福州市2015年中考模拟试题(一)

2015年福州市中考模拟测试（一）

数学试卷

（本卷共26小题，考试时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．化简23)

a

（的结果为（▲）

A．5a B．6a C．8a D．9a

2. 今年五一假期，我市某风景区接待游客约为103000人，这一数据用科学记数法表示为

（▲）

A．10.3×104 B．1.03×104C．1.03×105 D．1.03×106

3．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（▲）

A．B．C．D．

4. 我校10名学生今年二月份参加社会实践活动的时间分别为3，3，6，4，3，7，5，7，4，9

（单位：小时），则这组数据的中位数为（▲）

A．5 B．4.5 C．3 D．7

5. 若分式

2

1

x

x

-

+

无意义，则x的值为（▲）

A．0 B．1 C．1-D．2

6. 如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在

直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（▲）

A．23°B．27°C．30°D．37°

7．若实数,,

a b c在数轴上对应点的位置如图所示，

则下列不等式不成立的是（▲）

A．b a

>B．0

ab>

C．+0

a b

c a

+>

8. 用半径为5cm的扇形纸片卷成一个圆锥形的无底纸帽，纸帽的底面周长为4cm

π，则此圆锥纸帽的面积等于（▲）

A．2

10cm

πB．2

14cm

πC．2

20cm

πD．2

40cm

π

9. 小颖画了一个函数1-

=

x

a

y的图象如图，那么关于x的分式方程

1

a

x

=的解是（▲）

A．x=1B．x=2 C．x=3 D．x=4

10. 如图，0

90

ABC

∠=,68

AB BC

==

，，7

AD CD

==，若点P到AC的距离为5，则点

P在四边形ABCD边上的个数为（▲）

c

b

a

第7题图

第9题图

x

y

1

2

3

4

5

–1

12345

–1

–2o

第6题图

F

E

D C B A

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 点P (1,3)-位于第 象限．

12. 正八边形的每个外角的度数为 ． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白

球，且摸出白球的概率是4

1，那么袋子中共有球 个．

14. 请写出一个当0x >时，y 随着x 的增大而增大的反比例函数的解析式 ． 15. 一个边长为8cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm ．

16. 如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝… ＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线1

2

y x =

于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，A 2B 3，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n ，△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，…，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n= ▲ （请用含n 的代数式表示）．

三、解答题（共10小题，满分96分）

17.（本小题满分7分）计算：()1

20151122tan 6012-??+--?-- ???

．

18. （本小题满分7分）已知250x x +-=，求代数式

2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．

19．（本小题满分8分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，延长AC 到D ，使得CD=CB ，

过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交BC 于F ． 求证：AB =DF ．

20、（本小题满分8分）如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； （2）把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2； （3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B 经过（1）、（2）变换的路径总长．

第16题图

x

y

y=

12

x

P 3

P 2

P 1

B 4

B 3

B 2

B 1

A 2

A 4

A 1O

A 3第15题图

E

O

A B

C

第10题图

D

A

C

B

20. （本小题满分10分）为推进阳光体育活动的开展，某学校决定开设以下体育课外活动项

目：A ．排球；B ．乒乓球；C ．篮球； D ．羽毛球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有 ▲ 人；喜欢排球人数所占扇形圆心角是 ； （2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若甲、乙、丙、丁四位同学都喜欢乒乓球运动，现从这四名同学中任选两名进行对

抗练习，求恰好选中乙、丙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.

22. （本小题满分10分）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知

甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的

甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？

23．(本小题满分10分)

如图，在Rt ?ABC 中，∠C=900，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AB 上一点，以AE 为直径的⊙O 过点D ，且交AC 于点F

(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)CD=6，AC=8，求AE ．

图1

图2

第20题图

随机抽取的学生喜欢体育课外 活动项目的人数扇形统计图

随机抽取的学生喜欢体育课外 活动项目的人数条形统计图

（第 24 题图）

（备用图）

（图 1）

M

D

C

B

A

N M

Q

P

D

C B

A

24、（本小题满分10分）

对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sin α=sin(180°-α),cos α=－cos(180°-α). （1）求sin120°,cos120°,sin135°的值；

（2）若一个三角形的三个内角的比为1:1:4,A,B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB 是方

程4x 2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m 值及∠A ，∠B 的大小.

25.（本题满分13分）在矩形ABCD 中，4=AB ，6=AD ，M 是AD 边的中点，P 是AB 边上的一个动点（不与A 、B 重合），PM 的延长线交射线CD 于Q 点，PQ MN ⊥交射．线．BC 于N 点.

（1）若点N 在BC 边上时，如图1.

①(3分)试说明点M 是否在△PBN 的外接圆上；

②(4分)请问PN

PM

是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； （2）(6分)当PBN ?与NCQ ?的面积相等时，求AP 的值.

