高中数学选修2-3导学案
§1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）并解决下列问题：
1：从高二（1）班的54名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，
互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多
少？
二、新课导学
学习探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法?
第一类方法用，有___ 种方法;
第二类方法用，有___ 种方法;
∴能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=______种不同的方法.
例1. 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体
如下：
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种? 变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有10
4
6=
+种.这种算法对吗？
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是.
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
小结：加法原理针对的是_____问题，其中的各种方法相互__________，用__________________都可以完成这件事.
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,
,
,
,
,
2
1
2
1
B
B
A
A???…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=__________种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两步以上的问题吗？
小结：乘法原理针对的是_______问题，其中的各步骤相互依存，只有_________________才算完成这件事.
1
例2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有种不同选法.
例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
※动手试试
练1. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
⑴从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种
不同的选法？
⑵从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的
活动，有多少种不同的选法?
三、总结提升
※学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是
什么？
2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？※知识拓展
集合A中有n个元素，则集合A的子集的个数有n2个.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有种不同的选法.
2.乘积()()n
n
b
b
b
a
a
a+???+
+
+???+
+
2
1
2
1
展开后，共有项.
3. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有种不同的选法.
4. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成个四位数号码.
课后作业
1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条
不同的路线？
2. 如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
2
3
§1.1. 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用. 学习过程 一、课前准备
（预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处）
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组. ⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：两个原理的应用
问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首
字符要求用字母A ～G 或U ～Z , 后两个要求用数字
1～9.问最多可以给多少个程序命名？
新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
试试：
积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？ 反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
典型例题
例17P 例6
变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或
两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问： ⑴ 一个字节
（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ ⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏. 例 2 计算机编
程人员在编好
程序以后需要
对程序进行测
试.程序员需要
知道到底有多
少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块
由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？
变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
动手试试
练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）
三、总结提升
学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法
2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完
整”.
※知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
学习评价
自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种
不同的选法.
2.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组
成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有个.
3.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成个不同的分数，可以构成个不同的真分数.
4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有个.
5.有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是.
6.
课后作业
1.设x,y*
∈N，4
x y
+≤，则在直角坐标系中满足条件的点()
M x,y共有个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.
3.有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游
览，不同选法种数是.
4.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为
偶数的不同取法共有种.
5.用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.
6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .
4
§1.2.1. 排列（1）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念；
2. 了解排列数公式的推导.
14
~ P18，找出疑惑之处）
1：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2 排列数的定义
从个元素中取出（n
m≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合表示.
试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题：
⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶从n个不同元素中取出m（n
m≤）个元素的排列数是多少？
新知3 排列数公式
从n个不同元素中取出m（n
m≤）个元素的排列数=
m
n
A
新知4 全排列
从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=
n
n
A
典型例题
例1计算：⑴4
10
A;⑵2
18
A; ⑶4
4
10
10
A
A÷.
变式：计算下列各式：
⑴2
15
A; ⑵6
6
A
⑶2
8
3
8
2A
A-; ⑷
6
6
8
8
A
A
.
例2若17161554
m
n
A=?????，则n=，
m=．
变式:乘积(55)(56)(68)(69)
n n n n
----用排列数符号表示．（,
n N
∈）
5
6
例3 求证： 1
1--=m n m n nA A
变式 求证： 7
766778878A A A A =+-
小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为m
n A =
※ 动手试试
练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
三、总结提升
※ 学习小结 1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式.
※ 知识拓展
有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D 为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A 中都对应不同元素，但在集合D 中相当于同一种坐法，所以集合D 中每个元素对应集合A 中9个元素，所以S （D ）=9！/9.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 计算：=+2
43545A A ; .
2.. 计算：=+++4
4342414A A A A ；
3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；
4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；
5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.
课后作业
1. 求证：1
1211--++=-n n n n n n A n A A
2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？
3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
7
§1.2.1. 排列（2）
学习目标
1熟练掌握排列数公式；
2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
学习过程 一、课前准备
（预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处） 复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同
复习2：排列数公式：
m
n
A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数，全部取出的排列数是 探究任务一：排列数公式应用的条件 问题1：
⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法 问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.
典型例题
例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？
变式：：某小组6个人排队照相留念．
(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？
(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.
