【黄冈中考】备战2012年中考数学 二次函数的押轴题解析汇编一 人教新课标版

【黄冈中考】备战2012年中考数学——二次函数的押轴题解析汇编

一

二次函数

1. （2011黑龙江绥化，19，3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现有下列结论：①240b ac -> ②a>0 ③b>o ④c>0 ⑤9a+3b+c<0,则其中结论正确的是 （ ）

A ．2个 B. 3个 C. 4个 D.5个

【解题思路】因图象与x 有两上交点，所以240b ac ->，①正确；图象开口向上，a>0,②正确；因对对称轴02b x a

=-

>，a 、b 异号，所以b<0,③错；图象与y 轴交于负半轴，

c<0,④错；根据对称性，图象与x 轴正半轴的交点的横坐标应大3而小于4，所以当x=3，y<0,即9a+3b+c<0,⑤正确；综上可知正确的是①②⑤。 【答案】B

【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，理解图象与系数的关系是解题的关键。难度较大。

2、（2011山西，12，2分）已知二次函数c bx ax y 2

++=的图像如图所示，对称轴为直

线x=1，则下列结论正确的是（ ）

A 、ac>0

B 、方程0c bx ax 2

=++ 的两根是x 1=﹣1，x 2=3

C 、2a ﹣b=0

D 、当x>0时y 随x 的增大而减小。

【解题思路】由图像可知a<0，c>0所以ac<0,因此A 是错误的。因为对称轴为直线x=1，图像与x 轴的一个交点是（3,0）根据对称性图像与x 轴的另一个交点是（﹣1,0）所以方程

0c bx ax 2

=++ 的两根是x 1=﹣1，x 2=3因此B 是正确的。因为对称轴为直线x=1，即1a

2b -=所以2a+b=0，因此C 是错误的。因为对称轴为直线x=1，根据图像0

的增大而增大，因此D 是错误的。

【答案】B

【点评】本题主要考察二次函数的有关性质：1、当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口，抛物线与y 轴交于（0，c ）。2、方程0c bx ax 2=++ 的根即是

c bx ax

y 2

++=与x 轴的交点。3、对称轴为直线x=a

2b -

。4、a<0时，在对称轴左边y

随x 的增大而增大，在对称轴右边y 随x 的增大而减小。难度中等。

3．(2011河北省)一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面的函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是 A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米

【分析与解】小球距离地面的最大高度即为h 的最大值，由关系式不难确定t ＝1时，h 的最大值为6，故答案选C.

【点评】本题属于容易题，主要考查学生对二次函数最值的掌握与计算．

4（2011广西桂林，11，3分）．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y

轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）． A ．2(1)2y x =-++ B ．2(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++

【解题思路】由题易知与Y 轴交点为（0，3）即所得抛物线经过点（0，3）可排除选项A 、C ，再由旋转知顶点由第二象限旋转至第一象限，顶点横坐标为正可排除D 。

【答案】B

【点评】本题考查了旋转知识、抛物线中的系数a 、b 、c 的各自作用即a 决定抛物线的开口方向及开口大小、b 结合a 决定抛物线的对称轴位置、c 确定抛物线与y 轴的交点位置，难度中等．

5、（2011四川乐山，5，3分）将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是

(A) 2

(2)y x =-+ (B) 2

2y x =-+（C ）2

(2)y x =-- （D ）2

2y x =-- 【解题思路】：根据题意可得：A 中函数是由2

y x =-向左平移2个单位后得到的函数，满足题意；B 中函数是由2

y x =-向上平移2个单位后得到的函数，不满足题意；C 中函数是由2

y x =-向右平移2个单位后得到的函数，不满足题意；D 中函数是由2

y x =-向下平移2个单位后得到的函数，不满足题意。 【答案】A 。

6 （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则

下列关系正确的是（ ）

A ．m ＝n ，k ＞h

B ．m ＝n ，k ＜h

C ．m ＞n ，k ＝h

D ．m ＜n ，k ＝h

【解题思路】因为两条抛物线有相同的对称轴，所以m ＝n ；因为k n x y +--=2

)(2

1在抛

物线2

)(4

1m x y --

=的上方，所以k ＞h ，所以形状A 。

【答案】A

【点评】抛物线的图象信息题是久考不衰的题目类型，解决本体的关键就是弄清函数关系式中每个数字、字母的含义。本题难度中等。

7.（山东省威，7,3分）二次函数y=x 2

-2x-3x 的取值范围是（ ）.

