2006年四川高考理科数学试题及答案详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川）

理科数学（必修+选修II ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}2A=|560,|213,x x x B x x -+≤=->则集合A B I ＝

（A ）{}|23x x ≤≤（B ）{}|23x x ≤<（C ）{}|23x x <≤ （D ）{}|13x x -<< 2.复数()3

13i -的虚部为

（A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－2. 3. 已知23,1(),2,1

x x f x x +≠?=?

=? 下面结论正确的是

（A ）f(x)在x=1处连续 （B ）f(1)＝5 （C ）1

lim ()2x f x →=－

（D ）1

lim ()5x f x →= 4. 已知二面角l αβ--的大小为060，m n 、为异面直线，

m n αβ⊥⊥且，，m n 则、 所成的角为

（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 5. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （A ）sin()6

y x π=+ （B ）sin(2)6

y x π=-

（C ）cos(4)3

y x π=- （D ）cos(2)6

y x π=-

6. 已知两定点(2,0),A -(1,0),B 如果动点P 满足条件2,PA PB =则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于

（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π 7.如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ?u u u u r u u u u r

（B ）1214PP PP ?u u u u r u u u u r

（C ）1215

PP PP ?u u u u r u u u u r

（D ）1216PP PP ?u u u u r u u u u r

8. 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为

12d d 、元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各12c c 、千克。要计划本月生产甲、

乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总

利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为

（A ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≥??+≥??≥??≥?（B ）111222,,0,0a x b y c a x b y c x y +≤??+≤??≥??≥? （C ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??≥??≥? （D ）121122,,0,0

a x a y c

b x b y

c x y +=??+=??≥??≥? 9. 直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为

（A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72. 10. 已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4

π，B 、C 两点的球面距离是3

π，则二面角B C OA --的大小是

（A ）

4π （B ）3π （C ）2π

（D ）23

π 11. 设c b a 、、分别为ABC ?的三内角A B C 、、所对的边，则2

()a b b c =+是

A B =2的

（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件12. 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为

（A ）1954

（B ）3554 （C ）3854 （D ）4160

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13.在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC,M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。

14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k )＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望E ξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。

15.如图把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分

点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个

点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=____________． 16.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈(2)存在

,e G ∈都有,a b b a a ⊕=⊕=则称G 关于运算⊕为“融洽集”。现给出下列集合

和运算：

① G ＝｛非负整数｝，⊕为整数的加法。

② G ＝｛偶数｝，⊕为整数的乘法。

③ G ＝｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法。 ④ G ＝｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法。 ⑤ G ＝｛虚数｝，⊕为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号） 三.解答题 共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知A 、B 、C 是ABC ?三内角，向量(1,3),m =-(cos ,sin ),n A A =且 1.m n ?= （Ⅰ）求角A （Ⅱ）若

221sin 23,cos sin B B B

+=--求tanC 。

18．（本小题满分12分）

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。

如图,长方体ABCD-1111D C B A 中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点, M 、N 分别是AE 、1CD 的中点, 11AD=A A ,a =Ab=2,a

（Ⅰ）求证：11MN//ADD ;A 平面； （Ⅱ）求二面角P AE D --的大小； （Ⅲ）求三棱锥P －DEN 的体积。

已知数列{}n a ，其中121,3,a a ==112,(2)n n n a a a n +-=+≥记数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列{}ln n S 的前n 项和为.n

U

(Ⅰ)求n U ；

(Ⅱ) 设22

(),2(!)N U n

n e F x x n n = 11

()(),n

n k i T x F x ==∑（其中1()k F x 为()k F x 的导函数），计算1

()

lim ()n n n T x T x →∞+

已知两定点1(2,0),F -2(2,0),F 满足条件212PF PF -=u u u v u u u v

的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。如果63,AB =u u u v

且曲线E 上存在点

C ，使,OA OB mOC +=u u u v u u u v u u u v

求m ABC ?的值和的面积S 。

已知函数2

2

f(x)++ln (0),x a x x x

=>f(x)的导函数是f (x)'

。对任意两个不相等的正数12x x 、，证明： （Ⅰ）当0a ≤时，

1212()()()22

f x f x x x

f ++>；

（Ⅱ）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-。

2006年四川理科数学参考答案

一．选择题： 题号

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 答案

C D D B

D

B

A

C

A

C

A

B

（1）已知集合{}

2560

A x x x =-+≤={|23}x x ≤≤，集合

{}

213B x x =->{|2或1}x x x ><-，则集合A B =I {}23x x <≤，选C.

