初中数学证明线段相等的定理汇总

初中数学证明线段相等的定理汇总
初中数学证明线段相等的定理汇总

线段相等

1. 等边三角形:三边都相等

2. 等腰三角形:两腰相等

3. 三角形的中线,所分那边中点两边线段相等

4. 全等三角形的对应边相等

5. 轴对称图形对应边相等

6. 轴对称图形对应点所连线段被对称轴平分

7. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

8. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

9. 中心对称两图形中对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分

10.平行四边形的对边相等,对角线互相平分

11.矩形的对边相等、两条对角线相等

12.菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直且平分

线段相关

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

2.直角三角形300度角所对的直角边等于斜边的一半

3.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半

4.菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直且平分

距离最短

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短(垂线段最

短)

证平行

1.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

2.平行于同一条直线的两条直线平行

3.垂直于同一条直线的两条直线平行

4.同位角相等,两直线平行

5.内错角相等,两直线平行

6.同旁内角互补,两直线平行

有关三角形

1.三角形任意两边之和大于第三边

2.三角形任意两边之差小于第三边

3.三角形的内角和为180°

4.三角形的外角和等于360°

5.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

6.三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角

7.中线把三角形分成面积相等的两个三角形

证全等

1.边边边SSS;

2.边角边SAS;

3.角边角ASA;

4.角角边AAS;

5.两个图形关于某一条直线成轴对称,这两个图形全等;

6.斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL

判定

1.等边三角形判定:有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形

2.等腰三角形判定:一个三角形有两个角相等,这个三角形是等腰三角形

3.直角三角形判定:如果一个三角形的两个角互余,这个三角形是直角三角形

4.直角三角形判定:如果三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

5.平行四边形判定:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

6.平行四边形判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7.平行四边形判定:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

8.矩形判定:有三个角是直角的四边形是矩形

9.矩形判定:一个角是直角的平行四边形是矩形

10.矩形判定:对角线相等的平行四边形是矩形

11.菱形判定:四条边相等的四边形是菱形

12.菱形判定:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质

菱形具有平行四边形的一切性质

对称判定

1.矩形是中心对称图形,也是轴对称图形

2.菱形是中心对称图形(对称中心是其中心,即两对角线的交点),也是轴对称图形(两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线)

3.平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点

4.圆形是中心对称图形(对称中心是圆心),也是轴对称图形(过圆心的每一点都是它的对称轴)

勾股定理

比例相关

1.两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例

2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

3.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例

4.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比,都等于相似比

5.相似三角形周长的比等于相似比

6.相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似判定

1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似

2.两角对应相等的两个三角形相似

3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

4.三条边对应成比例的两个三角形相似

5.直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似

圆相关

1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等

2.圆上一条弧所对的圆周角的等于它所对的圆心角的一半

3.直径所对的圆周角是直角

4.90o的圆周角所对的弦是直径

5.同弧所对的圆周角相等

6.圆内接四边形的对角互补

7.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧

七年级数学-三角形-证明题

七年级数学-三角形-证明题 1 / 3 A B C D E F 12A E F ? 不需加辅助线的 ● 三角形与平行线相交线的套用 1.已知:四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC .垂足分别为A , C .求证:AD=BC ● 多次证明三角形全等得出角或边相等 2.(1)已知:如图,在AB 、AC 上各取一点,E 、D ,使AE=AD ,连结BD ,CE ,BD 与CE 交于O ,连结AO ,∠1=∠2, 求证:∠B=∠C (2)已知:如图,AB=DC ,AE=DF ,CE=FB ,求证:AF=DE 。 ● 可用多种方法证明 3.已知:如图,AD =AE,AB =AC,BD 、CE 相交于O. 求证:OD =OE . ● 通过全等三角形得出角相等利用等量代换或补角余角关系得出结论 4.已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于F ,且有BF=AC ,FD=CD ,求证:BE ⊥AC 。 ? 添加辅助线 ● 如果直接证明线段或角相等比较困难时,可以将线段、角扩大(或缩小)或将线段、角分解为几部分,再分别证明扩大(或缩小)的量相等;或证明被分成的几部分对应相等,这是证明线段、角相等的一个常用手段。 5.已知:如图,AB=DE ,BC=EF ,CD=FA ,∠A= ∠D 。求证:∠B= ∠E 。 ● 通过高构造全等三角形 6.(1)已知:如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,∠1=∠2,求证:AB=AC 。 (2)如图,△ABC 中,AD 是∠A 的平分线,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且∠EDF+∠BAF=180°。求证:DE=DF 。 A B C D F E