例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？
变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，
⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数？
⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少
个？
动手试试
练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？
练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？
三、总结提升
学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同
元素中取出元素，然后排顺序.
知识拓展
有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人. 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的
质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有块.
2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的
投寄方法有种.
3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.
4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排
女生，共有种不同的方法.
5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排
一次考试，则不同的排法有种.
课后作业
1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以
多少种不同的方式排在一个单层的书架上？2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺
序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？
8
9
§1.2.2. 组合（1）
学习目标
1. 正确理解组合与组合数的概念；
2. 弄清组合与排列之间的关系；
3. 会做组合数的简单运算；.
学习过程 一、课前准备
（预习教材P 21~ P 23，找出疑惑之处）
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .
复习2：排列数的定义：
从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示
复习3：排列数公式：m
n A =
（,,m n N m n *∈≤）
二、新课导学
三、学习探究
探究任务一：组合的概念
问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.
反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合
需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？
探究任务二．组合数的概念：
从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式
m
n
C ＝ ＝
我们规定：=0
n C
※ 典型例题
例1 甲、乙、丙、丁4个人，
（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方
法？列出所有可能情况；
（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方
法？
变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.
小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.
例2 计算：（1）47C ； （2）7
10C
变式：求证：1
1+?-+=m n m
n C m
n m C
10
动手试试 练1.计算：
⑴ 26C ； ⑵ 3
8C ；
⑶ 2637C C -； ⑷ 253823C C -.
练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.
练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？
三、总结提升
学习小结
1. 正确理解组合和组合数的概念
2.组合数公式：
(1)(2)(1)!m m
n n m m A n n n n m C A m ---+==
或者：
)!
(!!
m n m n C m n -=
),,(n m N m n ≤∈*且
知识拓展
. 1772年，旺德蒙德以[n]p 表示由n 个不同的元素中每次取p 个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n 个不同元素中每次取出p 个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations ）一直 沿用至今.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =?，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有 个.
3. 计算：3
10C = .
4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .
5. 写出从a,b,c,d ,e 中每次取3个元素且包含字母
a ，不包含字母
b 的所有组合
课后作业
1.计算：
⑴ 215C ； ⑵ 283
6C C ÷；
2. 圆上有10个点：
⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？ ⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？
11
§1.2.2 组合（2）
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质；
2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；
学习过程 一、课前准备
（预习教材P 24~ P 25，找出疑惑之处）
复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中
取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：
m
n C
＝ ＝
二、新课导学
学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题1：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知1：组合数的性质1：m
n n
m n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下
n m -个元素．
因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元
素的组合数，即：m n n m n C C -=
试试：计算：18
20C
反思：⑴若y x =，一定有y n x
n C C =？
⑵若y n x
n C C =，一定有y x =吗？
问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？
新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1
-m n
C
※ 典型例题
例1（1）计算：6
9
584737C C C C +++；
变式1：计算2222
345100C C C C ++++
例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2
-n m C
变式2：证明：11
1m m m n n n C C C ++++=
小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.
12
例3解不等式()32
1010n n-C n -<∈+C N .
练3 ：解不等式：46n n
C C <
※ 动手试试
练1.若54221
6444
x x C -C C C -=+，求x 的值
练2. 解方程：
（1）3
213
113-+=x x C C
（2）3
33
22
210
1+-+-+=+x x x x x A C C
三、总结提升
学习小结
1. 组合数的性质1：m
n n m n C C -=
2. 组合数性质2：m n C 1+＝m n C +1
-m n
C 知识拓展
⑴ 计算 383321n
n
n n C C -++
⑵ 计算 012
1734520
C C C C ++++
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 9089
10099C -C ＝
2. 若23
1212n n-C C =，则n =
3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
4. 若778
1n n n C C C +=+，则n = ；
5. 化简：998
1m m m C -C C ++= .
课后作业
1. 计算：
⑴ 197200C ; ⑵ 2
1-+?n n n n C C
2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
3. 若128
n n C C =，求21n C 的值
13
§1.2.2 组合（3）
学习目标
1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
27~ P 28，找出疑惑之处）
复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中
取出m 个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示. ⑵ m n A ＝
m
n
C ＝ ＝ m n A 与m
n C 关系公式是
复习2：
组合数的性质1： ．
组合数的性质2： ． 二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：排列组合的应用
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他
们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，
比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上
场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？ 新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. ⑴ 有多少种不同的抽法？ ⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ ⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：
⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？ ⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？
⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？ ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：
⑴ 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；
⑵ 分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；
⑶ 平均分成三堆.
