离散数学【全60讲】

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →

→

=，则A BA C →→

?的最小值为（）

A ．1

4- B ．12-

C ．34-

D ．1-

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB

，OC 表示其它向量。

2．找不出OB 与OA 的夹角和OB

与OC 的夹角的倍数关系。

【解题思路】1．把向量用OA ，OB

，OC 表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →

→

=得，22

()()OB OA OC OA -=- ，因为

1OA OB OC ===

，所以有，OB OA OC OA ?=? 则()()AB AC OB OA OC OA ?=-?-

2OB OC OB OA OA OC OA =?-?-?+

21OB OC OB OA =?-?+

设OB 与OA 的夹角为α，则OB

与OC 的夹角为2α

所以，cos22cos 1AB AC αα?=-+ 211

2(cos )22

α=--

即，AB AC ? 的最小值为1

-，故选B 。

【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知

//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ

== 则AE AF ? 的最小值为.

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何

运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ? ，体

现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

2918

【解析】因为1,9DF DC λ= 12

DC AB =

，

119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ

--=-=-== ，

AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ

-+=++=++=+ ，

()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC

λλλλλλλλλ+++?????=+?+=+++?? ? ?????

19199421cos1201818

λλ

λλ++=

?++???

?2117172992181818λλ=

++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ? 的最小值为

. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的

交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设8

FA FB →

→

，求BDK ?内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =

则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故2

14x my y x =-??

=?整理得2

440y my -+=，故121244

y y m y y +=??=? 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2

222144y y y x y y ?

?-=- ?-??

令0y =，得1214

y y

x ==，所以()1,0F 在直线BD 上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244

y y m y y +=??=?，所以()()2

12121142x x my my m +=-+-=-，

()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →

故()()()2

1212121211584FA FB x x y y x x x x m →→

?=--+=-++=-，

则2

84,93

m m -=

∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=

21y y -==

故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，

故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131

,54t t +--------------10分由

31315

4t t +-=

得1

9t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253

t r +=

= 所以圆M 的方程为2

21499x y ?

?-+= ??

【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝5

4|PQ|.

（1）求C 的方程；

（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x.

（2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入

y 2＝2px ，得

x 0＝8

，

所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8

由题设得p 2＋8p ＝54×8

p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，

所以C 的方程为y 2＝4x.

（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.

故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝

m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．

又直线l ′的斜率为－m ，

所以l ′的方程为x ＝－1

m y ＋2m 2＋3.

将上式代入y 2＝4x ，

并整理得y 2＋4

m y －4(2m 2＋3)＝0.

设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，

则y 3＋y 4＝－4

，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．

故线段MN 的中点为E ? ????

2＋2m 2＋3，－2m ，

|MN|＝

1＋1

m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1

m 2

由于线段MN 垂直平分线段AB ，

故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝1

2|MN|，

从而14|AB|2＋|DE|2＝1

4|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋

? ????2m ＋2m 2＋? ??

