甘肃省武威六中高中数学论文《从一道求函数值域的题说开》理
从一道求函数值域的题说开
在研究函数值域时经常会碰到这样一类函数值域的求法： 例：求函数y=
3
4252
+-x x 的值域.
解：此函数的定义域R x ∈. 视函数式为关于x 的方程，变形得
053422
=-+-y yx yx
①
显然0≠y （∵若不然，0=y ，则方程① 为：05=-不成立.∴0≠y ） ∵R y ∈,∴方程①有实根的充要条件是
???≥-??--=?≠0
)53(24)4(0
2
y y y y 50≤
上述解法通常称为判别式法，但我不赞成这中说法，原因这不是实质，其实质是方程法.
在众多的书刊与教学中，人们只孤立介绍“反函数法”、“分离中间变量法”、“利用函数有界性法”、“判别式法”等特殊方法来求函数的值域，而对这些方法的共性与实质联系却很少予以问津.事实上，上述方法都是运用了方程思想，把函数式y=f(x)看作关于x 的方程（y 为参数），在此基础上依据各自的原理进行探求.其中“判别式法”不需要通过解方程，只要直接利用关于x 的一元二次方程有实根的条件，求出使该方程有实数解的y 的取值范围，就能确定相应函数的值域.因而此法较之其他各法更能受到师生的“青睐”.但善于思索的学生难免会问：（ⅰ）为什么“判别式法”所涉及的两种不同定义的集合，即“使关于x 的方程有实根的y 的取值集合”与所给函数的值域恰好相同？（ⅱ）既然其他各法也都是方程的观点审视函数为出发点，那么有关函数的值域是否也可直接利用方程有
解的条件来加以确定，从而简化其求解步骤呢？下面，我就一般情形来解释上述问题之（ⅰ），随之问题（ⅱ）也获得解释.
所谓方程法：即把函数解析式y=f(x)(将y 视为常数)视为关于x 的方程，求出方程在定义域x ∈A 上有解的充要条件，即得值域y ∈C.
其理论依据如下：
定理：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为B ，又设“使关于x 的方程y=f(x)在A 中有解的y 的取值集合”为B °,则B °=B 成立.
（ⅰ）设y 0是B °中的任意一值，则有集合B °的定义可知，关于x 的方程y 0= f(x)在A 中定有实数解x 0,这样，对于x 0∈A ，就有f(x 0)= y 0成立，说明y 0是函数y=f(x)的一个函数值，即y 0∈B ，故B °? B.
（ⅱ）又设y 1是B 中任意一值，根据函数是“从定义域A 到值域B 上的映射”， y 1在A 中必有原象，因而当y=y 1时“关于x 的方程” y=f(x)在A 中有解，这说明y 1∈B °，故B ? B °.
由（ⅰ）（ⅱ）即证B °=B.
据此，我们既可以解释用“判别式法”求有关函数值域的理由，又可以顺势将“判别式法”推广为“利用方程有解条件”去求原来只适用于其他方法的一些函数的值域.这样求解的本质特征是,把求函数值域的问题转化为求使“关于x 的方程”在函数定义域内有解的y 的取值集合问题，由于此法强化了方程思想的运用，因此就不妨称之为“方程法”.利用上面定理一方面可将函数值域转化为方程有解问题，另一方面将方程有解的问题转化为值域问题下面再举几例. 1.将函数值域转化为方程有解问题
例1. 函数)11,0(1≤≤-≠+=x a ax y 的值域. 解：由1+=ax y 得关于x 的方程，
)0(1≠-=
a a
y x
此方程在原函数定义域[]1,1-有解的充要条件是：
a y a
y a
y ≤-?≤-?
≤-≤
-111111
a y a a y a +≤≤-?≤-≤-?111
故函数的值域为[]a a y +-∈1,1. 例2. 求函数x y -=1的值域.
解：由x y -=1得关于x 的方程，y x -=1 ∵0≥x ∴要使方程y x -=1有解 则,01≥-y 解得1≤y 故函数的值域为(]1,∞-∈y .
例3. 求函数x
x x x
e
e e e y --+-=的值域.