变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
例 3 现有五种不同颜色要对如
图中的四个部分进行着色，要求
有公共边的两块不能用一种颜
色，问共有几种不同的着色方
法？
变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?
※动手试试
练 1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？
练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, （1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种? （2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种? （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种? （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?
三、总结提升
※学习小结
1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 凸五边形对角线有条；
2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个；
3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是；
4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；
5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？
课后作业
1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？
2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
⑴如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选
法？
⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多
少种选法？
⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，
有多少种选法？
⑷如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种
选法？
14
15
§1.3.1 二项式定理（1）
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
学习过程 一、课前准备
（预习教材P 29~ P 31，找出疑惑之处）
复习1： 积()()n n b b b a a a +???+++???++2121
展开后，共有 项.
复习2：在n=1,2,3时，写出 n b a )(+的展开式.
1)(b a += ,
2)(b a += , 3)(b a += ， ①1)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ； ②2)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ， a 的次数规律是 ，b 的次数规律
是 .
③3)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，
a 的次数规律是 ，
b 的次数规律
是 .
复习3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有 不同的结果，其中取到4个红球有 种不同取法，取到3个红球1个黑球有 种不同取法，取到2个红球2个黑球有 种不同取法，取到4个黑球有 种不同取法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 二项式定理
问题1： 猜测 n
b a )(+展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知：
++???++=+--r
r n r n n n n n n b a C b a C a C b a 110)(
n n n b C +???（*
∈N n ）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做
n b a )(+的展开式，其中r
n
C （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.
试试：写出=+6)1(x ， ⑴ 展开式共有 项，
⑵ 展开式的通项公式是 ；
⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .
反思：n b a )(+的展开式中，二项式系数与项系数
相同吗？
※ 典型例题
例1 用二项式定理展开下列各式：
⑴ 4
)1(x -； ⑵ 6)12(x
x -
变式：写出 4
)11(x
+
的展开式.
例2 ⑴ 求6
)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵ 求9
1(x
x -展开式中3x 的系数.
变式：求9
)33(x
x + 展开式中的常数项和中间项.
16
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
※ 动手试试
练1. ⑴ 求()6
32b a +展开式中的第3项系数和二
项式系数.
练2. ⑴ 求9
212x x ?
?- ???的展开式中的常数项；
⑵ 若()12n
x +的展开式中第6项与第7项的系
数相等，求n 及()12n
x +展开式中含3
x 的
项．
三、总结提升
学习小结
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法. 知识拓展
问：7
)32(c b a ++的展开式中2
3
2
c b a 项的系数是多少？
自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ()11
2a b +的展开式中第3项的二项式系数为 第3项系数为 ；
2. 10)1(-x 展开式的第6项系数是（ ）
(A) 610C (B) 610C - (C) 510C (D)5
10C -
3. 在()6
12x -的展开式中，含3
x 项的系数
是 ；
4.
在5
的展开式中，其常数项
是 ；
5. ()12
x a +的展开式中倒数第4项是 .
课后作业
1. 求()
10
2332b a -展开式中第8项；
2.
求6
??
的展开式中的常数项.
3.求15
)21(x -展开式的前4项；
17
4.求8
1???? ?
?-x x 展开式中5x 的系数。
§1.3.2 杨辉三角与 二项式系数的性质
学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关
系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程
一、课前准备
（预习教材P 32~ P 35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式： ⑴ 公式中r
n C 叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在n
b a )(+展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a 的次数规律是 ， b 的次数规律是 ，各项系数分别是 . 复习2：求10
2????
??-x x 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
二、新课导学
学习探究 探究任务一：杨辉三角 问题1：在n
b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…
时，各项的二项式系数有何规律？
()1b a +
()2b a + ()3
b a +
()4
b a + ()5b a +
()6
b a +
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数()r
n C r f =，函数
的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是_________.