??2

m 2＋22＝

4（m 2＋1）2（2m 2＋1）

m 4

，

化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）

离散数学第11章形式语言与自动机

第11章形式语言与自动机 1．写出字符串011的全部前缀、后缀和子串。解：前缀：{0，01，011，ε}，后缀：{1，11，011，ε}，子串：{0，01，011，ε，11，1} 2.以合理的顺序展开下列语言，把它们写成带省略号的列举法表示。 (1){ab }* ，(2){a ，b }* ，(3){a }* {b }* ，(4){a n b 2n |n ≥0}。解：（1）{ε，ab ，abab ，ababab ，…} （2）{ε，a ，b ，aa ，ab ，ba ，bb ，aaa ，aab ，aba ，abb ，…} （3）{ε，a ，b ，ab ，aa ，bb ，aaa ，aab ，bbb ，abb ，…} （4）{ε，abb ，aabbbb ，…} 3.现有文法G [S ]：S →aAb ，A →BcA ，A →B ，B →idt ，B →ε，给出下面几个句子的推导过程。 (1)aidtccb (2)ab (3)aidtcidtcidtb 解：(1) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtccAb →aidtccBb →aidtccb (2)S →aAb →aBb →ab (3) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtcidtcAb →aidtcidtcBb →aidtcidtcidtb 4.指出G ＝({S }，{a ，b }，P ，S )属于哪一型文法，其中P ＝{S →bSS ，S →a }，并用集合的形式写出它产生的语言。解：该文法属于上下文无关文法。 {以b 开头以aa 结尾且字符a 的个数比字符b 的个数多1的所有符号串} 5.设M ＝({p ，q ，r }，{a ，b }，δ，p ，{r })为有限自动机，其中δ如表11-1所示，画出M 的状态转换图，并用格局转换推导式证明字符串abaab ∈L (M )。表11-1 解：M 的状态转换图如图11-1所示： (p ,abaab )├(q ,baab )├(p ,aab )├(q ,ab )├(r ,b )├(r ,ε) 其中r ∈F ，即(r ,ε)是终止格局 6.设有一个NFA ：M =({ p ，q ，r ，S }，{0，1}，δ，p ，{S })，其中状态转换函数δ如表11-2 所示，试构造与它等价的DFA 。表11-2 图11-1

应用离散数学-集合与关系

集合与关系《应用离散数学》第3章 21世纪高等教育计算机规划教材

目录 3.1 集合及其运算 3.2 二元关系及其运算3.3 二元关系的性质与闭包3.4 等价关系与划分 3.5 偏序关系与拓扑排序3.6 函数 3.7 集合的等势与基数3.8 多元关系及其应用

集合是现代数学中最重要的基本概念之一，数学概念的建立由于使用了集合而变得完善并且统一起来。集合论已成为现代各个数学分支的基础，同时还渗透到各个科学技术领域，成为不可缺少的数学工具和表达语言。对于计算机科学工作者来说，集合论也是必备的基础知识，它在开关理论、形式语言、编译原理等领域中有着广泛的应用。本章首先介绍集合及其运算，然后介绍二元关系及其关系矩阵和关系图，二元关系的运算、二元关系的性质、二元关系的闭包，等价关系与划分、函数，最后介绍多元关系及其在数据库中的应用等。

3.1 集合及其运算 3.1.1 基本概念集合是数学中最基本的概念之一，如同几何中的点、线、面等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念。集合是什么呢？直观地说，把一些东西汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些东西就是这个集合的元素或叫成员。例3.1 （1）一个班级里的全体学生构成一个集合。（2）平面上的所有点构成一个集合。（3）方程的实数解构成一个集合。（4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示。（5）整数的全体构成一个集合，用Z表示。（6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示。（7）实数的全体构成一个集合，用R表示。

（8）复数的全体构成一个集合，用C表示。（9）正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+。（10）非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。（11）所有n 阶(n≥2)实矩阵构成一个集合，用M n(R)表示，即

7离散数学(集合的运算)实验报告

大连民族学院计算机科学与工程学院实验报告实验题目：集合的运算课程名称：离散数学实验类型：□演示性□验证性□操作性□设计性□综合性专业：网络工程班级：网络111班学生姓名：张山学号：2011083123 实验日期：2013年12月22日实验地点：I区实验机房实验学时：8小时实验成绩：指导教师签字：年月日老师评语：

实验题目：集合的运算实验原理： 1、实验内容与要求：实验内容：本实验求两个集合间的运算，给定两个集合A、B，求集合A与集合B之间的交集、并集、差集、对称差集和笛卡尔乘积。实验要求：对于给定的集合A、B。用C++/C语言设计一个程序（本实验采用C++），该程序能够完成两个集合间的各种运算，可根据需要选择输出某种运算结果，也可一次输出所有运算结果。 2、实验算法：实验算法分为如下几步：（1）、设计整体框架该程序采取操作、打印分离（求解和输出分开）的思想。即先设计函数求解各部分运算并将相应结果传入数组（所求集合）中，然后根据需要打印运算结果。（2）、建立一个集合类（Gather）类体包括的数组a、b、c、d、e、f、g分别存储集合A、B以及所求各种运算的集合。接口（实现操作的函数）包括构造函数，菜单显示函数，求解操作函数，打印各种运算结果等函数。（3）、设计类体中的接口构造函数：对对象进行初始化，建立集合A与集合B。菜单显示函数：设计提示选项，给使用者操作提示。操作函数：该函数是程序的主题部分，完成对集合的所有运算的求解过程，并将结果弹入（存入）对应数组（集合）中，用于打印。具体操作如下：

