专题15平面解析几何A辑(学生版)备战2021年高中数学联赛高中数学联赛一试试题分专题训练

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题15平面解析几何A辑

历年联赛真题汇编

1．【2007高中数学联赛(第01试)】设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )

A．B．

C．D．

2．【2005高中数学联赛(第01试)】方程2

sin√2?sin√3

2

cos√2?cos√3

=1表示的曲线是( ).

A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线

3．【2003高中数学联赛(第01试)】设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是( )

A．B．

C．D．

4．【2003高中数学联赛(第01试)】过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于( )

A．16

3B．8

3

C．16√3

3

D．8√3

5．【2002高中数学联赛(第01试)】实数x，y满足(x+5)2+(y－12)2=142，则x2+y2的最小值为( )

A．2B．1C．√3D．√2

6．【2002高中数学联赛(第01试)】直线x

4+y

3

=1与椭圆x2

16

+y2

9

=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△P A

B面积等于3，这样的点P共有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．【2000高中数学联赛(第01试)】已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

A．√3

3B．3√3

2

C．3√3D．6√3

8．【2000高中数学联赛(第01试)】平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5

3x+4

5

的距离中的最小值是(

)

A．√34

170B．√34

85

C．1

20

D．1

30

9．【1999高中数学联赛(第01试)】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么，满足不等式(|x |?1)2+(|y|?1)2<2的整点(x，y)的个数是( )

A．16B．17C．18D．25

10．【1997高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为( )

A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,5)D．(5,+∞)

11．【1996高中数学联赛(第01试)】把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段联结起来所得到的图形为( ).

A．线段B．不等边三角形C．等边三角形D．四边形

12．【1994高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，方程|x+y|

2a +|x?y|

2b

=1(a，b是不相等的两个正数)所代

表的曲线是( )

A．三角形B．正方形

C．非正方形的长方形D．非正方形的菱形

13．【1993高中数学联赛(第01试)】若M={(x,y)||tanπy|+sin2πx=0}，N={(x,y)||x2+y2|?2}，则M∩N的元素个数是( )

A．4B．5C．8D．9

14．【1993高中数学联赛(第01试)】若直线x=π

4

被曲线C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa )=0所截得的弦长为d，当a变化时，d的最小值是( )

A.π

4B.π

3

C.π

2

D.π

15．【1993高中数学联赛(第01试)】设m，n为非零实数，i为虚数单位，z∈C，则方程|z+ni|+|z?mi|=n ①

与|z+ni|?|z?m i|=?m②

在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )

A．B．

C．D．

16．【1992高中数学联赛(第01试)】对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2－(2n+1)x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( )

A．1991

1992B．1992

1993

C．1991

1993

D．1993

1992

17．【1992高中数学联赛(第01试)】已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )

A．(x+√1?y2)(y+√1?x2)=0

B．(x?√1?y2)(y?√1?x2)=0

C．(x+√1?y2)(y?√1?x2)=0

D．(x?√1?y2)(y+√1?x2)=0

18．【1991高中数学联赛(第01试)】方程|x?y2|=1?|x|的图像为( )

A．B．

C．D．

19．【1990高中数学联赛(第01试)】设双曲线的左右焦点是F1,F2，左右顶点是M，N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是( ).

A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或线段NF2内部

C．点M或点N D．不能确定的

20．【1990高中数学联赛(第01试)】已知椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)通过点(2，1)，则这些椭圆上满足|y|>1的点

的集合用阴影表示是下面图中的( )

A．B．

C．D．

21．【1988高中数学联赛(第01试)】已知原点在椭圆k2x2+y2?4kx+2ky+k2?1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )

A．|k|>1B．|k|≠1C．?1

22．【1988高中数学联赛(第01试)】平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x,y

)|√(x?1

2)

2

+(y+1

2

)

2

+√(x+1

2

)

2

+(y?1

2

)

2

<2√2}，P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则( )

A．M?P?N B．M?N?P C．P?N?M D．A，B，C都不成立.

23．【1988高中数学联赛(第01试)】在坐标平面上，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合，那么表达式(1)M∪N∪P=I；(2)M≠?；(3)N≠?；(4)P≠?中正确的个数是( )

A．1B．2C．3D．4

24．【1987高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系中，纵、横坐标均为有理数的点称为有理点.若a为无理数，则过点(a，0)的所有直线中( )

A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

B．恰有n(2≤n<+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点

C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点

D．每条直线至多通过一个有理点

25．【1985高中数学联赛(第01试)】PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任意一条弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l旋转一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面面积为S2，则下面的结论中，正确的是( ) A．S1>S2B．S1

26．【1985高中数学联赛(第01试)】在下列四个图形中，已知有一个是方程mx2+ny2=0与mx2+ny2=1(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )

A．B．

C．D．

27．【1984高中数学联赛(第01试)】对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ=1

1?C m n cosθ

表示的不同双曲线条

数是( )

A．15B．10C．7D．6

28．【1983高中数学联赛(第01试)】已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}.那么，使M∩N=N成立的充要条件是( )

A．a?11

4B．a=11

4

C．a?1D．0

29．【1982高中数学联赛(第01试)】极坐标方程ρ=1

1?cosθ+sinθ

所确定的曲线是( )

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

30．【1982高中数学联赛(第01试)】由方程|x?1|+|y?1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是( )

A．1B．2C．πD．4

31．【1981高中数学联赛(第01试)】下面四个图形中，哪一个面积大( ).