解：由x
x
x x e
e e e y --+-=
得1
122=-=
x
x e e y （显然，.1≠y 否则会导致11=-的矛盾）
变形得关于x 的方程，y
y e
x
-+=
112此方程在原函数定义域R 上有解的充要条件是
11.011<<->-+y y
y 即.
故所求函数的值域为()1,1-. 例4 .求函数y=3
sin 2cos ++θθ的值域.
解 ：由y=3
sin 2cos ++θθ可得， 2cos 3sin +=+θθy y ，
即
y y 32)sin(12
-=++?θ )1tan (y
=??为辅助角，，这个关于θ的三角方程有解的条件是：
11
322
≤+-y y .解得
4
3
34
3
3+≤
≤-y .故原函数的值域为??
?+-
?
?
?
433,433.
2. 将方程有解的问题转化为值域问题
例5 . 已知关于x 的方程2x 2+a ·2x +a+1=0有实根.求实数a 的取值范围.
分析 本题可以直接从方程的角度着手.但若将方程变形为a=-1
21
2
2++x
x ，即将a 视为x 的函数，将原问题
转化为求此函数的值域，不失为一种很好的方法. 令2x
+1=t ， 则t>1，于是.222222
22
-≤??
?
??+-=+--=t t t
t t a
此即为所求的a 的取值范围. 例6. 求使方程)2(log 11log 22
m x x
x +=-+有实数解的实数m 的取值范围.
解 原方程等价于?????<<-+=-+1
1211x m
x x x
①
原问题等价于方程①在（-1，1）内有解的实数m 的取值范围，即等价于函数)1,1(,211-∈--+=x x x
x m 的值
域.
令1-x=t, 则t ∈(0,2).
13222
322)1(22=-?≥-??
?
??+=---=
t t
t t t t
t m .
故m 的取值范围为[)+∞,1. 3.注意的问题
运用方程法求函数的值域切不能机械地搬用，要切实注意解题的严谨性，若考虑不周，结果往往发生“伪值”、“漏判”或回避矛盾的错误，使结论不准确、不可靠.那么，怎样才能准确、合理地使用“方程法”求函数的值域呢？应该要注意些什么呢？我认为要注意两个方面：
1．函数定义域是求函数值域的大前提，定义域发生变化，值域有变化可能.
2．在解题过程中，每步变形或推理都要注意等价性或充要性.这是利用方程法正确地求函数值域的关键.
下面略举几例用“方程法”求值域的例题，与大家共同探讨. 例7.求函数y=
6
122
++-+x x x x 的值域.
错解： y=
6
12
2++-+x x x x , ∴yx 2+yx+6y=x 2+x-1，
∴(y-1)x 2+(y-1)x+6y+1=0 ，①
因为方程①是关于x 的二次方程，它有实根的充要条件是
?=(y-1)2
-4(y-1)(6y+1)≥0，
即(y-1)(23y+5) ≤0, 解得，123
5≤≤-y 。
∴原函数的值域为{y| 123
5≤≤-
y }.
剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的二次方程了，就不能再用判别式了. 正解： y=
6
122
++-+x x x x ,
∴(y-1)x 2+(y-1)x+6y+1=0 ，①
当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立， 故y ≠1；
当y-1≠0，即y ≠1时，?=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0， 即(y-1)(23y+5) ≤0，解得，1235≤≤-y 综上，得原函数的值域为{y| 123
5<≤-
y }.
例8．求函数3
22122
+-+-=x x x x y 的值域.
错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+---y x y x y ，① ∵R x ∈，
∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得
2
110
3≤
≤y .
故所求函数的值域是??
????21103
，. 剖析：把2
1=
y 代入方程①显然无解，因此2
1=
y 不在函数的值域内.事实上，2
1=
y 时，方程①的二次项
系数为0，显然不能用“?”来判定其根的存在情况. 正解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y ，① （1）当21=y 时，方程①无解； （2）当2
1≠
y 时，∵R x ∈，
∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得
2
110
3<
≤y .
综合（1）、（2）知此函数的值域为
???
??
?21103，. 例9. 求函数y=
1
22
2
--+x x x 的值域.