A.-1＜x ＜3

B.x ＜-1

C.x ＞3

D.x ＜-1或x ＞3

【解题思路】当y ＜0时，对应图像就是x 轴下面的部分，根据图形确定自变量的取值范围. 【答案】A.

【点评】本题考查二次函数图像的识别，是数形结合相互转换的一个题目，通过图形很容易确定变量的取值.难度较小.

8． （2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）

A ．m =l

B ．m >l

C ．m ≥l

D ．m ≤l

【解题思路】本题主要考察二次函数图像的性质，因a=1>0,所以当x ≤m 时y 随x 的增大而减小，当x ≥m 时y 随x 的增大而减大，由题意得m ≥1，故选C.

【答案】C 【点评】本题主要考察二次函数图像的性质,和变量取值范围结合是一道较好的题目，中等难度

5.（山东省威，12,3分）如图，在正方形ABCD 中，AB=3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD-DC-CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积y （cm 2）,

时间x （秒），则下列图像中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（

【解题思路】分三种情况，即N 在AD 、DC 、CB 上分别表示出△AMN ，即y 与x 的关系，结合表达式来判断图形. 【答案】B.

【点评】分三种情况，点N 在AD 上时，y=2

13AM 2AN=

2

1x 23x=

2

3x 2

(0≤x ≤1) ; N 在DC

上时，y=2

13AM 2AD=

2

1x 23=

2

3x(1＜x ≤2) ; N 在CB 上时，y=2

13AM 2BN=2

1x 2(9-3x)=-

2

3x

+

2

9x (2＜x ≤3).结合三个解析式得到相应图形.难度较小.

9．（2011四川绵阳12，3）若x 1，x 2(x 1＜x 2)是方程(x －a )(x －b )＝1(a

数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）

A ．x 1＜x 2＜a ＜b

B ．x 1＜a ＜x 2＜b

C ．x 1＜a ＜b ＜x 2

D ．a ＜x 1＜b ＜x 2

【解题思路】作出二次函数y ＝(x －a )(x －b )与直线y ＝1的图象，两图象的交点的横坐标就是方程(x －a )(x －b )＝1的两个根，即x 1，x 2，而a ，b 是二次函数y ＝(x －a )(x －b )与x 轴的两个交点的横坐标，由图象知，x 1＜a ＜b ＜x 2．故选C ．

【答案】B

【点评】某个方程的解，可以看作是两个函数的交点的横坐标，画出图象即可得解．

10．（2011山东聊城 9，3分）下列四个函数图象中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）．

【解题思路】根据函数图象，可以判断A 选项是一次函数，函数值y 随自变量x 的增大而增大，B 选项是反比例函数，在每一象限内函数值y 随自变量x 的增大而增大，C 开口向上的二次函数，当x ＜0时，有一部分是减小的，另一部分是增大的。 【答案】D

【点评】本题主要考查了根据图象判断函数增减性的知识，解决问题的关键是根据图像的变化趋势做出判断。

11.（2011山东 济宁12、3分）将二次函数y=x 2-4x+5化成 y=(x-h)2+k 的形式，则

y= 。

【解题思路】此题要将y=x 2

-4x+5配方，y=x 2

-4x+5= x 2

-4x+4+1=（x-2）2

+1 【答案】y=(x-2)2+1 【点评】此题考查将二次函数的一般式转化成顶点式，实质是把代数式化成含有完全平方式，重点考查配方法。难度中等。

12. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()2

23y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【解题思路】抛物线2y x =向左平移两个单位变为2

2x y ）（+=，

再向下平移3个单位变为()2

23y x =+-。

【答案】B

【点评】主要考察抛物线平移的理解，左右平移变化横坐标，上下平移变化纵坐标。特别注意符号的不同。难度较小。

13．（2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( )