A．△ABC:∠A=60°,∠B=45°,AC=√2

B．梯形:两条对角线长度分别为√2和√3，夹角为75°

C．圆:半径为1

D．正方形:对角线的长度是2.5

32．【1981高中数学联赛(第01试)】在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2－x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1所确定的，t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f (t)，则f(t)为( ).

A．?t2+t+1

2B．?2t2+2t C．1?1

2

t2D．1

2

(t?2)2

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1．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点．那么，满足不等式(|x|?1)2+(|y|?1)2<2的整点(x,y)的个数是()．

A．16B．17C．18D．25

2．设椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，其焦距为2c.点N(3c

2

,√2c

2

)在椭圆的内部，点M

是椭圆C上的动点，且|MF1|+|MN|<2√3|F1F2|恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是()

A．(0,√3

3)B．(√3

3

,1)C．(4√3

21

,1)D．(4√3

21

,√3

3

)

3．已知F1、F2分别为双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若|PF1|2

|PF2|

的最小值

为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )。

A．(1, 3]B．(1,2]C．[2,3]D．[3,十∞)

4．已知F1、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=60°.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为().

A．√3

3B．√3

2

C．l D．√3

5．点P(0，2)关于直线x+2y?1=0的对称点坐标是

A．(-2，0)B．(-1，0)C．(0.-1)D．(?6

5,?2

5

).

6．已知一双曲线的两条渐近线方程为x?√3y=0和√3x+y=0，则它的离心率是()．A．√2B．√3C．2√2D．√3+1

7．设F1、F2分别是椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点，P为该椭圆上一点，满足∠F1PF2=90°.若ΔPF1F2的

面积为2，则b的值为().

A．1B．√2C．√3D．2

8．椭圆x2

4+y2

3

=1的左焦点为F，直线y=√3x与椭圆在第一象限的焦点为M，过M作椭圆的切线交x轴于点N.

则ΔMNF的面积是( ).

A．√3+√15

5B．√3+2√15

5

C．2√3+√15

5D．2√3+2√15

5

9．如图，已知椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0),直线l与椭圆切于点P，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B.

若|PA|=b，则|PB|为().

A．a B．√ab C．√a2?b2D．√a2+b2

10．顺次联结双曲线xy=20与圆x2+y2=41的交点得到一个凸四边形.则此四边形的面积为(). A．18B．20C．22D．30

11．已知双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1的右焦点为F，P是第一象限内C上的点，Q为双曲线左准线上的点.若OP垂直平分FQ，

则双曲线的离心率e的取值范围是().

A．(1,+∞)B．(√2,+∞)

C．(√3,+∞)D．(2,+∞)

12．抛物线y=?1

8

x2的准线与y轴交于点A.过A作直线交抛物线于点M、N，点B在抛物线对称轴上，且(BM+

MN

2

)⊥MN.则|OB|的取值范围是().

A．(3,+∞)B．(4,+∞)C．(5,+∞)D．(6,+∞)

13．已知F为椭圆x2

a2+y2

b2

=1的焦点，过焦点的直线与双曲线x2

a2

?y2

b2

=1的两条渐近线l1、l2分别交于点M、N，与

椭圆交于点A、B．若OM?MN=0，FA=1

3

AN，则椭圆的离心率是( ).

A．1

2B．5±√7

9

C．√5±√7

3

D．√5?√7

3

14．设有心圆锥曲线x2

m +y2

n

=1(m>|n|>0)上一点P与两个焦点F1、F2的连线互相垂直．则Rt△PF1F2的面积

是( )．

A．|n|B．m C．n2D．不确定

15．已知点P(1,2)既在椭圆x2

a2+y2

b2

=1内部(包括边界)，又在圆x2+y2=a2+2b2

3

外部(包括边界). 若a、b∈R+.

则a+b的最小值为( ).

A．√5+2B．√6+√3 C．2√5D．√3+√5

16．过椭圆C：x2

3+y2

2

=1上任一点P作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ

≥1).当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为( ).

A．(0,√3

3]B．(√3

3

,√3

2

]C．[√3

3

,1)D．(√3

2

,1)

17．如图，P为双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)右支上任意一点，过点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点

P1、P2，且点P内分线段P1P2，O为坐标原点，c为双曲线的半焦距.则ΔP1OP2面积的最小值是()

A．ab B．ac C．bc D．ab2

c

18．设动点M(x,y)到点F(4,0)的距离与到直线x=3的距离之比为2,则M(x,y)的轨迹方程为()

A．x2

12?y2

4

=1B．x2

4

?y2

12

=1

C．3x2?y2?16x+20=0.D．3y2?x2?16y+20=0.

19．已知两椭圆C1、C2，且C1在C2的内部，设内椭圆C1的方程为x2

m2+y2

n2

=1(m>n>0)，外椭圆C2的方程为x2

a2

+y2

b2

=

1(a>b>0)，过椭圆C1上的任一点M作C1的切线交椭圆C2于P、Q两点，过P、Q作椭圆C2的切线，则此两切线的交点R的轨迹方程为( )

A．x2

m2a2+y2

n2b2

=1B．

x2

a2

m2

+y2

b2

n2

=1

C．x2

m4

a2

+y2

n4

b2

=1D．x2

a4

m2

+y2

b4

n2

=1

20．若椭圆的焦距与长轴长的算术平均数等于长轴长与短轴长的几何平均数，则椭圆离心率的值应在区间( )中.

A．(0,1

2)B．(1

2

,2

3

)

C．(2

3,3

4

)D．(3

4

,1)