1*求交集：根据集合中交集的定义，将数组a、b中元素挨个比较，把共同元素选出来，并存入数组c（交集集合）中，即求得集合A、B的交集。 2*求并集：根据集合中并集的定义，先将数组a中元素依次存入数组g（并集集合）中，存储集合A中某元素前，先将其与已存入g中的元素依次比较，若相同则存入下一个元素，否则直接存入g中，直到所有A中元素存储完毕。接着把b中元素依次存入数组g（并集集合）中，存储前将b中每个元素依次与已存入数组g中的集合A的元素比较，若数组g中没有与该元素相同的元素，则将该元素存入g（并集集合）中，否则进行下一次比较，直到所有b中元素比较并存储完毕，即求得A与B 的并集。 3*求差集：根据集合中差集的定义知，差集分为两部分，A对B的差集（数组d）和B对A的差集（e）。设计求解A对B的差集，将集合A中元素依次与B中元素比较，若B中无元素与该元素相同，则将其存入数组d中（同时删除d中相同的元素，操作方法与求并集时删除相同元素类似），否则进行下一轮比较，直到A中所有元素比较完毕，即求得A对B的差集（数组d）。求解B对A的差集方法与求解A对B 的差集类似，这里不再重复。 4*求对称差：根据集合中对称差集的定义，将3*中所求两部分差集求并集并存入数组f中即可。操作过程与求并集相似，这里不再重复。 5*求笛卡尔乘积：根据集合中笛卡尔乘积集的定义，分为A*B和B*A。先设计A*B是我算法，将a中元素循环依次与b中元素配对即可。求B*A与求A*B类似，这里不再重复。实验步骤：一、分析实验阅读实验指导书和离散数学课本，充分理解整个实验的实验内容及要求，以便对实验进行科学的设计。然后对整个实验进行“解剖”，即把整个实验系统地分成若干

北航离散数学第11章习题答案

第11章习题答案 3. 对图11.3的有向图，找出从u 1到u 4的长度为2,3,4的所有通路，并找出顶点u 4上的长度为2,3,4的所有回路。用M 2，M 3，，M 4 ，来验证这些结果。解：从u 1到u 4长度为2的通路有1条：（u 1,u 2,u 4）从u 1到u 4长度为3的通路有2条：（u 1,u 2,u 3，u 4），（u 1,u 4,u 2，u 4）从u 1到u 4长度为4的通路有3条：（u 1,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 1,u 2，u 4,u 2，u 4），（u 1,u 4,u 2， u 3，u 4）顶点u 4上的长度为2的回路有1条：（u 4,u 2,u 4）顶点u 4上的长度为3的回路有1条：（u 4,u 2,u 3，u 4）顶点u 4上的长度为4的回路有2条：（u 4,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 4,u 2，u 4,u 2，u 4） M =?? ??????????0010 101011001010 M 2=?? ??????????11 00111010201110 M 3 =????????? ???10 20 212022102120 M 4 =????????????221 323031403230 由M 2 ，M 3 ，，M 4 中的第1行第4列的元素可见，从u 1到u 4长度为2，3，4的通路分别有1 条，2条，3条。由M 2，M 3，，M 4 中的第4行第4列的元素可见，u 4上的长度为2,3,4的回路分别有1条，1条，2条，说明所找的上述通路和回路正确。 5. 设有向图D 具有顶点集合{u 1，u 2，…，u n }，M 是D 的邻接矩阵。证明对于i ≠j 和k=1,2,…， n-1，如果M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，则u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。证明：假设u i 和u j 属于D 的同一个强分图，则u i 和u j 互相可达。由定理9.2可知，从一顶点到另一顶点可达，则有基本通路，因此存在u i 到u j 的基本通路。已知有向图D 中有n 个顶点，根据定理9.4：n 个顶点的有向图中，任何基本通路的长度都不超过n-1。因此存在 u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路。然而，根据定理11.1和已知条件：M k （k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，说明从u i 到u j 不存在长度小于或等于n-1的通路。这与前面所述存在u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路矛盾，因此u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。 6. 试用图11.4的有向图的邻接矩阵求出可达性矩阵，并利用可达性矩阵求其强分图。解： M=????????????????0001010000000010100000010 M 2 =??? ? ???? ??? ?????010******* 00010 1000001000