A. 1a b +=-

B. 1a b -=-

C. b<2a

D. ac<0

【解题思路】由题意可知A(-1，0),C （0，1），于是有01

a b c c -+=??=?，所以a-b=-1，答

案D 正确 【答案】B

【点评】二次函数的性质是二次函数中非常重要的一个内容，充分借助图形获取相关的信息是解题的关键。难度中等。

14． （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++= >的两个实数

根1x 、2x 满足124x x +=和123x x = ，那么二次函数2

(0)y ax bx c a =++ >的图象

有可能是（ ）

【解题思路】因为x 12x 2=3，所以两根应全正或全负，即x 1<0，x 2<0或x 1>0，x 2>0，又因为x 1+x 2=4，所以两根应全为正数，即x 1>0，x 2>0，所以二次函数图象为C 选项． 【答案】C ．

【点拨】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c ，与一元二次方程ax 2+bx+c=0的关系．解决此题的关键是：一元二次方程ax 2

+bx+c=0的两根是二次函数y=ax 2

+bx+c 与x 轴两交点的横坐标．难度中等． 15．（2011山东德州，6，3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是

D ． 【答案】D

【点评】对于抛物线图像与a ，b ，c 有如下关系：a 决定开口，开口向上a>0，开口向下，a<0；b 看对称轴，左同右异（与a 的符号）；c 看与y 轴的交点，正半轴c>0，负半轴c<0，过原点c=0．本题是一次函数和二次函数的综合题，考查了学生对图象的理解运用能力，有一定难度．

16．（2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：

x －7 －6 －5

－4

－3

－2

y

－

27 －

13

－3 3 5 3

则当x =1时，y 的值为 （ ） A.5 B.－3 C.－13 D.－27

【解题思路】由于当x =－4与－2时，y 的值总等于3，结合抛物线的轴对称性，得抛物线

的对称轴为直线x =－3. 显然当x =1与x =－7的函数值也相等.

【答案】D

【点评】本题假如从三组x 、y 的值求出此题解答，那么较繁. 根据抛物线的对称性巧妙求

解当x =1时y 的值.，这里渗透了数形结合的数学思想. 难度较高. 17．（2011山东聊城 12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为（ ）． A ．m 50 B ．m 100 C ．m 160D ．m 200

（D ） 第6题图

【解题思路】建立如上图所示的直角坐标系，可以求得抛物线解析式为2

1212

+

-=x y ，A

点的坐标为（0,5

1）

，C 点坐标为（0,5

3）

。把5

1=x 代入抛物线解析式得25

12=

y ，即25

12=

AB 把53=

x 代入抛物线解析式得25

8=

y ，这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为

1601002)25

825

12(=??+.

【答案】C 【点评】首先根据题意建立合适的平面直角坐标系,确定抛物线解析式,然后根据二次函数的对称性进行解决，本题主要考查了学生建立合适的坐标系，运用二次函数解决实际问题的能力，具有一点难度．

18（2011山东 济宁8、3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，其函数y 与自变量x 之间的部点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)在函数的图象上，则当1

A. y 1 > y 2

B. y 1 < y 2

C. y 1 ≥ y 2

D. y 1 ≤ y 2

【解题思路】观察表格当x=2时y=0，x=1、x=3时y=1，x=0、x=4时y=4可以看出抛物线的对称轴为x=2，并且x 离对称轴x=2距离越大，y 值越大，所以答案选B 。

【答案】B 【点评】此题考查二次函数图象的增减性，关键是通过表格分析对称轴的位置以及函数值随自变量变化的规律。难度中等。

19．（2011山东枣庄，18,4分）抛物线2

y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）．

①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2

y ax bx c =++的最大值为6；

③抛物线的对称轴是12

x =

； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．

【解题思路】先用待定系数法求得二次函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋6，由此可知，抛物线与x 轴的2个交点分别为(－2，0)、(3，0)，抛物线最大值为

254

，故③不正确，又抛物线的

对称轴是x ＝1

2，∵a＝－1，∴在对称轴左侧y 随x 增大而增大．因此①③④正确．

【答案】①③④．

【点评】本题综合考察了二次函数的有关知识，由于考察的知识点较多，因此难度相应也增加了，解题的关键是确定二次函数的解析式，掌握二次函数的有关图像、性质，难度较大．

20.(2011内蒙古呼和浩特,8,3分)已知一元二次方程230x bx +-=的一根为3-,在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点1