错解： y=
1
22
2
--+x x x (x ≠±1)，① ∴yx 2-y=x 2+x-2，∴(y-1)x 2-x-y+2=0，②
当y-1=0，即y=1时，由②得x=1（舍去），∴y ≠1；
当y-1≠0，即y ≠1时，?=1-4(y-1)(-y+2)≥0，即(2y-3)2
≥0.∴y ∈R.
综上可得，原函数的值域为{y| y ≠1且y ∈R}. 剖析：事实上，当y=
2
3，即
1
22
2
--+x x x =
2
3时，解得x=1，而当x=1时，原函数没有意义，故y ≠
2
3.产
生错误的原因在于，当x=1时，(y-1)x 2
-x-y+2的值等于零，所以x=1是方程②的根，但这个根不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数y=1
222
--+x x x 不能转化为二次方程，用二次方程的理
论行不通.
正解：原函数可化为y=
)
1)(1()1)(2(+--+x x x x =
)
1()2(++x x （x ≠1且x ≠－1），即y=1+
1
1+x （x ≠1且x ≠－1），
1
1+x ≠0，∴y ≠1，又 x ≠1，∴y ≠
2
3.
∴原函数的值域为{y| y ≠1且y ≠
2
3}.
例10. 求函数6
342
2
-+++=
x x x x y 的值域.
错解：将函数式化为0)36()4()1(2
=+--+-y x y x y ， （1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，
∴3-=x ，故1=y 属于值域；
（2）当1≠y 时， 0)25(2≥-=?y ， 综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈.
剖析：解中函数式化为方程时，产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在原函数的定义域内，但却是转化的方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值.
正解：2
1)
3)(2()3)(1(6
3422
-+=
+-++=
-+++=
x x x x x x x x x x y （x ≠2且x ≠－3），即y ＝1＋2
3-x （x ≠2且x ≠－
3）.
2
3
-x ≠0，∴y ≠1，又 x ≠－3，∴y ≠
5
2.
所以正确答案为1|{≠y y ，且}5
2≠
y .
综上所述，在用方程法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定
义域或值域.因此，用方程法求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，只有知道这种方法的适用范围，以及应该注意哪些常见错误、有哪些局限性，才能避免盲目套用，也会在出现错误时及时加以纠正，只有这样，才算是真正掌握这种方法.其次，对于有些可用方程法求值域的函数，如果采取其他方法可能更加灵活、巧妙、简捷.用换元法还要注意定义域的变化.总之解数学问题，思维方法要采用辩证法，具体问题要具体对待.
高中数学教育教学论文范文2篇
高中数学教育教学论文范文2篇 高中数学教育教学论文范文一：高中数学教育与学生人文素养的培养 一、引言 数学是高中教育的重要内容，不仅是对学生逻辑、空间等思维的训练，而且使学生在以后的学习和工作中更具有条理和规律，但是很多学校在开展数学教学的过程中往往忽略了人文素养的培养，认为这是文科的主要任务，在高中数学中怎能体现出人文精神呢? 二、存在的问题 (一)高考的压力是数学教育改革的桎梏 在国内，我们存在着高考制度，我们需要通过高考取得更好教育资源的资格，因此，在高中阶段，尤其是高三的时候，很多学生的学习压力都很大，主要原因就是要应付高考.高中的数学是高考的重要组成部分，因此，数学教育很多时候都是被高考牵着鼻子走，很多地方都是针对高考中数学试题的特点和问题，有针对性地进行教学，对于高考不考查的内容基本上没有涉及，因此对于人文素养方面存在严重的缺失.对于学生和家长而言，考上一个名牌大学就意味着自己向着社会的上层迈进了一大步，很多同龄人就被自己甩在身后了，因此高考对于学生的影响有着十分特殊的意义.