试试：
① 在(a ＋b)6
展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 ② 若()
n
b a +的展开式中，
第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：n b a )(+的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在n
b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到
=+???++???++n
n r n n n C C C C 10 即 =+???++???++n
n r n n n C C C C 21 典型例题
例1求()10
12x +的展开式中系数最大的项．
18
变式：在二项式(x-1)11
的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在n b a )(+展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2 证明：在n b a )(+展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式：⑴ 化简:11
11
511311111C C C C +???+++ ; ⑵ 求和：n
n
n n n n C C C C 2222210+???+++.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
动手试试
练1. ① 在(1+x)10
的展开式中，二项式系数最大的
是第 项为 ；（用符号表示即可） ② 在(1-x)11
的展开式中，二项式系数最大的是 第 项为 . （用符号表示即可）
练2. 若()7722107
21x a x a x a a x +???+++=-，
则=+???++721a a a ，=+++7531a a a a =+++6420a a a a .
三、总结提升
学习小结
1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认
为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，
他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.
在12
x ?
?
的展开式中，系数最大的项是
第 项；
2. 在()99
1x -的展开式中，二项式系数最大的是 第 项，项系数最小的项是第 项；
3. 计算1091829
10101033331C C C -+--+=
4. 若()9
2
9012912x a a x a x a x -=+++
+，则
129a a a ++
+＝ ；
5. 化简：=+???+++???++++++1
1
110110n n n n n
n
n n C C C C C C
课后作业
1. ⑴ 求12
33????
??-x x 展开式的中间一项； ⑵ 求()
15
x y y x -展开式的中间两项.
2. 已知()n
x +1的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
???
??各二项式系数的和增减性与最大值
对称性
19
§1.3.3 二项式定理（练习）
学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况.
3637
复习1：⑴ n
b a )(+＝ 展开式中r n C 叫做第 项的 系数，通项
公式是 ，展开式中共有 项. ⑵ 二项式系数的三个性质： 对称性是指 增减性：当r 满足 时，r
n C 是增函数； 最值：当n 是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n 是奇数
时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；
复习2：求91()x x -的展开式中3
x 的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一：整除性问题，余数问题
问题：2008
101除以100的余数是多少？
新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定
理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数. 试试： 2009
8除以7的余数是
反思：99
6除以7的余数是多少？
※ 典型例题
例1 用二项式定理证明：()11-+n
n 能被2
n 整除.
变式：证明10099能被1000整除.
例2 求()
()56
121-+x x 展开式中6x 系数.
变式：求()()453121x x +-展开式中按x 的升幂排
列的第3项.
小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算. 例3 ()
100
323+x 展开式是关于x 的多项式，问展开式中共有多少个有理项？
20
变式：
已知n 的展开式中，前三项系数
的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
※ 动手试试
练 1. ()()()()6
3
2
1111x x x x ++???++++++展
开式中2
x 的系数（05湖南）.
练2. 如果812221221=+???+++n
n n n n C C C ，则
n
n
n n C C C +???++21＝ .
三、总结提升
※ 学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
※ 知识拓展
求证： 1321232-?=+???+++n n
n n n n n nC C C C .
证明：0
110,,n n n n n n n n n C C C C C C =???==-
n
n n n n n nC C C C S +???+++=32132 ＝n
n
n n n nC C C C +???+++210210 ()()n
n
n n n n C C n C n nC S 021210+???+-+-+=∴ 两式相加得()
n n
n n n n n C C C n S 2210?=+???++=
12-?=n
n S
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ()n
x 21-展开式中各项系数的和是 ；
2. 今天是星期三，再过2009
8是星期 .
3. 10
211??
? ??-x 展开式的5
x 系数是 ；
4. 已知()()2
6
11-+ax x 展开式中3
x 系数是56，则实数a 的值为 ；
5. 求4
2)43(-+x x 的展开式中x 的系数.
1. 求)10211x x x -++展开式中的4
x 的系数.
2. 用二项式定理证明95555
+能被8整除.