4(,)

5y -

、25(,)4

y -、31(,)6

y ,y 1、y 2、y 3的大小关系是

( )

A.123y y y <<

B.213y y y <<

C.312y y y <<

D.132y y y <<

【解题思路】把根3-代入一元二次方程可求出b 的值,从而得出二次函数的对称轴为直线

1x =-,当1x >- 时,y

随x 的增大而增大.而25(,)4

y -关于对称轴1x =-的对

称点为23(,)4

y -,从而比较出y 1、y 2、y 3的大小.

【答案】A

【点评】本题是考查二次函数图象特征的题目,亮点是所给的三个点不在对称轴的同一侧,

要利用对称的特征将比较的点放在对称轴的同一侧,或结合二次函数图象描点解决此题.难度中等.

21．（2011山东日照，17，5分）如图，是二次函数 y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：

①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；

④a -2b +c ＞0． 其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） 【解题思路】由图像可以知道，a ＞0，b ＞0，c ＜0，当x=1时，y=0，所以a+b+c=0；①正确。对称轴12-=-

=a

b x ，所以b=2a ②错误。有图像可以确定y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的

图象与x 轴的两个交点分别为（-3，0）,(1,0)。所以ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；由b=2a 。a ＞0，b ＞0，c ＜0可以知道a -2b +c=-3a+c ＜0. 【答案】①③

【点评】这道题重点考察了运用待定系数法求解二次函数解析式，以及运用二次函数图象求解不等式的问题，这是新教材编写时增加的内容，设计本题，有利于检查师生对教材新增内容的理解及教学情况．

22．（2011广东省，15，6分）已知抛物线c x x

y ++=

2

2

1与x 轴没有交点．

（1）求c 的取值范围；

（2）试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由． 【解题思路】（1）已知抛物线c x x

y ++=

2

21与x 轴没有交点，可知△＜0即可；（2）直

线1+=cx y 过定点（0，1）只要知道c 的范围即可 【答案】（1）因为抛物线c x x

y ++=

2

21与x 轴没有交点，即方程

2

102

x x c ++=无实数

根，所以△=24b ac -=12c -＜0，解得c ＞12

（2）因为c ＞

12

，所以函数1+=cx y 为增函数，因为直线1+=cx y 过定点（0，1），所

以直线1+=cx y 过一、二和三象限。

【点评】本题是考查二次函数的增减性，同时也考查函数图像的象限。本题考查了函数到方程的转化。难度中等．

23如图，抛物线y=ax 2

+bx （a 0）与双曲线y =

x

k

相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，

-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

【解题思路】解：（1）把点B （-2，-2）的坐标，代入y =

x

k ，

得：-2=

2

-k ，∴k =4．

即双曲线的解析式为：y =x

4 ． ………………………………2分

设A 点的坐标为（m ，n ）。∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…① 又∵tan ∠AOx =4，∴

n

m =4， 即m =4n ．…②

又①，②，得：n 2

=1,∴n =±1.

∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4） 把A 、B 点的坐标代入y=ax 2

+b x ，得：??

?-=-+=b

a b a 242,4解得a =1，b =3；

∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；…………………………………………4分 （2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4，

代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x-4=0，解得x 1=-4，x 2=1（舍去）．

∴C 点的坐标为（-4，4），且AC =5，……………………………………6分 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=

2

13536=15 ； ……………………7分

（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积.

过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．

因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（-4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.……………………………9分 解方程组???+=+=,

122,32x y x x y 得???==,18,

3y x 所以点D 的坐标是（3，18）…10分

【答案】

【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、点的坐标、方程、平行线以及特殊的四边形菱形的判定，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明等综合能力.