(二)一些教师在人文教育方面教学方法和手段不多 新出版的高中数学标准提出了更加全面的教学内容，其中人文教育也成为了现在高中数学的一部分，很多教师在教学过程中需要不断进行知识和能力的提升，才能有效适应这种变化，因为需要讲授的知识更多了，涉及面也更广了，然而现在的高中数学教师对于人文精神这种文科内容涉及的都不是很多，在教学过程中需要不断拓展这个方面知识结构，同时在这个方面的教学手段和方法也需要不断加大观摩和学习的时间，增强自己在这个方面的认识.只有教师在数学与人文教育结合方面的知识能力有所提高，在教学过程中的手段和方法不断提升，数学与人文素养的结合才能更加紧密. (三)高中数学教材中的人文知识还是偏少 将人教版高中数学教材通读一遍之后，发现教材中关于数学历史、人物等方面的知识还是偏少，2001年出版的高中数学教材第一册只有两个内容.而且很多教师和学生反映教材中的人文知识可能过于专业化，教师讲起来没有十分枯燥，学生听起来没有什么趣味性，在教学过程中需要不断贯穿十分专业的知识，一方面是教材中缺少相应的人文知识点，另一方面教师在讲授的过程中也不是很重视，造成了现在这种数学人文知识的缺乏. 三、建议 (一)教师人文知识的提升 教师的水平高低是现在教学效果是否良好的主要因素，有了一桶水，才能讲出一碗水的东西，要想加强高中数学教学中的人文教育，需要教师不断提高自己的人文素养，有效拓展自己的人
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
高中数学教学论文
高中数学教学论文：高中学生数学思维障碍的成因及突破 论文摘要：如何减轻学生学习数学的负担？如何提高我们高中数学教学的实效性？本文通过对高中学生数学思维障碍的成因及突破方法的分析，以起到抛砖引玉的作用。 关键词：数学思维、数学思维障碍 思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。 然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很"明白"，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋："唉，我怎么会想不到这样做呢？"事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。 一、高中学生数学思维障碍的形成原因
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对"从外到内"的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的"媒介点"，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的"媒介点"时，这些新知识就会被排斥或经"校正"后吸收。 因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利"交接"，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。 二、高中数学思维障碍的具体表现 由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为： 1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 )sin(?ω+=x A y 型函数的教与学 宕昌一中 李甲银 三角函数是一类周期函数，我们在教学中一定要考虑它 这 一特点对它进行研究，如对)sin(?ω+=x A y 型函数单调性的讨论： 例.函数)4 π3sin(+-=x y ，R x ∈在什么区间上是减函数？ 误解：设43π +-=x z 则z y sin =因为函数z y sin =在区间 ?? ????++23222ππππk ，k 上是减函数，所以当2324x 322πππππ+≤+-≤+k k ，即)(123212532Z k k x k ∈--≤≤--ππππ时函数，)43s in(π+-=x y 是减函数。 ∴函数R x x y ∈+-=),43sin(π在区间)(12232,12532z k k k ∈?? ????----πππ上是减函数。 整个求解过程看起来似乎完美无缺，无懈可击，但实际上是一种误解，问题出现在哪儿呢？下面我们先给出两种正确的解法，然后再回过头来剖析以上解答中的错误。 解法1：由)43sin(π+-=x y 得)43sin(π--=x y ，设4 3π-=x z ，则z y sin -=，因为函数z y sin -=在区间)(22,22z k k k ∈????? ?+-ππππ上是减 函数，所以当224322π ππ π π+≤-≤-k x k ，即 )(4 321232z k k x k ∈+≤≤-ππππ时函数)43s i n (π--=x y ，即R x x y ∈+-=)43s i n (π 是减函数。 所以，函数R x x y ∈+-=)43sin(π在区间)(432,123 2z k k k ∈??????+-ππππ上是减函数。 解法2：设43π+-=Z x 则z y sin -=，R k ∈，因为函数43π+-=Z x , R k ∈是减函数, 则函数z y sin -=是增函数，此时，224322π ππ π π+≤-≤-k x k ，即)2(431232ππ ππ π πk k x k ≤+-≤≤--，所以函数)43sin(πγ+-=x ，R k ∈在区间)(432,123 2z k k k ∈??????+--ππππ上是减函数。 