离散数学第二讲

1.1.3 命题符号化 1.1.2介绍的5种常用的联结词也可称为真值联结词或逻辑联结词。在命题逻辑中，利用这些联结词可将各种各样的复合命题符号化，基本的步骤如下： 9找出各简单命题，将它们符号化； 9使用合适的联结词，将简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化形式。

例1.12将下列命题符号化：（1）小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。（2）小王现在在宿舍或在图书馆里。（3）选小王或小李中的一人做班长。解：根据以上步骤，上述命题可符号化为：（1）p ∨q，其中，p：小王是游泳冠军，q：小王是百米赛跑冠军。（2）p ∨q，其中，p：小王在宿舍，q：小王在图书馆。这里的“或”是排斥或，但因p与q不能同时发生，所以仍然符号化为p ∨q。（3）(p ∧?q) ∨(q ∧?p)，其中，p：选小王做班长，q：选小李做班长。这里的“或”是排斥或，因p与q可能同时发生，所以须符号化为(p ∧?q) ∨(q ∧?p)。

例1.13将下列命题符号化：（1）如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。（2）小王是电子工程学院的学生，他生于1983年或1984年，他是三好学生。解：上述命题可符号化为：（1）?r→(p→q)，其中，p：我上街，q：我去书店看看，r：我很累。（该命题也可符号化为(p∧?r)→q或p→(?r→q)）（2）p∧(q∨r)∧s，其中，p：小王是电子工程学院的学生，q：他生于1983年，r：他生于1984年，s：他是三好生。

1.1 命题符号化及联结词 5个联结词的优先级顺序为： ?、∧、∨、→、? 例我们写符号串： p ∨q ∧r→q∧?s ∨r 即为如下公式：(p ∨(q ∧r))→((q∧(?s)) ∨r)

离散数学N元集合关系个数计算

Author ：ssjs Mail ：看了离散数学中的关系整理了一点关于n 元集合中各种关系的计算，现写下这个方便大家学习交流理解。对文章所致一切后果不负任何责任，请谨慎使用。如有错误之处请指正。定义： 1，对称：对于a,b R a b ∈∈∈),b (),a (,A 有如果只要 2，反对称：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当 3，自反：如果对每个元素R ),(A a ∈∈a a 有 4，反自反：如果对于每个R ),(A a ?∈a a 有 5，传递：如果对R ),(,R ),(R ),(,A ,,∈∈∈∈c a c b b a c b a 则且 6，非对称：如果R ),(R ),(?∈a b b a 推出【注】其中是含（a,a)这样的有序对的。【重要】集合A 的关系是从A 到A 的关系（也就是说集合A 的关系是A A ?的子集）。如下结论： N 元集合上的自反关系数为：)1(2 -n n N 元集合上的对称关系数为：2/)1(2+n n N 元集合上的反对称关系数为：2/)1(n 3 2-n n N 元集合上的非对称关系数为：2/)1(3-n n N 元集合上的反自反关系数为：)1(n 2-n N 元集合上的自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n N 元集合上的不自反也不反自反关系数为：)1(n n 222 2-?-n 下面是上面结论的计算 1，自反 2A A ,A n n =?=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由自反定义可知，对R ),(A a ∈∈?a a 有所以n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中一定在所求关系中，否则的话此关系就不是自反的了，那么还有n n -2个有序对，所以由集合子集对应二进制串可得自反关系数为)1(n 222--=n n n 下图有助于理解。（1,1) (2,2).......(n,n) | (1,2) (1,3).........(n-1,n) N n n -2 个有序对