（2）复数()3

1i -=13322i i i --+=--,所以它的虚部为－2，选D.

（3）已知()23,1

2,1x x f x x +≠?=?=?，则11

lim ()lim ()5x x f x f x +-

→→==，而(1)2f =，∴ 正确的结论是()1

lim 5x f x +

→=，选D. （4）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为两条直线所成的角，∴ θ=060，选B.

（5）从图象看出，

41T=1264

πππ

+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6

π

个单位，

即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236

x x x ππππ

+=-++=-，

所以选D.

（6）已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(x ，y)，

则2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，即22(2)4x y -+=，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.

(7) 如图，已知正六边形123456PP P P P P ，设边长12||PP

a =，则∠213P PP =6π.，13

||3PP a =,1213,PP PP u u u u r u u u u r =233322a a a ??=，∠214P PP =3

π

，14||2PP a =，1214,PP PP u u u u r u u u u r =2

122

a a a ??=，1215,PP PP u u u u r u u u u r =0，1216,PP PP u u u u r u u u u r <0，∴ 数量积中最大的是1213,PP PP u u u u r u u u u r ，选A.

(8) 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11,a b ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22,a b 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为

12,d d 元，月初一次性够进本月用原料,A B 各12,c c 千

克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利

润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y

=+最大的数学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤??+≤??

≥??≥?

，选C.

(9) 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线

作垂线，垂足分别为,P Q ，联立方程组得243

y x

y x ?=?=-?，消元得21090x x -+=，

解得1

2x y =??=-?，和96x y =??=?，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB 的面积

为48，选A.

(10) 已知球O 的半径是R=1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是

4

π，则∠AOB ，∠AOC 都等于4π

，AB=AC ，,B C 两点的球面距离是

3

π，∠BOC=3π

，BC=1，过B 做BD ⊥AO ，垂足为D ，连接CD ，则CD ⊥AD ，则∠

BDC 是二面角B OA C --的平面角，BD=CD=22，∴∠BDC=2

π

，二面角B OA C --的大小是

2

π

，选C. （11）设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，

则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22

a B

B C --=+， ∴

1

(cos 2cos 2)sin sin 2

B A B

C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， y

x

F

O

Q

P

B

A

又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+， 所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.

（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。

所有的三位数有3

210

9648A A -=个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要

求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有33212A =个；② 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数

字中有无数字0，共有3

24

318A A -=个；③ 若三组各取一个数字，第三组中不取0，有1113

3

333162C C C A ???=个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112

3

32236C C A ???=个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为420648=35

54

，选B 。

二填空题：

（13）在三棱锥O ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，

且,OA OB OC M ==是AB 边的中点，设||OA a =，则

||||||2AB BC CA a ===，3

16

O ABC V a -=

，O 点在底面的射影为底面△ABC 的中心，||13

O ABC

ABC V OD S -=

V =

33a ，又13||||36DM MC a ==，OM 与平面ABC 所成角的正切是3

3tan 266θ==，

所以二面角大小是arctan 2. （14）设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，所以

()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，

即1041a b +=，又ξ的数学期望3E ξ=，D

M

C

B

A

O

则

()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b +++++++=，即30103a b +=，1

,010

a b =

=,∴ a b +=

110

. （15）如图，把椭圆22

12516

x y +

=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，

11711112||||||||2PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41||P

F a =，∴ 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=7a =35

（16）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕

为“融洽集”；现给出下列集合和运算： ①{},G =⊕非负整数为整数的加法,满足任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且令

0e =，有00a a a ⊕=⊕=，所以①符合要求；

②{},G =⊕偶数为整数的乘法,若存在a e a e a ⊕=?=，则1e =，矛盾，∴ ②不符合要求；

③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法,取0e =r

，满足要求，∴ ③符合要求；

④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；

⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴ ⑤不符合要求，

这样G 关于运算⊕为“融洽集”的有①③。 三．解答题：

17．本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）∵1m n ?=u r r

∴()

()1,3cos ,sin 1A A -?= 即3sin cos 1A A -=

312sin cos 122A A ???-?= ? ???