高中数学选修2-3知识点汇编 (2)
高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x成立”，记作“x ?∈M，() p x”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x成立”，记作“x?∈M，() p x”． 10、全称命题p：x ?∈M，() p x，它的否定p ?：x?∈M，() p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 12 F F）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 原命题逆命题否命题逆否命题真真真真 真假假真 假真真真 假假假假
高中数学选修2-2导学案
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
高中数学程序框图,算法语言
基本算法语句 【基础知识】 1．输入、输出语句 输入语句INPUT 对应框图中表示输入的平行四边形框 输出语句PRINT 对应框图中表示输出的平行四边形框 2．赋值语句 格式为变量＝表达式，对应框图中表示赋值的矩形框 3．条件语句一般有两种：IF—THEN语句；IF—THEN—ELSE语句．语句格式及对应框图如下．(1)IF—THEN—ELSE格式 当计算机执行这种形式的条件语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体1，否则执行ELSE后的语句体2. (2)IF—THEN格式 4．算法中的循环结构是由循环语句来实现的．对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句． (1)WHILE语句 (2)UNTIL语句 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．巧是把题目中的算法语言依照上面的对应关系翻译成框图。 ．．．．．解决算法语言试题的基本技 ．．温馨提示： 【例题分析】
考点一 输入、输出和赋值语句的应用 例1 分别写出下列语句描述的算法的输出结果： (1) a ＝5 b ＝3 c ＝(a ＋b )/2 d ＝c*c PRINT “d ＝”；d (2) a ＝1 b ＝2 c ＝a ＋b b ＝a ＋c －b PRINT “a ＝，b ＝，c ＝”；a ，b ，c 【解答】 (1)∵a ＝5，b ＝3，c ＝a ＋b 2 ＝4， ∴d ＝c 2＝16，即输出d ＝16. (2)∵a ＝1，b ＝2，c ＝a ＋b ，∴c ＝3，又∵b ＝a ＋c －b ， 即b ＝1＋3－2＝2，∴a ＝1，b ＝2，c ＝3， 即输出a ＝1，b ＝2，c ＝3. 练习1 请写出下面运算输出的结果__________． a ＝10 b ＝20 c ＝30 a ＝ b b ＝c c ＝a PRINT “a ＝，b ＝，c ＝”；a ，b ，c 【解答】经过语句a ＝b ，b ＝c 后，b 的值赋给a ，c 的值赋给b ，即a ＝20，b ＝30，再经过语句c ＝a 后，a 的当前值20赋给c ，∴c ＝20.故输出结果a ＝20，b ＝30，c ＝20. 考点二 条件语句的应用 例2 阅读下面的程序，当分别输入x ＝2，x ＝1，x ＝0时，输出的y 值分别为________、________、________. INPUT “x ＝”；x IF x>1 THEN y ＝1/(x －1) ELSE IF x ＝1 THEN y ＝x^2 ELSE y ＝x^2＋1/(x －1) END IF END IF PRINT y END 【解答】计算机执行这种形式的条件语句时，是首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句；如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句，嵌套时注意内外分层，避免逻辑混乱．
高中数学选修2-3答案
选修2-3课本例题习题改编 1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第四题）改编1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁 也 不 能 相 邻 ， 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法 （ ）A ．336 B ．408 C ．240 D ．264 解：方法数为：选 改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同 时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ． B ． C ． D ． 解：若同学甲坐在四角的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在四边（不在角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在中间（不在四边、角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；故所求概率为答 案选 2.原题（选修2-3第二十七页习题 1.2A 组第九题）改编 1 在正方体 的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成 直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为_________． 解：如图，分别为相应棱上的中点，容 易证明正六边形，此时在正六边形上有条，直 线与直线垂直；与直线垂直的平面还有平面、平面、 平面、平面，共有直线条．正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线（每条棱上如直线其实 为一条），故对角线垂直的概率为 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A ） （B ） （C ） （D ） 解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意 625224 6252242336,A A A A A A -+=.A ????276119272 119136119138119 42112208194211220819119 ,2423138 ?+?+?=?.D 1111ABCD A B C D -1BD ,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 1BD ⊥EFGHIJ 2 615C =1BD 1BD ACB NPQ KLM 11A C B 2 3412C ?=1111ABCD A B C D -22 20312(1)166C C -?-=,,AE ED AD 1BD 151227 .166166 +=1752753754 75 ???? ?B C D E F 图4
高中数学选修2-2-2-3知识点
-可编辑- 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割 线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ', 即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 考点：导数的求导及运算 ★1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ， 4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19.3 16 .3 13.3 10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4 1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2 932 y x = +与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
高中数学导学案
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
高中数学选修2-3知识点总结
高中数学选修2-3知识点总结
第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的 方法，在第二类办法中有M 2种不同的方 法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的 方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要 分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的 方法，做第二步有M 2不同的方法，……， 做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件 事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元 素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个 元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+
