二次函数知识点复习(自己所理)
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这
里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,
可以为零. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.
⑵ a b c ,
,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质:
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质:
三、二次函数图象的平移
2. 平移规律
Y=ax 2平移成y=a (x-h )2+k 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”
四、二次函数
()2
y a x h k
=-+与2
y ax
bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ???
,其中2424b ac b h k a a -=-=
,. 五、二次函数
2
y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
六、二次函数2
y ax
bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a
a ??-- ???,.
当2b x a <-
时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时,y 有最小值2
44ac b a
-.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b
x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a =-时,y 有最大值
244ac b a
-. 七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);知道三点的坐标用一般式。
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式。
3. 交点式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标),当函数与x 轴有两个交点时,用交点式。注意中间的“-”。
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a
-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0 ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 九、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况): 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数: ① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x , ,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根. ② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 十、函数的应用 二次函数应用?? ??? 刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 21.已知:如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中A 点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线BC 的解析式。 某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大. (2007河北省)如图13,已知二次函数2 4y ax x c =-+的图像经过点A 和点B . (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P (m ,m )与点Q 均在该函数图像上(其中m >0),且这两点关于 抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的距离. 程序设计基础 课程实践目标要求 一、课程实践目标 程序设计基础课程实践是督促和检验学生程序设计综合能力的教学环节,通过课程实践使学生综合使用所学过的C语言程序设计知识,掌握结构化程序设计的基本思路和方法,在所掌握的基本知识和技能的基础上,进一步提高自学能力和查找资料的能力,解决一定程度的复杂的结构化程序设计问题,加深对所学知识的理解与掌握,增强学生利用自己所学知识解决实际问题的能力,为以后的程序开发打下基础。 课程实践的目的和要求: 1、使学生巩固和加强《C语言程序设计》课程的理论知识。 2、使学生掌握C语言的基本概念、语法、语义和数据类型的使用特点。 3、使学生掌握C语言程序设计的方法及编程技巧,能正确使用C语言编写程序。 4、进一步理解和运用结构化程序设计的思想和方法;学会利用传统流程图或N-S图表示算法。 5、使学生掌握调试程序的基本方法及上机操作方法。 6、掌握书写程序设计开发文档的能力,使学生学会撰写课程实践总结报告。课程实践的思想和方法还可以作为学生做毕业论文时的参考资料。 7、通过查阅手册和文献资料,培养学生独立分析问题和解决问题的能力。为学生做毕业设计打好基础。 8、初步掌握开发一个小型实用系统的基本方法:结合实际应用的要求,使课程实践既覆盖知识点,又接近工程实际需要。通过激发学习兴趣,调动学生主动学习的积极性,并引导他们根据实际编程要求,训练自己实际分析问题的能力及编程能力,并养成良好的编程习惯。 9、培养学生的创新能力和创新思维。学生可以根据指导书和相关文献上的参考算法,自己设计出相应的应用程序。 10、培养学生良好的程序设计风格。在实际编程中,为了提高编程质量,对空行、空格和注释均有要求。学生在课程实践书写代码时,应该严格按要求处理,以便建立良好的程序设计风格。 二、课程实践内容 1.基本要求 ⑴课程实践题目选一,可以协商合作,但每名同学必须完成每个功能函数,甚至每条语句的作用。只有了解了整个程序设计思路,每个函数、设置每条语句的作用,才达到开“计算机与程序设计语言”这门课的目的。 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 中考复习专题——二次函数知识点总结 一、二次函数的有关概念: 1、二次函数的定义: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 2、二次函数解析式的表示方法 (1) 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); (2) 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); (3) 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 二、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1.基本方法:描点法 注:五点绘图法。利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一 般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称 的点). 2.画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 三、二次函数的图像和性质 1.二次函数2y ax bx c =++的性质 (1). 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. (2). 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. J a v a编程基础知识点汇总及习题集答案 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 目录 第一章 Java入门 (2) 第二章 Java基础 (5) 第三章条件转移 (14) 第四章循环语句 (20) 第五章方法 (26) 第六章数组 (33) 第七章面向对象 (42) 第八章异常 (63) 第一章 Java入门 知识点汇总 1、JAVA 三大体系 Java SE:(J2SE,Java2 Platform Standard Edition,标准版),三个平台中最核心的部分,包含Java 最核心的类库。 