高二年级数学竞赛试卷

总分：150分时量：90分钟命题人：罗永义

一、选择题：（5分×10=50分）

1．下列表示图形中的阴影部分的是（）

A ．()()A C

B C

B ．()()A B A C

C ．()()A B B C

D ．()A B C

2．已知集合{}{}

421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）

A 2,3

B ．3,4

C ．3,5

D ．2,5

3．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（）

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

4．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，

则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）

A ．101

B ．103

C ．21

D ．10

7 5．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α

-=，则2

α角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．化简AC - BD + CD - AB 得（） A ．AB B ． C ．BC D ．0

8．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）

A ．1

B ．1-

C ．32

D ．32-

9．若02522>-+-x x ，则221442

-++-x x x 等于（） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45-

10．函数sin(2)(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?的值是（）

A ．0

B ．4π

C .2

π D .π 二、填空题：（5分×10=50分） 1. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B = ，则C 的非空子集的个数为。 2．函数4

22--=x x y 的定义域。 3．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,

则不等式()0f x <的解是

4．设扇形的周长为8cm ，面积为2

4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 A B C

5．若椭圆221x my +=

_______________. 6．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________

7．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________

8．把“五进制”数)5(1234转化为转化为“八进制”数_____________

9．函数12++=

x x y 的值域为_____________。

10．已知2tan =x ，则

x x x sin cos sin cos -+的值为_____________。。

三、解答题 1．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??

???-≥≤+≤.1,1,y y x x y

2．已知向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。

3．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；

（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围

4.命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，

命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根。若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围

5．已知椭圆22

143

x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称。

6、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=

. (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC

（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.