26、（本小题满分13分）

如图，已知直线l ：y =﹣x +2与y 轴交于点A ，抛物线y =（x ﹣1）2+k 经过点A ，其顶点为B ，另一抛物线y =（x ﹣h ）2+2﹣h （h ＞1）的顶点为D ，两抛物线相交于点C ， （1）求点B 的坐标，并判断点D 是否在直线l 上，请说明理由； （2）设交点C 的横坐标为m ． ①请探究m 关于h 的函数关系式；

②连结AC 、CD ，若∠ACD =90°，求m 的值．

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C D D A C A 二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)

11．二12. 45013. 12 14.

1

y

x

=-等(答案不唯一，满足(0)

k

y k

x

=<均可)

15. 6 16.

2 84 n

n+

M

Q

P

D

A 32

1

25.解：（1）①∵四边形ABCD 是矩形 ∴0

90=∠=∠=∠ADQ ADC A 又∵DMQ AMP ∠=∠，DM AM =

∴AMP ?≌DMQ ?┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 ∴QM PM = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 又∵PQ MN ⊥ ∴QN PN =┄┄┄┄┄┄┄┄3分

②

PN

PM

是定值. 方法一：过M 作BC MH ⊥于H ，如图1.

图 2

O

P

N M

D

C

B

A

x x

图 3

N

M

Q P

D

C

B

A 则AD MH ⊥，四边形ABHM 是矩形，

4==AB MH .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∵39010

∠-=∠，3-9020

∠=∠ ∴21∠=∠

又∵0

90=∠=∠MHN A ∴PAM ?∽NHM ?

∴

4

3

==HM AM NM PM ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 设a PM 3= （0>a ），则a MN 4=

a a a MN PM PN 5)4()3(2222=+=+=┄┄┄┄┄┄6分

所以

5

3

53==a a PN PM ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 方法二：以PN 的中点O 为圆心，PO 为半径作圆，

连接BM .如图2:┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

∵0

90=∠=∠PBN PMN ∴点M 、B 都在⊙O 上 ∴ABM PNM ∠=∠

∴BM

AM

ABM PNM PN PM =∠=∠=sin sin ┄┄┄┄┄5分 ∵3=AM ，591622=+=+=AM AB BM ┄┄6分

所以

5

3

=PN PM ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）当NCQ PBN S S ??=时,设x AP =. ∵932

222+=+=x x PM ，PM PN 3

5

=

∴)9(9

252

2

+=

x PN

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴222

22)4()9(9

25x x PB PN BN --+=

-=2)94(91+=x ∴)94(3

1

+=x BN ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

方法一，分两种情况：

（Ⅰ）当点N 在BC 边上时，如图3：

x x BN BC CN 3

4

3)94(316-=+-=-=

∵NCQ PBN S S ??= ∴CQ CN BN PB ?=?

∴)4)(3

4

3()94(31)4(+-

=+?-x x x x ┄┄┄┄┄10分

解得：0=x （不合题意舍去）

图 4

N

M

P Q

D

C B

A （Ⅱ）当点N 在BC 延长线上时，如图4：

33

4

6)94(31-=-+=-=x x BC BN CN

同理：)4)(3-3

4

()94(31)4(+=+?-x x x x ┄┄┄11分

解得：31=x ，32-=x （不合理舍去）

所以当NCQ PBN S S ??=时，3=AP .┄┄┄┄┄┄12分 方法二： ∵QN PN = ∴2222CQ CN BN PB +=+┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

又∵NCQ PBN S S ??= ∴CQ CN BN PB ?=?

∴22)()CQ CN BN PB +=+（，22)()(CQ CN BN PB -=-

∴???-=-+=+CQ CN BN PB CQ CN BN PB 或?

??-=-+=+CN CQ BN PB CQ

CN BN PB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

∴CN PB =或CQ PB =（不合理舍去） ∴当点N 在BC 边上时，x x 3

4

34-=-， 3-=x （不合理舍去）┄┄┄10分 当点N 在BC 延长线上时，33

4

4-=

-x x ，3=x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 所以，当3=AP 时，NCQ PBN S S ??= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

26、解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，

∴A（0，2），

把A（0，2）代入，得1+k=2

∴k=1，

∴B（1，1）

∵D（h，2﹣h）

∴当x=h时，y=﹣x+2=﹣h+2=2﹣h

∴点D在直线l上；

（2）①（m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2

由题意得（m﹣1）2+1=（m﹣h）2﹣h+2，

整理得2mh﹣2m=h2﹣h

∵h＞1

∴m==．

②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠CDF

又∵∠AEC=∠DFC

∴△ACE∽△CDF

∴

又∵C（m，m2﹣2m+2），D（2m，2﹣2m），

∴AE=m2﹣2m，DF=m2，CE=CF=m

∴

∴m2﹣2m=1

解得：m=±+1

∵h＞1

∴m=＞

∴m=+1．