长度相同（均可近似看成无限长）, 设R=2r,两螺线管通过的电流相同均为I,则两个螺线管中的磁感应强度大小B R 、B r 满足的关系为( A )

(A) 2B R = B r ; (B) B R = B r ; (C) B R = 2B r ; (D) B R = 4B r

10、 一个长直螺线管中通有恒定的电流, 将一个带电粒子沿螺线管的轴线射入管中,如右图所示，不计重

力, 则粒子在管中的运动为( D ) .

(A). 做圆周运动; (B). 作抛物线运动; (C). 做匀加速直线运动; (D). 做匀速直线运动.

,否则不得分(当页不够,写在下一页上)

q, v

三、计算题（共60分）

1.[10分] 一质量为m 的物体静止在固定放置的半径为R 的光滑球体顶点处，物体以可忽略的初速度从顶点开始向右释放，然后它缓慢地沿着球体表面向下滑（随物体的下滑角度θ在增大）试求：(1) 物体的动能与角度θ的关系；

（2）物体的势能与角度θ的关系; (3) 计算当物体脱离球面时的角度θ.

解：（1）求动能E k 随θ的变化关系：

由题意知，在物体在下落过程中，

只有重力做功，利用动能定理，滑到任一位置θ，满足：

21k k W E E =-

其中1k E 和2k E 分别为初始位置和角度为θ时的动能，

W 为重力所做的功 (1cos )W mgR θ=-

由10k E =，代入得，

2(1cos )k E mgR θ=-

（2）求势能E p 随θ的变化关系：

以球底部为势能零点， 则物体的势能为 )cos 1(cos θθ+=+=mgR mgR mgR E p （3）求物体脱离球面时的角度θ：

当物体即将脱离球面时，球面的支持力为零，重力的分力提供向心力。 利用动能定理与牛顿第二定律，有

2

1(1cos )2

k E mv mgR θ=

=- 2

cos v mg m R

θ=

求解后可得： 2c o s

3θ=； 2

arccos 48.23

θ==?

2. [10分]一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现已知加速度为a=A-Bv ， 式中A 、B 为常数。求：（1）石子下落过程中的极限速度；（2）石子下落的距离随时间的变化关系。

解：（1）石子下落的最大速度v max

如图所示，石子开始位置为坐标原点， υυ

υ

B A dt d B A a -=-=

')ln(C Bt B A dt

B A d +-=-=-υυυ

)(1

'C Bt e A B

dt

B A d +--=

=-υυ

υ

t=0时, v=0,由此得 A e C ='

，则有

)1(Bt e B A --=

υ 由此可得 B

A t =∞→=)(max υυ 2分

2分

3分

4分

3分

3分

3分

（2）石子下落的距离与时间的关系

)1(Bt e B

A

dt dx --==

υ t Bt t

Bt e B t B A dt e B A x 00)1()1(--+=-=?

2)1(B A e B t B A Bt -+=-)1(2-+=-Bt e B

A

t B A

3. [10分] 如图所示， 一质量为m 1、半径为R 的圆盘绕通过圆心且垂直于圆盘的固定轴以角速度ω1转动，转轴的摩擦略去不计，有一质量为m 2的蜘蛛（可视作质点）竖直地落在圆盘边缘上。试求： （1）如果蜘蛛在转台边缘不动，转台的角速度ω2为多少？ （2）当蜘蛛沿半径方向爬向转台中心，与转台中心O 的距离

为R/2时，转台的角速度ω3为多少？

解：（1）重力的力矩垂直于转轴，故沿转轴的合力矩为零，

蜘蛛与转台的角动量守恒得：

222111ωωωJ J J +=；

得转台的角速度为：

2

11

122211212111222

12

1

m m m R m R m R m J J J +=

+=+=

ωωωω

（2）当蜘蛛沿半径向转台中心运动，与转台中心距离r 时，蜘蛛相对于转台中心轴的转动惯量为：

4/222'2mR r m J ==.