24． （2011山东潍坊，22，10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格

一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克． （1）分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时，y 关于x 的函数关系式；

（2）2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？

（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？

【解题思路】因为1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系，所以可设出其关系式为：y=kx+m ，再利用1月和7月对应的平均价格分别为8元/千克、26元/千克，即（1，8）、（7，26）求得解析式；同样的思路可求得7月份至12月份的二次函数关系式．（2）分别利用这两个函数的增减性确定2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格最低月及最低价格．（3）先求得这12个月的平均价格，及各月的月平均价格，进而确定符合要求的月份．

【答案】解：（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+，将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得

8,726.k m k m +=??+=?解之，得5,

3.

m k =??

=? ∴函数解析式为35y x =+． 当712x ≤≤时，设2y ax bx c =++，

将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2y ax bx c =++，得： 49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?解之，得1,22,131.a b c =??=-??=?

∴函数解析式为222131y x x =-+．

（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大， ∴当1x =最小值时，3158y =?+=最小值．

当712x ≤≤时，()2

2

221311110y x x x =-+=-+，

∴当11x =时，10y =最小值．

所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克． （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值．

将8x =和10x =分别代入2

22131y x x =-+，得19y =和11y =．

∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11． ∴年平均价格为1771914111011

4615.312

3

y ?+++++=

=≈（元/千克）．

当3x =时，1415.3y =<，

∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．

【点拨】本题考查了一次函数和二次函数、平均数等知识．此题以现实生活问题为背景综合考查相关知识，解决此类问题，要注意把实际问题数学化，转化为数学模型，利用相关知识解决．．难度中等．

25. （2011山东菏泽，20，9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.103(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只

计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.

(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？

(2).写出该专卖店当一次销售x (时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？

【解题思路】（1）设一次购买x(x>10)只，可得到每只应降低0.1(x-10)元，若按最低价购买，则应就降低20-16=4元，即有0.1(x-10)=4；（2）应根据x 的取值情况分成三种情况，当0

1810

x x -

+；当x>50时，每只售价为16元，所以

y=16x-13x=3x ；（3）由二次函数的性质可求出最大利润。

【答案】(1)设一次购买x 只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50;

答一次至少买50只，才能以最低价购买；

(2) 220137(001[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)

x x x x y x x x x x x x x x -=??

?

=---?=-+??

-??＜≤1）＜＜≥

（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）； (3)将2

1810

y x x =-

+配方得2

1(40)16010

y x =-

-+，

所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元。（也可用公式法求得）。

【点评】在实际问题中，要充分借助相应的数量关系列出函数关系式。解本题的关键是对x 的取值进行讨论，从而求出每只计算器的实际售价。难度较大。

26（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米。 （1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2） 为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作

两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）

（3） 为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P

之间的距离是多少？（请写出求解过程）

【解题思路】问题一、建立适当的直角坐标系：以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。只要A点的坐标即可求出函数的解析式。

问题二、求在OC上一点到A、B两点距离之和最短，需做A关于OC 的对称点D，在连接对称点D和另外一点B与OC 的交点即为所求。

问题三、求O、P之间的距离就是直线DB与y轴交点纵坐标的长度，需要求出DB的解析式。【答案】

解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分

设抛物线的函数解析式为2

y ax

=,………………2分

由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分

所以8=a324，解得a=1

2

,故所求抛物线的函数解析式为2

1

2

y x

=………………4分

（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分则点A、D关于OC对称。

连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分

（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，

所以点B的坐标为（2，2）………………7分

又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8） (8)

设直线BD的函数解析式为 y=kx+b， (9)

则有

22

48

k b

k b

+=

?

?

-+=

?

(10)

解得k=-1,b=4.

故直线BD的函数解析式为 y=-x+4， (11)

把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）

两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。 (12)

【点评】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。难度较大。

27．（2011山东泰安，28 ，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元.

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

【解题思路】（1）一个月的获利等于该月每件小商品的利润与售出的小商品的数量之积，即：利润=（售价－进价）3销售量；（2）先构造二次函数，然后通过配方或

利用顶点坐标公式求出最值.

【答案】（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800（元）；

（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元.

由题意，得：y=(x－20)[105－5（x－25）]

=－5x2+330x－4600

=－5(x －33)2+845

当x =33时，y 的最大值是845.

故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.