, 1sin 62A π??-= ??? ∵50,6

6

6

A A π

π

ππ<<-

<-

<

∴66A ππ-= ∴3A π

=

（Ⅱ）由题知

22

12sin cos 3cos sin B B

B B

+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-

而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =

∴

()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-

-23123

+=-

-853

11+= 18．本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，

考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。

解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理

论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；

（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 解法1：()()

123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++

()()()

()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++

0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=??+??+??+?? 0.902=

解法2：()()

1P C P C =-()

1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++

()()()()

1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ??=-+++??

()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-??+??+??+??

10.098=-0.902=

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902

（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D

()()()()112233P D P A B A B A B =?????????

()()()112233P A B P A B P A B =?????

()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =?????

0.90.80.80.80.70.9=????? 0.254016= 0.254≈

所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254

19．本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分 解法一：（Ⅰ）证明：取CD 的中点K ，连结,MK NK ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点

∵1//,//MK AD NK DD

∴//MK 面11ADD A ，//NK 面11ADD A

∴面//MNK 面11ADD A ∴//MN 面11ADD A

（Ⅱ）设F 为AD 的中点

∵P 为11A D 的中点 ∴1//PF D D ∴PF ⊥面ABCD

作FH AE ⊥，交AE 于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE PH ⊥

从而PHF ∠为二面角P AE D --的平面角。 在

Rt AEF ?中，

17,2,22

a AF EF a AE a =

==，从而

2221717

2

a

a

AF EF a FH AE a ??===

在Rt PFH ?中，117tan 2

DD PF PFH FH

FH

∠===

故：二面角P AE D --的大小为17arctan 2

（Ⅲ）12221111542444

NEP ECD P S S BC CD a a a a ?=

=?=??+=矩形 作1DQ CD ⊥，交1CD 于Q ，由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥ ∴DQ ⊥面11BCD A ∴在1Rt CDD ?中，1122

55

CD DD a a DQ a CD a ??=

== ∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --?==?2152

345

a a =?316a =

方法二：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系，则

()()()()()11,0,0,,2,0,0,2,0,,0,,0,0,A a B a a C a A a a D a

∵,,,E P M N 分别是111,,,BC A D AE CD 的中点

∴3,2,0,,0,,,,0,0,,,2242a

a

a

a

E a P a M a N a ???????? ? ? ? ????????

? （Ⅰ）3,0,4

2a MN a ??

=- ???u u u u r

取()0,1,0n =r

，显然n ⊥r 面11ADD A

0MN n ?=u u u u r r ，∴MN n ⊥u u u u r r

又MN ?面11ADD A ∴//MN 面11ADD A

（Ⅱ）过P 作PH AE ⊥，交AE 于H ，取AD 的中点F ，则,0,02a F ??

???

∵

设(),,0H x y ，则,,,,,022a a HP x y a HF x y ????=--=-- ? ?????

u u u r u u u r 又,2,02

a

AE a ??=- ?

??

u u u r

由0AP AE ?=u u u r u u u r

，及H 在直线AE 上，可得: 22042

44a a x ay x y a

?-+-=???+=?

解得332,3417

x a y a =

= ∴8282,,,,,017171717a a a a HP a HF ????

=--=-- ? ?????

u u u r u u u r ∴0HF AE ?=u u u r u u u r 即HF AE ⊥u u u r u u u r

∴HP u u u r 与HF u u u r

所夹的角等于二面角P AE D --的大小

2cos ,21HP HF HP HF HP HF

?==

?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r 故：二面角P AE D --的大小为221

arccos

21

（Ⅲ）设()1111,,n x y z =u r 为平面DEN 的法向量，则11,n DE n DN ⊥⊥u r u u u r u r u u u r

又,2,0,0,,,,0,222

a

a

a

DE a DN a DP a ??????=== ? ? ??

?

?

?

?

?

u u u r

u u u r

u u u r

∴1

11120220

2

a

x ay a y z ?+=????+=?? 即 111142x y z y =-??=-? ∴可取()14,1,2n =-u r

∴P 点到平面DEN 的距离为11

224161421DP n a a a

d n ?+===++u u u r u r u r

∵8cos ,85DE DN DE DN DE DN ?==

?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ， 21

sin ,85DE DN =u u u r u u u r

∴2

121sin ,28

DEN

S DE DN DE DN a ?=??=u u u r u u u r u u u r u u u r ∴32112143386

21P DEN

DEN a a V S d a -?=?=??=

20．本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。

解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 前n 项和()211212

n n S n n ++-=

?=，2

ln ln 2ln n S n n ==

()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=L （Ⅱ）()()

()()

2

2222

2

!22!2!n U n n

n

n n e x F x x

x n n n n n =

?=?= ()'21n n F x x -= ()()()

()()

()()22

'21

112210111111n n n

k n k k k n

x x x x T x F x x n x x x x x -==?-?<<-??====??-?>?-?