JavaEE:(J2EE,Java 2 Platform, Enterprise Edition,企业版),开发、装配、部署企业级应用,包含Servlet、JSP、JavaBean、JDBC、EJB、Web Service等。 Java ME:(J2ME,Java 2 Platform Micro Edition,微型版),用于小型电子设备上的软件开发。 2、JDK,JRE,JVM的作用及关系作用 ★JVM:保证Java语言跨平台 ★JRE:Java程序的运行环境 ★JDK:Java程序的开发环境 关系 ★JDK:JRE+工具 ★JRE:JVM+类库 3、JDK环境变量配置 path环境变量:存放可执行文件的存放路径,路径之间 用逗号隔开 classpath环境变量:类的运行路径,JVM在运行时通过classpath加载需要的类 4、重点掌握两个程序 :Java编译器工具,可以将编写好的Java文件(.java)编译成Java字节码文件(.class); :Java运行工具,启动Java虚拟机进程,运行编译器生成的字节码文件(.class) 5、一切程序运行的入口public static void main (String args []){ World!”); } 课堂笔记 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题. 第三部分程序设计基础 3.1 程序、程序设计、程序设计语言的定义 ⑴程序:计算机程序,是指为了得到某种结果而可以由计算机等具有信息处理能力的装置执行的代码化指令序列,或者可以被自动转换成代码化指令序列的符号化指令序列或者符号化语句序列。 ⑵程序设计:程序设计是给出解决特定问题程序的过程,是软件构造活动中的重要组成部分。程序设计往往以某种程序设计语言为工具,给出这种语言下的程序。程序设计过程应当包括分析、设计、编码、测试、排错等不同阶段。 ⑶程序设计语言:程序设计语言用于书写计算机程序的语言。语言的基础是一组记号和一组规则。根据规则由记号构成的记号串的总体就是语言。在程序设计语言中,这些记号串就是程序。程序设计语言有3个方面的因素,即语法、语义和语用。 3.2 高级语言和低级语言的概念及区别 ⑴高级语言:高级语言(High-level programming language)是高度封装了的编程语言,与低级语言相对。 它是以人类的日常语言为基础的一种编程语言,使用一般人易于接受的文字来表示(例如汉字、不规则英文或其他外语),从而使程序编写员编写更容易,亦有较高的可读性,以方便对电脑认知较浅的人亦可以大概明白其内容。 ⑵低级语言:低级语言分机器语言(二进制语言)和汇编语言(符号语言),这两种语言都是面向机器的语言,和具体机器的指令系统密切相关。机器语言用指令代码编写程序,而符号语言用指令助记符来编写程序。 ⑶区别: 高级语言:实现效率高,执行效率低,对硬件的可控性弱,目标代码大,可维护性好,可移植性好低级语言:实现效率低,执行效率高,对硬件的可控性强,目标代码小,可维护性差,可移植性差 了解知识:CPU运行的是二进制指令,所有的语言编写的程序最终都要翻译成二进制代码。越低级的语言,形式上越接近机器指令,汇编语言就是与机器指令一一对应的。而越高级的语言,一条语句对应的指令数越多,其中原因就是高级语言对底层操作进行了抽象和封装, 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数.2y ax bx c =++a b c ,,0a ≠其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项. a b c 知识点二:二次函数的图象与性质抛物线的三要素:开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+(1)二次函数基本形式的图象与性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 2y ax = (2)的图象与性质:上加下减 2y ax c =+ (3)的图象与性质:左加右减 ()2 y a x h =- (4)二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 (1)当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为. 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 .y 2 44ac b a - (2)当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为. 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 .y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线) 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y 轴的交点,顶点.(2)二次函数图象的平移平移步骤: ①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2 y a x h k =-+()h k ,② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下: 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”.(3)用待定系数法求二次函数的解析式①一般式:.已知图象上三点或三对、 的值,通常选择一般式. ②顶点式:.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ③交点式: .已知图象与轴的交点坐标 、 ,通常选择交点式. (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法:,∴顶点是,对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=),(a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h ),对称轴是直线. k h x = 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数 一、解析式的求法 一般式2 y ax bx c =++?? ?已知没有规律的三个点的坐标 已知a:b:c,并且已知一个点的坐标 顶点式2 ()y a x m n =++????? 已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标 两点式(交点式)12()()y a x x x x =-- 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题 (1)、平移的实质:a 相同。(a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小,其中a 决定开口的大小,a 的正负决定开口方向。注意,两个二次函数的a 相等,则这两个二次函数的形状就是相同的) (2)、平移的规律:顶点坐标的平移。 2、二次函数的对称变换: 2222 ()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ?=-+=+?=-+=--?与关于轴对称 与关于轴对称 3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2 ,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系 0a a a ?>????L 对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧0 00y y c c y y c ?>???? -?-=???- L 抛物线与轴有两个交点抛物线与轴有一个交点抛物线与轴没有交点 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减) 3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).程序设计基础实践课目标要求
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点大全
最新中考复习二次函数知识点总结
Java编程基础知识点汇总及习题集答案
初三数学二次函数知识点总结
二次函数知识点整理
程序设计基础知识点)
(完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总,推荐文档
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点
(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点总结及典型题目