离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结

集合论部分第三章、集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念集合的定义与表示集合与元素集合没有精确的数学定义理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表示列元素法A={ a, b, c, d } 谓词表示法B={ x | P(x) } B 由使得P(x) 为真的x构成常用数集 N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是自然数. 元素与集合的关系：隶属关系属于∈，不属于? 实例 A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1} 1∈A, 2?A 注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)， x∈A和x?A 两者成立其一，且仅成立其一.

集合之间的关系包含（子集）A?B??x (x∈A→x∈B) 不包含A?B??x (x∈A∧x?B) 相等A = B?A?B∧B?A 不相等A≠B 真包含A?B?A?B∧A≠B 不真包含A?B 思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的子集 ??A??x (x∈?→x∈A) ?T 推论空集是惟一的. 证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性

在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E ) 幂集定义P(A) = { x | x?A } 实例 P(?) = {?}， P({?}) = {?,{?}} P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n 3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕ 并A?B = { x | x∈A∨x∈B } 交A?B = { x | x∈A∧x∈B } 相对补A-B = { x | x∈A∧x?B } 对称差A⊕B = (A-B)?(B-A) = (A?B)-(A?B) 绝对补~A = E-A 文氏图（John Venn）

离散数学第10章习题答案

第10章习题答案 1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈V v v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。 (2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得∑∈V v v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。 2.证明设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。由握手定理知 ∑=n k k v d 1 )(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。 3. 解由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=n i i d 1 ≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、 (3)、(5)能构成无向图的度数列。 (1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。 (5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、 3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。 4.证明因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。 5. 解具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。 6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。 (1)(3)(5) (6) (9)(10) (13) (14)

离散数学各章要点11

主要内容集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）；集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）. 2. 半群与独异点的两条幂运算规则：x n x m=x n+m , (x n)m= x nm 3. 半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）；独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭, 单位元属于A） 4. 通过笛卡儿积构造直积 5. 同态映射的判别：υ(xy)=υ(x)υ(y) （对于独异点要加上υ(e)=e） 6. 集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）. 7. 特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶. 8. 元素的幂与元素的阶 9. 群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质. 10 子群的定义 11 子群的三个判定定理及其应用 12 典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C, 若干个子群的交集 13 陪集的定义及实例. 14 陪集及其代表元素之间的关系. 15 陪集的四条性质. 16 有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及两个推论. 17 正规子群的定义及实例. 18 正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法. 19 商群的定义及其实例. 20 群同态映射的定义与典型同态映射的实例. 21 特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）.

22 同态核与同态像 23 同态映射的性质：同态映射保持元素及子群的对应性, 同态核的性质, 同态基本定理. 24 循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群） 25 无限循环群G=只有两个生成元a和a-1；n阶循环群有υ(n)个生成元. 26 无限循环群G=有无数个子群, 对于任何自然数m, 都是G的子群；n阶循环群恰有d个子群, 其中d是n的正因子个数. 27 n元置换的不同表法之间的转换, 置换乘法及求逆. 28 n元对称群及其子群--n元交错群学习要求 1. 判断给定集合和运算是否构成半群和独异点. 2. 了解半群及独异点中的幂运算规则. 3. 判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点. 4. 了解半群及独异点的直积概念. 5. 了解半群或独异点的同态映射的概念. 6. 能判断给定集合和运算是否构成群. 7. 了解有限群、无限群、平凡群、交换群、Abel群. 8. 会求有限群的阶、元素的幂、元素的阶. 9. 能求群方程的解. 10 能使用消去律及群的其他性质证明有关群的简单命题. 11 会证明群的子集是子群 12 了解几个典型子群的定义 13 在群G中会求已知子群H的右（或左）陪集. 14