说明：因为z ∈ω所以解法1和解法2的结论的解集实质上是一样的。 解法1是从函数)sin(?ωγ+A =x 的图象变换出发， 利用诱导公式，首先将χ的系数变为为“正”值，进而展开求解，获得正确的答案。 解法2是从复合函数的观点出发，依据复合函数的增减性的讨论思想，即“求）x f )((ωγ=的增（或减）区间，在())()(x u u f ?-为函数时转化为求）x f )((?的定义或与)(x ?的增（或减）区间的交集，在)(a f 为减函数时，转化为）x f )((?的定义域与)(x φ的减（或增）区间的交集”利用分析法的解题思路，将问题转化为寻求使命题成立的充分条件，以逆向思维取 高中数学立体几何学习的几点建议 一逐渐提高逻辑论证能力 立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确 无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充 分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出 二立足课本，夯实基础 直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线 与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处： （1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 （2）培养空间想象力。 （3）得出一些解题方面的启示。 在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。 三“转化”思想的应用 我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如： 1. 两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影 所成的角。 2. 异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数 摘要 三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。 关键词：数学三角函数定义运用 1 引言 三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上，也编制了所谓“弦表”，他藉助于几何知识，编制了弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。８－１２世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯﹐在这些国家里，不但提出“正弦”一词﹐还以几何方法定义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义﹐并编制了各种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献；阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作《论四边形》里，首先把三角学从天文学中分割出来，看作为一门独立的学科。 2三角函数定义 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 分段函数的几个问题 分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下： 1、 分段函数的含义 所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识： （1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 2、 求分段函数的函数值 例1 已知函数1 32(0)()1)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤?>? ? ,求{[()]}f f f a (a <0)的值。、 分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。 解 ∵a <0, ∴()2a f a =, ∵0<2a <1, ∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1, ∴{[()]}f f f a =f =1 3 lo g =－ 2 1, 3、 求分段函数的解析式 4、 例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。 解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0. 又当x ＜0时，－x >0, 故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。 博文论文为您专业服务—— 高中数学论文 【摘要】数系在高中数学的教学中主要是讲解复数的引入。在这一部分教学中，引导学生充分思考，自由发挥，增加对超越数论知识的接触，了解数论发展的历史，从而激发学生对数论知识的求知欲和探索欲。 【关键词】数系；数论；学习兴趣 从数系学习引发学生对数论的兴趣 引言 数论在数学史上产生较晚，在十五世纪末十六世纪初才渐有雏形，但到十九世纪，已经发展成为一个有着强大理论体系的数学分支学科。