7、二项式定理 ：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 9.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2n n C -，1 2n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L 第二章 随机变量及其分布 知识点： （3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着 试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、 Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 （4）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于随机变量X 可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量．
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案
9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况
作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n 高中数学选修2-3知识点汇总 目录 第一章计数原理 (2) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 (2) 二项式定理 (2) 第二章随机变量及其分布 (3) 第三章统计案例 (6) 高中数学选修2-3知识点总结 第一章计数原理 知识点： 分类加法计数原理 做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 二项式定理 ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内 高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8) 高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式 常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 高中数学必修二复习全册导学案 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)） 学案样板模式 1.页面设置：纸张B5长25.7，宽18.2 ，页边距上下均是 2.54 ， 左右均是3.17 2.设置页眉、页脚如下面例子，请根据内容写清楚归属第几册书 3.注意居中插入页码 第一章 集合与函数 新课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【课标要求】 【知识要点】 【情景设置】 【导学求思】 【范例剖析】 (小标题：五号宋体加粗) 【双基测评】 (标题下的内容：五号宋体) 【能力培养】 【课后作业】 习题课按下列格式规范: 1.2.1排列 (小四宋体加粗居中) 【复习目标】 【方法介绍】 (小标题：五号宋体加粗) 【典型例题】 (标题下的内容：五号宋体) 【巩固练习】 复习课按下列格式规范: 1.2.1排列(小四宋体加粗居中)【知识系统】 【经典例题】(小标题：五号宋体加粗) 【运用导练】 (标题下的内容：五号宋体) 【自我反思】 第一章集合与函数 1.1.1集合的含义与表示 【课标要求】 1.集合语言是现代数学的基本语言。高中数学课程将集合作为一种语言来学习。通过本模块的学习，使学生学会用最基本的集合语言表示有关对象，并能在自然语言、图型语言、集合语言之间进行转换。体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，发展运用集合语言进行交流的能力。 2.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 3.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 【知识要点】 元素：一般的，我们把____________统称为元素； 集合：把一些元素组成的___-叫做集合。 集合的性质：_______、________、_______ 元素与集合间的关系： 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：________； 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:__________ 4常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作____； 正整数集，记作_______； 整数集，记作________； 有理数集，记作________； 实数集，记作_________。 集合的表示法 列举法：把集合中的元素_________，并用花括号{ }括起来表示集合的方法。描述法：用集合所含元素的_________表示集合的方法。 【情景设置】 在小学和初中时，我们已经接触过一些集合，比如说，到定点的距离等于定长的点的集合，自然数的集合等，你还能说说我们还接触过哪些集合吗？那集合的含义是什么呢？请同学们自己阅读教材第二页的内容。 【导学求思】 1、你能从教材给出的8个例子中自己总结出集合和元素的概念吗？ 2、那我们来判断一下下列情况能不能构成集合 (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流； (3)非负奇数； (4)我校高一全体学生； (5)著名的数学家； 3、同学们，我们来思考一下，如果我想描述张三同学是不是我班的一员， 高中数学知识结构框图必修一：第一章集合 集合含义与表示 基本关系 基本运算 列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法 包含关系 相等关系 交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集 函数概念 定义域 对应关系 值域 表示 解析法 图象法 列表法 性质 单调性 定义 图象特征 最值 奇偶性 定义 图象特征:对称性 映射映射的概念上升或下降 第二章函数 第三章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指 数 与 指 数 函 数 指 数 根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂 运算性质 指 数 函 数 定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P91 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线 对 数 与 对 数 函 数 对 数 定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数 运算性质 对 数 函 数 定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P103 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂 函 数 定义：y xα = 具体的五 个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1）， 当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时， 在(0,) +∞上递减。 换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象：P109 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点 第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一 个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。 ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、公式： ， 11 --=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 8、二项式定理： ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 10、二项式系数C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角： () （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++= 1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345 Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．高中数学教材选修2-3知识点
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