高中数学公式定理大集中

高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα 2cotα=1 sinα 2cscα=1 cosα 2secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα

sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα 2tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2)

初中数学《三角形内角和定理的证明》教案

初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明(一) 5.三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础:学生在以前的几何学习中,已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明,也熟悉三角形内角和定理的内容,而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的,因此,学生具有优良的基础。 活动经验基础:本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式,学生具有较熟悉的活动经验. 二、教学任务分析 上一节课的学习中,学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的,他们已经具有初步的几何意识,形成了一定的逻辑思维能力和推理能力,本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此,本节课的教学目标是: 知识与技能:(1)掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 (2)灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力:用多种方法证明三角形定理,培养一题多解的能 力。 情感与态度:对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用. 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节:情境引入探索新知反馈练习课堂小结

第一环节:情境引入 活动内容:(1)用折纸的方法验证三角形内角和定理.实验1:先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(图6-38(1))然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3)),最后得图(4)所示的结果 (1)(2)(3)(4) 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想,还有其它折法吗? (2)实验2:将纸片三角形三顶角剪下,随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想,如果只剪下一个角呢? 活动目的: 对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.教学效果: 说理过程是学生所熟悉的,因此,学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节:探索新知 活动内容: ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理. ② 看哪个同学想的方法最多? 方法一:过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B,EAC=C(两直线平行,内错角相等)

初中数学三角形证明题练习及答案

三角形证明题练习 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB与D,交BC于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是() A.13 B.10 C.12 D.5 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有() A.5个B.4个C.3个D.2个 3.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,则 S△ABD:S△ACD=() A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为() A.70°B.80°C.40°D.30° 5.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为() A.30°B.36°C.40°D.45° 6.如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于() A.145°B.110°C.70°D.35° 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是() A.2B.3C.4D.5 8.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是() A.2B.3C.6D.不能确定 9.在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()A.3.8cm B.7.6cm C.11.4cm D.11.2cm

高级中学数学公式定理一览表

高中所用重点公式汇总

公式口诀: 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。 复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。

指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。 函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,变成锐角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。 计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。

初中数学证明题定理

初中数学证明题定理 线 1.过两点有且只有一条直线(简:两点决定一条直线) 2.两点之间线段最短 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短(简:垂线段最短) 平行公理 1.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 2.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行(简:平行于同一直线的两直线平行) 三角形 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 2. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°. 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 全等三角形的性质、判定 1.边角边(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 2.角边角(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 3.角角边(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 4.边边边(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等. 5. 斜边、直角边(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定 1.性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.判定:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 2.等腰三角形顶角的平分线平分底边,并且垂直于底边 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 4.等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 5.等腰三角形判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)等边三角形 1.三个角都相等的三角形是等边三角形 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 线段垂直平分线 1.定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 2.逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 直角三角形 1.直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 多边形 1.四边形的外角和等于360°

初中数学公式、定理、推论大全精编

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360°

初中数学全等三角形的证明题含答案

1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=2 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 A D B C

证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角) ∴△EFD ≌△CGD EF = CG B A C D F 2 1 E

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此,得 sin sin a b A B = ,同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。由此,得 = ∠sin sin a b A ABC ,同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC =a, CA =b,AB =c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A