而对于高中生的学习来说，素数的学习将知识面由有原先接触到的初等数论扩大到了高等数论的范畴中。如何引领学生充分理解课本知识，鼓励有志于此的学生对数论难题发起挑战，也是我们高中数学教学的一个艰巨任务。 一数论前沿理论与高中数学课程 数论，顾名思义，是研究数字特性的一个数学分支学科。数论产生的早期主要是由欧几里得关于素数无穷多个的证明，欧几里得发现的求最大公约数的辗转相除法以及中国南北朝时期发现的的孙子定理。之后，由于生产生活水平的限制，人们并不需要更多地理论去支持生产，于是数论理论一度停滞不前，直到由费马，梅森，欧拉，高斯等人的发展，他们研究数论的主要目标是素数，主线思想是寻找素数的通项公式。数学家发现初等数论无法解决这一问题，于是数论发展成了更多分支。 高中数学的数系学习中引入了复数的概念，这是在学生已有的数系知识中添加的全新内容。在学习复数之前，学生对数的认识仅限于实数范围。学生对于数 的认识还表现在日常所能接触的范围内，尽管诸如 、2、e等一系列无理数 的存在对于学生的理解有一定的难度，但它们都可以结合现实生活中的实例来分析理解。 哥德巴赫猜想作为数论伟大猜想，曾在我国引起很大关注。我国著名数学家陈景润在1966年发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= JIETI JIQIAO YU FANGFA 解题技巧与方法103 数学学习与研究2019.10高中数学三角函数解题方法研究 ◎张梓萌（齐齐哈尔市实验中学高一14班，黑龙江齐齐哈尔161000） 【摘要】三角函数是函数的基础和核心，在笔者学习的过程中只有掌握了三角函数解题方法才能提升笔者的数学能力．但是， 相对其他知识点而言，三角函数具有抽象性，这在一定程度上加大了笔者学习三角函数的难度，如果无法深入理解三角函数就会出现解题错误，公式使用不合理等问题．在高中三角函数学习中，我们必须掌握解题思路和技巧，提升自己自主解题能力． 【关键词】高中数学；三角函数；解题方法 三角函数是高中数学学习中不可或缺的内容，也是高考的难点，涉及多种题型，而且题型比较灵活，我们很容易在解题过程中出现错误．在新课标下，我们要不断提升自身三角函数解题能力，增强对三角函数的理解，掌握三角函数解题方法．一、增强对三角函数概念理解我们要想掌握三角函数解题方法就必须深入理解三角函数概念，我们需要定期对所学知识进行反思和总结．我们要养成在课堂上记笔记的习惯，把教师讲解的重点分类记录，并不断翻阅笔记，增强对三角函数知识的理解和记忆．除此之外，我们要想掌握三角函数解题方法就必须不断练习，通过做大量的题型来掌握解题方法，培养自己的思维能力．高中三角函数公式比较多，而且公式都是可以变换的，这就要求我们不仅要掌握三角函数的概念，还需要牢记公式，熟练运用公式，保证三角函数公式运用的合理性．我们在遇到不懂的问题时必须第一时间提出，寻求教师的帮助，得到问题的答案，否则问题就会越积越多．在看到一道题时，我们必须认真对待，仔细阅读题目，题目的阅读次数不能少于三次，这样才能明确题目的要求，达到最佳解题效果．我们在学习三角函数知识点和公式时，要采取递进的方法，降低三角函数的学习难度，减轻自身的学习压力．这样我们才能在解题多种思路中得出心得体会，融会贯通，通过一道题的解答引申出多种方法，然后得出结论．案例设z 1=m +（2－m 2）i ，z 2=cos θ+（λ+sin θ）i ，其中m ，λ，θ∈Ｒ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围．解法一?z 1=2z 2，?m +（2－m 2）i =2cos θ+（2λ+2sin θ）i ， ?λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1 =2sin θ－1()42－98 ．当sin θ=14时λ取得最小值为－98 ，当sin θ=－1时，λ取得最大值为2． 解法二?z 1=2z 2，?m =2cos θ，2－m 2=2λ+2sin θ{，?cos θ=m 2，sin θ=2－m 2－2λ2 {，?m 24+（2－m 2－2λ）2 4 =1，?m 4－（3－4λ）m 2+4λ2－8λ=0，设t =m 2，则0≤t ≤4，令f （t ）=t 2－（3－4λ）t +4λ2－8λ， 则Δ≥0， 0≤3－4λ2 ≤4，f （0）≥0， f （4）≥0{ ，或f （0）·f （4）≤0，?－98≤λ≤0或0≤λ≤2，?λ的取值范围是－98，[]2．对解法一，笔者主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题．二、分析三角函数解题思路我们不会解答三角函数题目，就是因为我们在看到题目时没有解题思路，不知道从哪下手好，这样不仅浪费时间，还得不到正确的答案．解题思路在解题过程中是非常重要的，解题思路就是解题的入口，我们只有掌握解题思路才能根据解题思路来搜寻所学过的知识点，把知识点运用到题目中．三角函数包含多个概念，比较复杂，我们需要掌握以下知识点：一是正弦，二是余弦，三是正切，四是反正弦，五是反正切，我们在以上知识基础之上还需要推理，并通过不断做练习来巩固这些知识点，进而提高自己三角函数解题能力．我们在解答三角函数习题的时候必须谨慎对待，不能乱用公式，更不能马虎，这样才能保证解题方法选择的合理性，形成严谨的思维．实际上，我们在解答三角函数习题的过程就是培养自己思维能力的过程，数学本身就是一门理论性和逻辑性特别强的课程，我们在掌握基础知识的前提下反复解答习题可以帮助我们养成良好的解题习惯，提高我们的思维能力．在解答三角函数题目时，我们不能心急，且产生解题思路，我们就要把解题思路记录下来，最终形成完整的解题步骤．