∑∑

()()()()()

222122

21lim 1011lim lim 11111lim 11n n n n n n n n n n x

x x T x n x T x n x x x x +→∞→∞→∞+→∞???-?=<

?===?+?

???

- ??

???>???- ?????

21．本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。 解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以()()122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，

且2,1c a ==，易知1b =

故曲线E 的方程为()2210x y x -=<

设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22

1

1

y kx x y =-??-=? 消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有

()()222

12

212210281020

1201k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???-?+=?-?

解得21k -<<- 又∵ 2121AB k x x =+?-()

2

2121214k x x x x =+?

+-

2

222221411k k k k --??

=+?-? ?--??

()()()

2

2

2

21221k k k +-=-

依题意得 ()()()

2

2

2

2122

631k k k +-=- 整理后得 4

2

2855250k k -+=

∴257k =

或25

4

k = 但21k -<<- ∴52k =-

故直线AB 的方程为

5

102

x y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r

，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=

∴()1212,,c c x x y y mx my m

m ++??

= ???，()0m ≠

又1222451

k x x k +==--，()212122222

22811k y y k x x k k +=+-=-==--

∴点458,C m

m ??- ? ?

??

将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得

2

28064

1m m

-= 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴4m =，C 点的坐标为()

5,2-

C 到AB 的距离为

()

2

25

5212

13

512?-++=??+ ???

∴ABC ?的面积11

63323

S =??=

22．本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14分。

证明：（Ⅰ）由()22

ln f x x a x x

=++

得

()()()()1222121212111ln ln 222

f x f x a

x x x x x x +??=+++++ ???

()2

212121212

1ln 2x x x x a x x x x +=

+++ 2

12121212

4

ln 222x x x x x x f a x x +++????=++ ? ?

+????

而()()2

2222212121212112242x x x x x x x x +????+>++= ?????

① 又()()2

221212121224x x x x x x x x +=++>

∴

121212

4

x x x x x x +>+ ② ∵12122x x x x +<

∴1212ln ln 2

x x

x x +< ∵0a ≤ ∴1212ln ln 2

x x a x x a +< ③ 由①、②、③得

()2

2212121212121212

14ln ln 22x x x x x x a x x a x x x x x x ++??

+++>++ ?+?? 即

()()121222f x f x x x f ++??

> ???

（Ⅱ）证法一：由()22ln f x x a x x =++，得()'222a

f x x x x

=-+ ∴

()()''12122211222222a a f x f x x x x x x x ????-=-+--+ ? ??

???()121222

121222x x a x x x x x x +=-?+- ()()()12''121222

1212

221x x a f x f x x x x x x x +->-?+

-> 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有

()1222

1212

221x x a

x x x x ++

->恒成立 即证()

121212

2x x a x x x x +<+成立 ∵()1212121212

24

x x x x x x x x x x ++

>+

设()()2124,0t x x u x t t t

==+

>，则()'24

2u x t t =-

令()'0u x =得32t =，列表如下：

t ()3

0,2

3

2

(

)

3

2,+∞ ()'u t _

0 +

()u t

]

极小值334

Z

()33341084u t a ≥=>≥ ∴()

121212

2x x x x a x x ++

>

∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有

()()''1212f x f x x x ->-

证法二：由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x

=-+ ∴

()()

'

'

12122211222222a a f

x f x x x x x x x ????-=-+--+ ? ??

???()1212

22121222x x a x x x x x x +=-?+-

∵12,x x 是两个不相等的正数 ∴()(

)

123

22

12

12

12

12

24

22x x a a

x x x x x x x x ++->+

-(

)

3

12

12

4

42x x x x ≥+-

设12

1

t x x =

，()()322440u t t t t =+-> 则()()'432u t t t =-，列表：

∴38127u => 即 ()12221212221x x a

x x x x ++-> ∴()()()12''121212221212

22x x a

f x f x x x x x x x x x +-==-?+

->-

即对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-

t 20,3?? ??? 23 2,3??+∞ ??? ()'u t _

0 +

()u t

]

极小值

38

27

Z