【点评】利用二次函数解决最优化问题时，首先要根据题意构建二次函数关系式，然后再求

出的其最值. 本题以实际生活中商品买卖为问题情景，考查学生数学建模能力，渗

透了数学来源于生活的理念. 难度较小.

28.如图，抛物线y=ax 2

+bx+c 交x 轴于点A （-3,0），点B （1,0），交y 轴于点E （0，-3），点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行，直线

y=-x+m 过点C ，交y 轴于点D. （1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标.

【解题思路】第（1

标代入求得a 的值，得出二次函数的表达式；第（2）小题中，H 、G 的横坐标相同，用一字母t 表示出H 、G 两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t 的二次三项式，结合t 的取值范围，求的HG 的最大值；第（3）小题要分AC 是对角线和边两种情况来讨论，AC 为边时，点M 、N 的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细．

【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3).

∵抛物线交y 轴于点E （0，-3），将该点坐标代入得a=1, ∴抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x 2+2x-3.

(2) ∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点A 的坐标为（-3,0），点B 的坐标（1,0）， ∴点C 的坐标（5,0）.

将点C 的坐标代入y=-x+m,得m=5，

∴直线CD 的函数表达式为y=-x+5.

设K 点的坐标为（t,0）,则H 点坐标为(t,-t+5),点G 的坐标为（t,t 2+2t-3）. ∵点K 为线段AB 上一动点，∴-3≤t ≤1. ∴HG=(-t+5)-(t 2+2t-3)=-t 2-3t+8=-(t+2

3)2+

4

41.

∵-3≤t ≤1. ∴当t=-2

3时，线段HG 的长度有最大值

4

41.

（3）∵点F 是线段BC 的中点.点B （1,）），点C （5,0）， ∴点F 的坐标为（3,0），

∵直线l 过点F 且与y 轴平行，

∴直线l的函数表达式为x=3,

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

∴设点M的坐标为（3，m）,点N的坐标为（n,n2+2n-3）.

∵点A（-3,0），点C（5,0）. ∴AC=8.

分情况讨论：

①若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC,且MN=AC=8，当点N在点M的左侧时，MN=3-n，∴3-n=8，解得n=-5，∴点N的坐标为（-5，,1）；

当点N在点M的右侧时，MN= n-3，∴n-3=8，解得n=11，∴点N的坐标为（11，140）.

②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C是点A关于点B的对称点”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于B的对称点P，则P的坐标为（-1,0），过P作NP⊥x轴，交抛物线于点N，

将x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，

过点N，B作直线NB交直线l于点M，

在△BPN与△BFM中，

∠NBP=∠MBF

BF=BP

∠BPN=∠BFM=90°

∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB.

∴四边形ANCM为平行四边形，

∴坐标为（-1，-4）的点N符合条件.

∴当N点的坐标为（-5,12），（11,140），（-1，-4）时，以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.

【点评】本题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性．它综合考查了用变量t表示点的坐标、直线抛物线的解析式的求法、平行四边形的判别及相关情况的讨论．重点考查学生审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力．由于此题入口比较高，不少学生在第（2）小题中就受到阻力；在第（3）小题中更是“畏缩不前”了，尤其是这一问中AC位边为对角线的讨论、AC为边时点M、N位置的考虑，让一些学生思维紊乱，糊涂难做．难度较大．

29、（2011年四川省南充市20题8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：

（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？

（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。

【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：

y kx b =+

该函数图象过点()()0,300,500,200

∴500200300k b b +=??=?，解得15300

k b ?

=-???=?

∴13005y x =-+()0x ≥

当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润16003001805

y =-?+=（元/千

度）

（3）设工厂每天消耗电产生利润为w 元，由题意得：

()113001050030055w m y m x m m ????

==-+=-++ ???????