三、总结三角函数例题我们在解答三角函数题目之前必须分析题目的含义，并结合题目来选择解题方法，而且往往一道题目的解题方法不止一种，我们要结合所学知识来理解题目，保证思路清晰，能够看到题目的本质，科学解题，最终保证答案的正确性．在解答三角函数题目时，我们充当以下角色：一是发现者，二是研究者，三是探索者．我们要学会自主学习，教师只能起到引导的作用，教师不会一直给出问题的答案，所有的问题还需要学生自行探究，最终得出答案．在三角函数题目中每一个字都有价值，我们只有明确题目的含义才能制订解题方案，掌握解题技巧和方法，找到解答三角函数题目的突破口．对三角函数中比较特殊的题目，我们可以结合表格解题，这样可以保持思路清晰，形成完整的知识体系，提高解题的效率．三角函数包含多个知识点和公式，这就导致三角函数的例题类型非常多，不同的例题需要采用不同的解题思路和方法，我们要学会变通，在知识点的基础上进行转换，保证三角函数解题方法的合理性．我们思维已经相对成熟，我们能够及时发现自身学习中存在的问题，并针对自身存在的问题进行调整．四、结语数学是一门逻辑性非常强的课程，三角函数是高中数学学习的关键内容，而三角函数包含多个概念和公式，在一定程度上加大了我们的学习难度，我们开始退缩．但是，三角函数已经成为高考重点考核的知识点，也是我们必须掌握的知识点．我们在解答三角函数题目时要认真对待，仔细阅读题目，分析出题目的含义，并结合题目来选择解题方法，构建解题思路，在保证答案正确性的同时提高解题的效率．【参考文献】［1］张益荣．关于高中数学三角函数学习的思考［J ］．数学学习与研究，2017（24）：18．［2］刘雨明．高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法［J ］．文理导航（中旬），2017（11）：8．［3］唐瑜．高中数学三角函数解题方法总结［J ］．中学生数理化（高考理化），2017（11）：37． 含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211 x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =- ∴2()2111u u f u u u -=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1|| x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。[ 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++ 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 关于高中数学三角函数的学习 高中数学的学习是比较复杂的过程，对于三角函数部分，有些同学表现了较大的困难.这本身除了基础不够扎实，还与其他一些因素有关.三角函数颇为复杂的函数公式是很多同学难以熟练掌握的，作为实践教学中，如何使得三角函数能够为大多数同学所熟练掌握应用是教学的重点.通过对三角函数的特殊规律的研究，从中把握住学习的要点，通过教学方法的改进适应不同层次学生的接受能力，是三角函数学习的技巧性的东西，只有不断的研究新的情况， 研究符合学习的规律和教学规律，才能较好地学习这部分内容. 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系. 一、如何掌握三角函数公式 掌握三角函数的基本公式是最重要的，同学们在学习过程中，由于随着学习的深入，前面的公式掌握得不够牢靠，导致了后边的学习跟不上，这就是由于三角函数最基础的公式掌握不够造成的.如何弥补这个缺陷，最重要的还是要牢记公式，没有别的办法，只有熟记公式，才能在以后的深入学习中不至于被动. 倍角公式、半角公式、和差化积公式以及积化和差公式，是需要 花时间和精力去掌握的，并且要经常练习，才可以达到运用比较熟 练的地步. 二、掌握基本的解题规律 三角函数的题目有其基本的解题思路和过程，要掌握这些基本的方法，在高考中，三角函数的题目也无非就是这些内容，不会偏离了这些基本的解题思路.对于题目，首先应该观察题目的基本叙述，了解清楚后，看适合于哪类三角函数的公式进行解题，在解题过程中，对于自己运用公式的熟悉程度是一种考验，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的 形式求解. 对于常用的解题方法要熟练掌握，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.通过对这些方法的研究，使得学生不仅掌握这些方法，而且能够举一反三，同时，在应用这些方 法应用时，可以做到综合的运用，而不是单一的、片面的掌握. 举例来说，学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制，如一次函数y=ax+b，a不为0.定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记.事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则，缺少了定义域就不是完整的函数的定义了.而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写，但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 构造函数证明不等式 函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式. 