由于摩擦力为内力，合力矩为零，因此，蜘蛛与转台的总角动量仍然守恒：

3'

23111ωωωJ J J +=；

得此时转台的角速度为：

21112

2211212221121'211132222

12

1

m m m r m R m R m r m R m R m J J J +=+=+=+=ωωωωω；

4. [15分] 如图所示, 半径R=0.1m 的导体球带有电荷Q=1?10-8C ，放置于相对电容率为εr =5的无限大均匀电介质中。 试求：（1）离球心距离为r=5cm 和15cm 的两点处的电位移矢量D 和电场强度E 的大小和方向；（2）球心位置和r=15cm 处的电势；（3）介质中电场的总能量是多少？（ε0=8.85?10-12C 2

·N -1·m -2;

设无限远处电势为零）

解 （1）求电场：根据介质中的高斯定理

?∑=?S

S D i

i Q

d

得导体球内外的电位移矢量为：

3分 2分

2分

4分

2分

3分

00

4121=?

=?

2

22244r Q D Q

r D R r ππ=

?

=?>时：

当

因此由

D

D

E εεε

r =

=

得

0E R r 1=<时

当

2

024r Q E R r r επε=

>时

当

在r=5cm

在r=15cm>R 处, 2

82

822/C 1054.315

.041014D m r Q --?=??==ππ m V r Q E r /10993.715

.01085.85410142

2

128202?=?????==--πεπε (2) 求电势： 无限远处电势为零，则由 ?∞

?=R V d

在r=15cm>R 处,

V r Q dr r Q r r r 2128

15.000.1520

2102.115.01085.85410144V ?=?????==?=--=∞

?πεπεεπε 在球心r=0处,

V R Q dr E dr E R r R

21281.00R 20.051110798.11

.01085.8541014V ?=?????==?+?=--=∞

??πεπε (3) 求电场能： 导体球内无电场，因此无电场能; 导体球外的电场能量密度为 2e 2

1

w E ε=

在导体球外取一半径为r, 厚度为dr 的球壳, 此球壳中的电场能量为

dr r r

Q dr r E dV w r r e 2

22

00222e 4421421dW πεπεεεπε?=?==）（ dr r Q r 202

8επε= 对整个介质积分可得电场的总能量为

J R Q dr r Q r R r e 7

12160220

210992.81.01085.85810188W ---∞

?=?????===?πεπεεπε

5. [15分] 如图所示，在x>0的半无限空间有一垂直纸面向里的均匀磁场B ，二根相距为a 的半无限长光滑导轨平行于x 轴放置，导轨的一端连接电阻R ；现将质量为m 的导体棒MN 放于平行导轨上。假定导体棒和导轨的电阻可忽略不计，t=0时，导体棒MN 位于坐标原点处，初速度为v 0>0; 求： (1)导体

2分

2分

2分

2分

2分

3分

2分

2分

3分

棒MN 的速率随时间的变化关系v(t)；(2)导体棒MN 的坐标随时间的变化关系x(t)；(3)导体棒运动的距离s 。

解 (1)求导体的速度 设t 时刻导体棒的速度为v ， 则导体棒两端的动生电动势为

由导体棒、导轨和电阻R 构成的闭合回路中的感应电流为

感应电流的方向为逆时针方向。 由此可得导体棒在磁场中的受力为

F 的方向与运动方向相反，为阻力， 由牛顿第二定律得，

积分得

由初始条件t=0,v=v 0,得 C=v 0; 因此导体棒的速度随时间的变化关系为

(2)求导体的位置

(3)求导体棒运动的距离

由v(t)可知，当导体棒运动足够长时间后，速度将减为零，最终导体棒停止于导轨上，运动的距离为

υ

υεBa Bl i ==

F

R Ba R I i υ

ε=

=υυR

a B a R Ba B BIl F 2

2===υυR

a B dt d m ma F 2

2-=?=dt

m R a B d 22-=υυmR

t a B Ce C t mR a B /2

222'ln -=?+-=υυmR

t a B e t /022)(-=υυdt

e

dt t t x t

mR

t a B ??-==0

/022)()(υυ)1()

()1()(/2

0/202222mR t a B mR t a B e Ba mR e Ba mR ---=--=υυ20)

()(lim Ba mR t x s t υ

=

=∞→2分 2分 2分

4分

3分

2分