(完整版)初中数学专题命题、定理、证明含答案

5.3.2 命题、定理、证明 要点感知1 __________一件事情的语句叫做命题,命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面接的部分是__________,“那么”后面接的部分是__________. 预习练习1-1下列语句中,是命题的是( ) A.有公共顶点的两个角是对顶角 B.在直线AB上任取一点C C.用量角器量角的度数 D.直角都相等吗 1-2 将“两点之间,线段最短”写成“如果……那么……”的形式:______________________________. 要点感知2 题设成立,并且结论一定成立的命题叫做__________;题设成立,不能保证结论__________的命题叫做假命题. 预习练习2-1下列命题中的真命题是( ) A.锐角大于它的余角 B.锐角大于它的补角 C.钝角大于它的补角 D.锐角与钝角之和等于平角 要点感知 3 经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做__________.很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能做出判断,这个推理的过程叫做__________. 预习练习3-1如图,BD平分∠ABC,若∠BCD=70°,∠ABD=55°.求证:CD∥AB. 知识点1 命题的定义 1.下列语句中,是命题的是( ) ①若∠1=60°,∠2=60°,则∠1=∠2;②同位角相等吗?③画线段AB=CD;④如果a>b,b>c,那么a>c;⑤直角都相等. A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤ 知识点2 命题的结构 2.命题的题设是__________事项,结论是由__________事项推出的事项. 3.把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是____________________. 4.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并分别指出它们的题设和结论: (1)两点确定一条直线; (2)同角的补角相等; (3)两个锐角互余. 知识点3 命题的真假及证明

初中数学几何定理大全

初中数学公理和定理 一、公理(不需证明) 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相 等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) 5、三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理:两点之间,线段最短。 8、直线公理:过两点有且只有一条直线。 9、平行公理:过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行 10、垂直性质:经过直线外或直线上一点, 有且只有一条直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类: 一、直线与角 1、两点之间,线段最短。 2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定: (1)同位角相等,两直线平行;

(2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. (5)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行 10、平行线的性质: (1)两直线平行,同位角相等。 (2)两直线平行,内错角相等。 (3)两直线平行,同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、旋转) 11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 15、轴对称的性质: (1)如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. (2)对应线段相等、对应角相等。 16、平移:经过平移,图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离,平移后,新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变,即它们是全等图形。即对应线段平行且相等,对应角相等,对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称: (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2)对应点到旋转中心的距离相等; (3)对应线段相等、对应角相等

高中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容:在ABC ?中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,则.sin sin sin C c B b A a == 证明: 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD , 根据锐角三角函数的定义,有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此,得 sin sin a b A B = , 同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高, 交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义, 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。 由此,得 =∠sin sin a b A ABC ,同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . (3)在ABC Rt ?中,,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin , .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)(3)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°,∠C =∠B ′, ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a

初中数学几何定理汇总

几何是初中数学中重要的一部分内容,考试时一般会出现在大题里。学习几何,需要证明,这时定理就很重要! 点的定理: 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 角的定理: 1、同角或等角的补角相等 2、同角或等角的余角相等 直线定理: 1、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行 两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补 定理:三角形两边的和大于第三边

推论:三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 定理:全等三角形的对应边、对应角相等 边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 推论1: 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

最全的初中数学定理大全

★过两点有且只有一条直线 ●两点之间线段最短 ★同角或等角的补角相等 ●同角或等角的余角相等 ★过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ●直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 ★平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 ●如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 ★同位角相等,两直线平行 ●内错角相等,两直线平行 ★同旁内角互补,两直线平行 ●两直线平行,同位角相等 ★两直线平行,内错角相等 ●两直线平行,同旁内角互补 ★三角形三边关系定理三角形两边的和大于第三边 ●三角形三边关系推论三角形两边的差小于第三边 ★三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° ●三角形内角和定理推论1直角三角形的两个锐角互余 ★三角形内角和定理推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ●三角形内角和定理推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ★全等三角形的对应边、对应角相等 ●边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ★角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ●角边角公理推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