化简配方，得：()2

2505000w m =--+ 由题意，60m ≤，∴当50m =时，5000w =最大

即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。

【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。

30. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y ＝ 1

2x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，

与y 轴交于C 点，且A (－1，0)． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断A B C △的形状，证明你的结论；

（3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

【解题思路】（1）将A 点坐标代入函数解析式，可求出字母b 的值，从而求出函数解析，进而求出点D 的坐标；（2）先由对称性求出AB 的长，确定点B 的坐标，利用勾股定理分别求出2AC ,2BC ,由勾股定理的逆定理可确定它是一个直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点'C ,连接'C D ,与x 轴的交点就是要求的点M ；利用相似三角形的性质或先求出直线'C D 的解析式，都可以求出m 的值。

【答案】（1）把点A (－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝

1 2

x 2

＋bx －2，整理后解得32

b =-，所以抛物线的解析式为 2

13

22

2y x x =-

-，顶点D 3

252

8??- ???，；（2）5A B =．2225AC OA OC =+=，22220BC OC OB =+=，222AC BC AB ∴+=， A B C ∴△是直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点C '，则(02)C '，，2O C '=．连

接C D '交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M C M D +的值最小．

设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．C O M D E M '△∽△．

O M O C E M

E D

'∴=．232528

m m

∴

=

-．2441

m ∴=

。

【点评】解综合题时，可先钭其划分成若干个小问题，然后采取各个击破的方式来进行。难度较大。

36.（2011年四川省南充市22题8分）抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A （m －4,0）和B(m ,0)，与直线y =－x +p 相交于点A 和点C(2m －4,m －6).

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12，求点P,Q 的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM

的面积最大时，请

（第21题图）

求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。

【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C 两点在一次函数图象上，求得m 值，从而得出A,C 两个点的坐标，进一步确定出B 的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。

(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ 与y 轴的交点。结合二次函数求出P,Q 的坐标。可能有两种情况，分别讨论。

（3）△PQM 中PQ 一定，只需PQ 上的高最大则△PQM 的面积最大。 【答案】解：点()4,0A m -和()24,6C m m --在直线y =－x +p 上

∴()()40246

m p m p m --+=???--+=-??解得31m p =??=-?∴()()()1,0,3,0,2,3A B C --

设抛物线()()2

31y ax bx c a x x =++=-+∵()2,3C -∴1a =

∴抛物线解析式为2

23y x x =--

（2）

AC=AC 所在直线的解析式为：1y x =--，∠BAC=45° ∵ACQP 的面积为12

∴ACQP 中AC

=过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，

DK=,∴DN=4 ∵ACQP 的边PQ 所在直线在直线AC 的两侧可能各有一条， ∴PQ 的解析式为3y x =-+或5y x =-- ∴2233y x x y x ?=--?=-+?

解得1130x y =??=?或222

5x y =-??=?

223

5y x x y x ?=--?

=--?

方程组无解 即()13,0P ,()22,5P -

∵四边形ACQP 是平行四边形，()()1,0,2,3A C -- ∴当()13,0P 时，()16,3Q - 当()22,5P -时，()21,2Q

∴满足条件的P,Q 点是()13,0P ,()16,3Q -或()22,5P -,()21,2Q

（3）设()()2,23,13M t t t t ---<<，过点M 作y 轴的平行线，交PQ 所在直线点T ，则(),3T t t -+，()()22 M T=3236t t t t t -+---=-++

过点M 作MS ⊥PQ 所在直线于点S ，

)2

M S=622M T t t =-++=2

1228

t ??--+ ?

??

∴当12

t =

时，115 M ,2

4??

-

?

??

，△PQM 中PQ 边上高的最大值为8 【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。

37． （2011四川广安，30，12分）如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直

角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1．0），B ( -1.2)，D ( 3.0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到O/V ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N 。

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q

在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值。

【解题思路】1）待定系数法求二次函数解析式

2）求线段AC 垂直平分线与抛物线的交点

3）为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题

【答案】（1）解：由题意可得M （0．2），N （-3．2） ∴ 2293093c a b c

a b c =??

=-+??=++? 解得：19132a b c ?=-??

?

=-

??=???

∴y =2

112

9

3

x -

-

+

（2）∵PA = PC ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经

过（-1．2）（1．0） 所在的直线为y =－x +1

21

11

293y x y x x =-+???=--+??

解得：1132x y ?=+??

=--?

?2232x y ?=-??=-+??∴P 1

（32+--P 2

（32--+ （3）D 为E 关于对称轴x=1.5对称 CD 所在的直线y =－x +3

∴y Q =4.5 ∴Q （-1.5．4.5）