一、 二次函数型： 1. 作差构造法. 例1.(新教材第二册（上）（以下同）16P 习题1（2）)求证:222 .a b c ab bc ca ++≥++ 分析:将a 视为变量,考察函数()()222 .f a a b c a b bc c =-++-+由于该二次函数的图象开口向上,且()2 30,b c ?=--≤故()0.f a ≥结论获证. 例2.( 教材31.P 复习参考题6)设,,a b c 为A B C ?的三条边,求证:222 a b c ++＜()2a b b c ca ++. 分析:构造函数()()()2 2 2.f x x b c x b c =-++-∵()f x 图象开口向上,对称轴x b c =+.∴()f x 在(],b c -∞+上单调递减.∵,,a b c 为A B C ?的三条边,∴b c -＜a ＜b c + (不妨设b ≥c )∴ ()()f a f b c <-. ∵()()()()()()2 2 240.f b c b c b c b c b c c b c -=--+-+-=--≤ ∴()0.f a <即结论成立. 2. 判别式构造法. 例3.(教材27.P 例1)已知,,,a b c d 都是实数,且22 1,a b +=22 1.c d +=求证: 1.a c b d +≤ 分析：所证结论即是()()()2 2 2 2 2 240.a c b d a b c d +-++≤????故可构造函数 ()()()2 2 2 2 2 2.f x a b x ac bd x c d =+-+++ 由于()()() 22 2 2 2 2 22f x a x a cx c b x b d x d =-++-+()() 2 2 0.ax c bx d =-+-≥ 当且仅当c d x a b = = 时取“=”号.又因为()f x 的图象开口向上,故必有0.?≤ 结论成立. 练习1.(教材16.P 练习2)求证:()()()2 2 2 2 2 .a c b d a b c d +≤++ 点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是: 2 22 11 1 .n n n i i i i i i i a b a b ===?? ≤ ??? ∑∑∑ 可构造函数()22 2111 2n n n i i i i i i i f x a x a b x b ===??=-+ ??? ∑∑∑ 证之. 练习2.(教材17.P 习题6)已知,a b 是不相等的两个正数,求证: ()()() 2 3 3 2 2 .a b a b a b ++>+ 高一数学教学论文 导语：高中数学是学生新的转折点，在教学方面应注意平等教育，面对全体高中生。下面是小编为你准备的高一数学教学论文，希望对你有帮助！ 高一数学教学论文高中数学是初中数学的继续和延伸。在高中数学学习的起始阶段，如何引导学生准确把握好学习起点，寻找到适合自己的学习方法，调整好学习心态，至关重要。为此，在高一新生入学后，我通过问卷调查、访谈等形式，初步了解了学生的初中数学学习情况（特别是与高中数学学习密切关联的一些基础知识的掌握程度）后，针对学生存在的预习习惯和能力缺失、解题的随意性大、反思意识薄弱等问题，重点采取了以下三项措施： 一、指导预习方法 与初中相比，高中数学知识点更多、知识的抽象程度更强，学习节奏也相应加快，若缺乏有效的预习，课堂学习时就可能处于一种盲目、被动的状态，影响对知识的吸收、理解和掌握；若课前做了充分的预习，对所学知识有了大致的了解，对重点概念、学习难点等心中有数，课堂上便能够更深入地思考、有针对性地质疑，更好地内化新知识。正确的预习方法才能保证预习的成效。课前预习时，应要求学生做到： （1）粗读，即先把新学内容粗读一遍，了解所要学习的大致内容。 （2）细读，即仔细推敲概念要点，找出例题中的关键条件、解 题突破口、所得结论等，然后自己把例题做一遍，并努力简化解题过程。对不能理解的概念、解题步骤等，做上记号（如果通过课堂学习还不能解惑，则要请教同学或老师）。 （3）试做练习，即分类型与梯度进行练习，一般来说，基本题1道、变式题1道即可。 （4）将预习结果列表归类。比如，学习苏教版高中数学必修5第一章第一节“正弦定理”，可列表如下： 当然，预习可以要求学生独立完成，也可以让学生小组合作完成，应视学习内容而定。 二、严格解题规范 解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段。规范地解题能够帮助学生更好地理解与回顾解题思路，是提高学生思维的逻辑性、严密性的必然要求。而且，规范地解题，可以避免考试中的无谓失分。(数学教学论文)教师应通过亲身示范和明确要求，让学生养成规范解题的习惯。 解题规范主要包括： （1）审题的规范。审题是正确解题的关键，是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程。审题的过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分。比如，找出题目中明确告诉的已知条件，发现题中隐含的条件并加以揭示；或从条件顺推，或从目标分析，或画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出条件和目标之间的内在联系；寻找解题的突破口——解题的实质高中数学三角函数知识点总结(非常好用)
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