★边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 ●斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等 ★角平分线定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ●角平分线定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 ★角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 ●等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) ★等腰三角形的性质推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 ●等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ★等腰三角形的性质推论3等边三角形两边的各角都相等,并且每一个角都等于60° ●等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) ★等腰三角形的判定推论1三个角都相等的等边三角形 ●等腰三角形的判定推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ★在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ●直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ★垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ●垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 ★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ●轴对称定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形 ★轴对称定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ●轴对称定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 ★轴对称逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

初中数学三角形证明题练习及答案

三角形证明题练习 1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交AB 与D ,交BC 于E ,连接AE ,若CE=5,AC=12,则BE 的长是( ) 2.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) 3.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=8cm ,AC=6cm ,则 S △ABD :S △ACD =( ) 4.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=40°,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,连接BE ,则∠CBE 的度数 为( ) 5.如图,在△ABC 中,AB=AC ,且D 为BC 上一点,CD=AD ,AB=BD ,则∠B 的度数为( ) 6.如图,点O 在直线AB 上,射线OC 平分∠AOD ,若∠AOC=35°,则∠BOD 等于( ) 7.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BA 的垂直平分线交BC 边于D ,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是( ) 8.如图,已知BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3,△ABD 和△BCD 的周长的差是( ) 9.在Rt △ABC 中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD 平分∠CAB ,点D 到AB 的距离DE=3.8cm ,则BC 等于( ) A . 13 B . 10 C . 12 D . 5 A . 5个 B . 4个 C . 3个 D . 2个 A . 4:3 B . 3:4 C . 16:9 D . 9:16 A . 70° B . 80° C . 40° D . 30° A . 30° B . 36° C . 40° D . 45° A . 145° B . 110° C . 70° D . 35° A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 A . 2 B . 3 C . 6 D . 不能确定

[整理]年高中数学定理汇总

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126圆的外切四边形的两组对边的和相等 127弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 130推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 131切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 132推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 134①两圆外离d﹥r+r ②两圆外切d=r+r ③两圆相交r-r﹤d﹤r+r(r﹥r) ④两圆内切d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r) 135定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 137定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 138正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 139定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 141正三角形面积√3a²/4( a表示边长) 142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 143弧长计算公式:l=nπr/180 144扇形面积公式:s扇形=nπr2/360=lr/2 145内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 146等腰三角形的两个底角相等 147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 148如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 149三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形 编辑本段数学归纳法 (—)第一数学归纳法: 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤: (1)证明当n取第一个值时命题成立 (2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。 (二)第二数学归纳法: 第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题,如果:

初中三年的数学定理!提分必备,快收藏

初中三年的数学定理!提分必备,快收藏 中学数学必备定理 一点、线、角 点的定理:过两点有且只有一条直线 点的定理:两点之间线段最短 角的定理:同角或等角的补角相等 角的定理:同角或等角的余角相等 直线定理:过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 二几何平行 平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行 两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补 三三角形内角定理 定理:三角形两边的和大于第三边 推论:三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180° 四全等三角形判定 定理:全等三角形的对应边、对应角相等 边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等五角的平分线 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 六等腰三角形性质 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 七对称定理 定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形 定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 八直角三角形定理 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 (1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此,得 sin sin a b A B = ,同理可得 sin sin c b C B = , 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。由此,得 = ∠sin sin a b A ABC ,同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知,在?ABC 中, sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC =a, CA =b,AB =c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明。对于证明题,有三种思考方式: (1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。 例如: 可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目,可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。正逆结合,战无不胜。 证明题要用到哪些原理?

要掌握初中数学几何证明题技巧,熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下,多做练习,熟能生巧,遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。 12.两圆的内(外)公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

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